Asymptoottinen Weyl-kaava
Weilin asymptoottinen kaava yhdistää Riemannin moniston tilavuuden sen Laplacian ominaisarvojen asymptoottiseen käyttäytymiseen .
Historia
Suhteen määritti Hermann Weyl vuonna 1911. Aluksi se muotoiltiin vain euklidisen avaruuden alueille. Vuonna 1912 hän esitti uuden variaatiomenetelmiin perustuvan todisteen . [yksi]
Sanamuoto
Olkoon -ulotteinen Riemannin monisto. Merkitään ominaisarvojen lukumäärällä (ottaen huomioon monikertaisuus), joka ei ylitä , Dirichlet- tehtävälle . Sitten






,
jossa tarkoittaa yksikköpallon tilavuutta -ulotteisessa euklidisessa avaruudessa. [2]
Selvennykset
Lopun arviota on parannettu moninkertaisesti.
- Vuonna 1922 Richard Courant paransi sen muotoon .

- Vuonna 1952 Boris Levitan osoitti tiukemman rajoituksen suljetuille jakotulleille.

- Robert Seeley erityisesti sisältäen tietyt euklidiset alueet, vuonna 1978[3]
Oletettavasti asymptotiikan seuraava termi on verrannollinen rajan pinta-alaan . Kun tämä termi otetaan huomioon, loppuosan arvion on oltava . Erityisesti sillä ehdolla, että rajaa ei ole, yllä olevan kaavan jäljellä olevan termin estimaatin tulisi olla .




- Vuonna 1975 Hans Deistermaat ja Victor Guillemin osoittivat arvion muutamissa yleisissä asemaehdoissa. [neljä]
- Viimeksi mainitusta tiivisti Victor Ivry vuonna 1980. [5] Tämä yleistys olettaa, että jaksollisten biljardin lentoratojen joukolla on mitta 0. Jälkimmäinen pätee mahdollisesti kaikille rajoittuneille euklidisille alueille, joilla on tasaiset rajat.

Muistiinpanot
- ↑ H. Weyl. Das asymptotische Verteilungsgesetz linearen partiellen Differentialgleichungen (saksa) // Math. Ann. : myymälä. - 1912. - Bd. 71 . - S. 441-479 .
- ↑ Weyl, Hermann. Über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte (uuspr.) // Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. - 1911. - S. 110-117 .
- ↑ R. Seeley. Terävä asymptoottinen arvio laplalaisen ominaisarvoille alueella // Adv. Math.. - 1978. - Voi. 29, ei. 2. - s. 244-269. - doi : 10.1016/0001-8708(78)90013-0 .
- ↑ JJ Duistermaat, VW Guillemin. Positiivisten elliptisten operaattoreiden spektri ja jaksolliset bikarakterit // Inventiones mathematicae. - 1975. - Voi. 29, ei. 1. - s. 39-79. - doi : 10.1007/BF01405172 .
- ↑ V. Ya. Ivry. Laplace-Beltrami-operaattorin spektriasymptotiikan toisesta termistä monisarjoissa, joilla on raja // Funct. analyysi ja sen sovellukset - 1980. - V. 14 , nro 2 . - S. 25-34 .