Asymptoottinen Weyl-kaava

Weilin asymptoottinen kaava yhdistää Riemannin moniston tilavuuden sen Laplacian ominaisarvojen asymptoottiseen käyttäytymiseen .

Historia

Suhteen määritti Hermann Weyl vuonna 1911. Aluksi se muotoiltiin vain euklidisen avaruuden alueille. Vuonna 1912 hän esitti uuden variaatiomenetelmiin perustuvan todisteen . [yksi]

Sanamuoto

Olkoon  -ulotteinen Riemannin monisto. Merkitään ominaisarvojen lukumäärällä (ottaen huomioon monikertaisuus), joka ei ylitä , Dirichlet- tehtävälle . Sitten

,

jossa tarkoittaa yksikköpallon tilavuutta -ulotteisessa euklidisessa avaruudessa. [2]

Selvennykset

Lopun arviota on parannettu moninkertaisesti.

Oletettavasti asymptotiikan seuraava termi on verrannollinen rajan pinta-alaan . Kun tämä termi otetaan huomioon, loppuosan arvion on oltava . Erityisesti sillä ehdolla, että rajaa ei ole, yllä olevan kaavan jäljellä olevan termin estimaatin tulisi olla .

Muistiinpanot

  1. H. Weyl. Das asymptotische Verteilungsgesetz linearen partiellen Differentialgleichungen  (saksa)  // Math. Ann.  : myymälä. - 1912. - Bd. 71 . - S. 441-479 .
  2. Weyl, Hermann. Über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte  (uuspr.)  // Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. - 1911. - S. 110-117 .
  3. R. Seeley. Terävä asymptoottinen arvio laplalaisen ominaisarvoille alueella // Adv. Math.. - 1978. - Voi. 29, ei. 2. - s. 244-269. - doi : 10.1016/0001-8708(78)90013-0 .
  4. JJ Duistermaat, VW Guillemin. Positiivisten elliptisten operaattoreiden spektri ja jaksolliset bikarakterit // Inventiones mathematicae. - 1975. - Voi. 29, ei. 1. - s. 39-79. - doi : 10.1007/BF01405172 .
  5. V. Ya. Ivry. Laplace-Beltrami-operaattorin spektriasymptotiikan toisesta termistä monisarjoissa, joilla on raja  // Funct. analyysi ja sen sovellukset - 1980. - V. 14 , nro 2 . - S. 25-34 .