Asymptoottinen tasa-arvo

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 19. helmikuuta 2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 8 muokkausta .

Asymptoottinen yhtäläisyys (ekvivalenssi) on matemaattisessa analyysissä ekvivalenssisuhde funktioiden välillä, jotka on määritelty jossain pisteen pisteytetyssä ympäristössä, mikä tarkoittaa tämän pisteen lähellä olevien funktioiden yhtäläisyyttä mielivaltaisen pienellä suhteellisella virheellä . Asymptoottisia yhtäläisyyksiä käytetään laajalti rajojen laskennassa. Usein asymptoottisesti vastaavia funktioita kutsutaan yksinkertaisesti ekvivalenteiksi, ja sana asymptoottisesti jätetään pois. Melko yleinen on myös termi ekvivalentti infinitesimal, joka ei ole muuta kuin asymptoottisen ekvivalenssin erikoistapaus infinitesimaalisille funktioille.

Motivaatio

Usein useiden toimintojen sanotaan olevan suurin piirtein samanlaisia tai ne toimivat samalla tavalla jossain vaiheessa. Tämä terminologia on kuitenkin liian epämääräinen, ja jos todella haluamme puhua samasta funktioiden käyttäytymisestä, tämä on määriteltävä muodollisesti.

Määritellään seuraava termi: sanotaan, että funktio approksimoi tai approksimoi funktiota lähellä pistettä , jos mielivaltaisen pienelle luvulle voimme ottaa sellaisen ympäristön, jossa nämä funktiot eroavat enintään tällä luvulla. - kielellä : $g(x)$ $f(x)$ $x_{0}$ $\varepsilon ,\delta$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x\in (x_{0}-\delta ;x_{0})\cup (x_{0};x_{0}+\ delta ):|f(x)-g(x)|<\varepsilon

Ei ole vaikea nähdä, että tämä määritelmä tarkoittaa, että funktioiden eron raja on nolla, kun lähestymme pistettä . ei ole muuta kuin absoluuttinen virhe funktion approksimaatiossa funktiolla . Kun määritetään pisteessä approksimoivaa funktiota, vaaditaan, että absoluuttinen virhe voidaan tehdä mielivaltaisen pieneksi. Tässä tapauksessa suhteellinen virhe ei välttämättä ole pieni. Yksinkertainen esimerkki: funktio approksimoi funktiota pisteessä, koska niillä on sama raja. Kuitenkin tämän likiarvon suhteellinen virhe kaikissa kohdissa paitsi . $x_{0}$ $|f(x)-g(x)|$ $f(x)$ $g(x)$ $-x$ $x$ $0$ $0$ $200\%$

Absoluuttisen virheen pienuuden ehdon sijaan voidaan vaatia, että suhteellinen virhe on pieni. Funktioita, joilla on tällainen ehto, kutsutaan asymptoottisesti ekvivalentiksi [1] . Funktioiden suhteellinen virhe (nollasta poikkeavalle pisteen pisteytetylle alueelle ) ja lasketaan kaavalla . Asymptoottinen vastaavuusehto muotoillaan sitten seuraavasti: $f(x)$ $x_{0}$ $f(x)$ $g(x)$ $\left|{\frac {f(x)-g(x)}{f(x)))\right|$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x\in (x_{0}-\delta ;x_{0})\cup (x_{0};x_{0}+\ delta ):\left|{\frac {f(x)-g(x)}{f(x)}}\right|<\varepsilon

Tämä vastaa ilmeisesti ehtoa , jota useimmiten pidetään asymptoottisen ekvivalenssin määritelmänä. $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {g(x)}{f(x)))=1$

Määritelmä

Klassinen määritelmä

Olkoon ja määritelty jossain pisteen naapurustossa ( se voi olla myös ääretön, sekä määrätyllä etumerkillä että etumerkittömällä) eikä yhtä suuri jossain pisteytetyssä ympäristössä. Toimintoja ja kutsutaan asymptoottisesti yhtäläisiksi, jos: $f(x)$ $g(x)$ $x_{0}$ $x_{0}$ $g(x)$ $0$ $f(x)$ $g(x)$ $x\to x_{0}$

\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)))=1

Perusekvivalenssi

Tietysti asymptoottista tasa-arvoa ei voida pitää pelkästään argumentin yksinkertaisena taipumuksena johonkin arvoon. On mahdollista harkita rajaa muihin kantajiin nähden: kun argumentti suuntautuu oikealle, vasemmalta, jonkin osajoukon yli ja yleensä minkä tahansa kantakohdan yli. Siksi on järkevää määritellä asymptoottinen ekvivalenssi mille tahansa emäkselle . Olkoon ja määritellään jollekin kannan elementille eikä yhtä suuri jollekin kannan elementille. Funktioita ja kutsutaan asymptoottisesti yhtäläisiksi kantaluvussa, jos: [2] ${\mathfrak {B}}$ $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $g(x)$ $0$ $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$

\lim _{\mathfrak {B}}{\frac {f(x)}{g(x)))=1

Yleinen tapaus

Asymptoottisen tasa-arvon käsite voidaan yleistää myös tapaukseen, jossa epäyhtä-arvon ehto nollaan ei täyty missään lähiympäristössä. Antaa ja määritellään jollekin pohjan elementille . Funktioita ja kutsutaan asymptoottisesti yhtäläisiksi kantaluvussa, jos funktio voidaan esittää muodossa , jossa [3] . $g(x)$ $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $f(x)$ $f(x)=\varepsilon (x)g(x)$ $\lim _{\mathfrak {B}}\varepsilon (x)=1$

o-pienen kautta

Vastaava määritelmä asymptoottiselle tasa-arvolle voidaan antaa käyttämällä o-pienen käsitettä. Olkoon ja määritellään jollekin kannan elementille eikä yhtä suuri jollekin kannan elementille. Funktioiden ja sanotaan olevan asymptoottisesti yhtä suuria kantaluvussa , jos funktio voidaan esittää muodossa , jossa on o-pieni of in kanta . $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $g(x)$ $0$ $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $f(x)$ $f(x)=g(x)+o(f(x))$ $o(f(x))$ $f(x)$ ${\mathfrak {B}}$

Äärettömän pienen kautta

Yleisessä tapauksessa yllä oleva o-pienen määritelmä voidaan muotoilla käyttämällä infinitesimaalin käsitettä. Antaa ja määritellään jollekin pohjan elementille . Funktioita ja kutsutaan asymptoottisesti yhtäläisiksi kannassa , jos funktio voidaan esittää muodossa , jossa on infinitesimaali kannassa [3] . $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $f(x)$ $f(x)=g(x)+o(1)f(x)$ $o(1)$ ${\mathfrak {B}}$

Aaltoviivaa käytetään merkitsemään asymptoottista yhtälöä : . $f(x)\sim g(x)$

Ekvivalenssirelaatio

Asymptoottinen yhtäläisyys johonkin kantaan nähden täydessä merkityksessä on ekvivalenssisuhde funktioiden joukkoon, joka on määritelty jollekin kannan elementille, eli se on refleksiivinen , symmetrinen ja transitiivinen . Siksi tällaisten funktioiden joukko voidaan jakaa ekvivalenssiluokkiin.

Mitkä tahansa kaksi funktiota, joilla on sama äärellinen nollasta poikkeava raja, ovat toisiaan vastaavia. Toisaalta jonkin funktion funktion ekvivalenssi nollasta poikkeavan äärellisen rajan kanssa merkitsee automaattisesti niiden rajan yhtäläisyyttä. Siten joukko funktioita, joilla on sama ei-nolla-äärinen raja, muodostaa ekvivalenssiluokan.

Näin ei ole lainkaan äärettömän pienten, äärettömän suurten ja rajattomien funktioiden kohdalla. Juuri nämä vastaavuudet kiinnostavat. Kahden funktion ekvivalenssi merkitsee niiden rajojen yhtäläisyyttä (tai niiden olemattomuutta), joten voimme tarkastella erikseen äärettömän suurten ja äärettömän pienten funktioiden ekvivalenssiluokat [3] .

Esimerkkejä

Polynomi at vastaa sen nollasta poikkeavaa termiä korkeimmalla asteella ja at alimmalla asteella. $x\to \infty$ $x\to 0$

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\pisteet +a_{1}x+a_{0}\sim a_{n}x^{n }

klo

x\to \infty ,a_{n}\neq 0

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{m+1}x^{m+1}+a_{m}x ^{m}\sim a_{m}x^{m}

klo

x\to 0,a_{m}\neq 0

Rajoja laskettaessa monet oppikirjat antavat usein vastaavuustaulukoita joillekin perusfunktioille:

Vastaava ääretön at

x\to 0

Toiminto 1	Toiminto 2
$\sin x$	$x$
$\operaattorin nimi {tg}x$	$x$
$\arcsin x$	$x$
$\operaattorinnimi{arctg}x$	$x$
$1-\cos x$	${\frac {x^{2}}{2}}$
$e^{x}-1$	$x$
${\näyttötyyli \ln(1+x)}$	$x$
${\näyttötyyli (1+x)^{\alpha }-1}$	$\alpha x$
${\näyttötyyli \operaattorin nimi {sh} x}$	$x$
${\näyttötyyli \operaattorin nimi {th} x}$	$x$
$\operaattorin nimi {arsh} x$	$x$
$\operaattorin nimi {arth} x$	$x$
${\näyttötyyli \operaattorin nimi {ch} x-1}$	${\frac {x^{2}}{2}}$

Varsin kuuluisa on Stirlingin kaava , joka approksimoi kertoimen jatkuvalla funktiolla:

n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}

klo

n\to\infty

Asymptotiikka on hyödyllinen estimoiessa kombinatorisia suureita riittävän suurilla parametreilla. Esimerkiksi korvaamalla Stirlingin kaava binomiaalisen kertoimen laskentakaavalla saadaan seuraava:

{\binom {2n}{n}}\sim {\sqrt {\frac {1}{\pi n}}}2^{2n}

klo

n\to\infty

Alkulukujen määrällä, joka on pienempi kuin jokin tietty luku, on myös yksinkertainen asymptoottinen approksimaatio :

{\displaystyle \pi (n)\sim {\frac {n}{\ln {n))))

klo ,

n\to\infty

missä on pienempien alkulukujen lukumäärä kuin $\pi(n)$ $n$

Ominaisuudet

Suhteellinen virhe on yleensä nolla. Jos kannassa , niin tämän kannan suhteellinen virhe on yleensä nolla. Tämä ominaisuus johtaa yleisesti asymptoottisen tasa-arvon määritelmään. Huomaa, että absoluuttisen virheen ei tarvitse olla nolla. Esimerkki: at , mutta niiden absoluuttinen virhe on vakio ja yhtä suuri kuin . $f(x)\sim g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $x\sim x+1$ $x\to \infty$ $yksi$
Korvaa vastaavalla rajalla. Jos kantassa , niin siinä mielessä, että rajat ovat joko yhtä suuret tai kumpaakaan ei ole olemassa. $f(x)\sim g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $\lim _{\mathfrak {B}}f(x)=\lim _{\mathfrak {B}}g(x)$

Tämän ominaisuuden avulla voit korvata rajamerkin alla olevan lausekkeen vastaavalla. Siihen perustuu rajojen laskentatekniikka ekvivalenssien avulla.

Ekvivalenssien algebralliset operaatiot. Anna edelleen , , pohjan yli . Sitten $f(x)\sim f_{1}(x)$ $g(x)\sim g_{1}(x)$ $m\in \mathbb {N}$ ${\mathfrak {B}}$

f(x)g(x)\sim f_{1}(x)g_{1}(x)

pohjan mukaan .

{\mathfrak {B}}

{\frac {f(x)}{g(x)}}\sim {\frac {f_{1}(x)}{g_{1}(x)))

pohjan mukaan .

{\mathfrak {B}}

{\näyttötyyli (f(x))^{m}\sim (f_{1}(x))^{m))

pohjan mukaan .

{\mathfrak {B}}

Kaikki tasa-arvot tässä rajojen merkityksessä ovat joko yhtäläisiä tai kumpaakaan ei ole olemassa. Viimeinen ominaisuus voidaan yleistää murto-asteen tapaukselle, mutta koska negatiivisia lukuja ei voida nostaa ei-kokonaislukupotenssiin, on ensin tarkistettava, määritelläänkö lopulliset funktiot jollakin kannan elementillä. Parittoman asteen aritmeettisille juurille ominaisuutta voidaan soveltaa ilman lisätarkastuksia.

Näitä ominaisuuksia käytetään laajasti käytännössä rajan laskemiseen. Esimerkki:

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x(e^{x}-1)}{(\ln(x+1))^{2}\cdot e^{x- 1}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {x\cdot x}{x^{2}\cdot e^{-1}}}=e

Huomaa, että summalla ei ole analogista ominaisuutta: ekvivalenttien summan ei tarvitse olla ekvivalentti summan kanssa.

Edustus o-pienen kautta. $f(x)\sim g(x)\nuoli vasemmalle oikealle f(x)=g(x)+o(f(x))=g(x)+f(x)o(1)$

Koska tämä on vaihtoehtoinen vastaavuuden määritelmä, sitä voidaan käyttää myös toisinpäin. Esimerkiksi: klo , koska . Tämä antaa meille mahdollisuuden päästä eroon pienistä termeistä ekvivalenteissa. Esimerkki:

x+\ln x\sim x

x\to +\infty

{\näyttötyyli \ln x=o(x)}

\lim _{x\to +\infty }(e^{x}-x^{1}0-lnx)=\lim _{x\to +\infty }e^{x}=+\ infty

Tätä forward-ominaisuutta käytetään usein yhdessä seuraavien kanssa:

o-pieni on vastaavan o-pieni. $f(x)\sim g(x)\Rightarrow o(f(x))=o(g(x))$

Huolimatta siitä, että summaa ei voi korvata vastaavilla, voit käyttää kahta viimeistä ominaisuutta:

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x+\ln(x+1)}{e^{x}-1+\operaattorinimi {arctg} {x}}}=\lim _ {x\to 0}{\frac {x+o(\sin x)+x+o(\ln(x+1))}{x+o(e^{x}-1)+o(\operaattorinimi {arctg} {x})}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2x+o(x)}{2x+o(x)}}=\lim _{x\to 0}{ \dfrac {2x+o(1)x}{2x+o(1)x}}=\lim _{x\to 0}{\dfrac {2+o(1)}{2+o(1)} }={\frac {2}{2}}=1

Jos funktiot ovat ekvivalentteja jonkin kantakohdan suhteen, niin ne ovat ekvivalentteja minkä tahansa vahvemman kantakohdan suhteen . Esimerkki: for , mikä tarkoittaa, että ne vastaavat . $\sin x\sim x$ $x\to 0$ $x\to 0+$

Monimutkaisten funktioiden ekvivalenssia koskevalla lauseella, kuten monimutkaisen funktion rajalla, on monimutkainen muotoilu. Muotoilemme 3 versiota tästä lauseesta:

Monimutkaisten funktioiden ekvivalenssi.
- Jatkuviin toimintoihin. Antaa , Ja olla jatkuva pisteessä , . Sitten pohjalle . $f(x)\sim g(x)$ $x\to x_{0}$ $f(x)$ $g(x)$ $x_{0}$ $\lim _{\mathfrak {B}}h(x)=x_{0}$ $f(h(x))\sim g(h(x))$ ${\mathfrak {B}}$

Jatkuvien funktioiden lauseen versio kattaa kuitenkin suurimman osan käytännössä kohdatuista esimerkeistä. Esimerkiksi: klo . Epäjatkuvat toiminnot vaativat lisäehdon.

\sin {\dfrac {1}{x}}\sim {\dfrac {1}{x}}

x\to \infty

Epäjatkuviin toimintoihin. Antaa , Joidenkin elementtien pohjan, ei missään ota arvoa . Sitten pohjalle . $f(x)\sim g(x)$ $x\to x_{0}$ $\lim _{\mathfrak {B}}h(x)=x_{0}$ $h(x)$ $x_{0}$ $f(h(x))\sim g(h(x))$ ${\mathfrak {B}}$

Molemmat näistä ominaisuuksista ovat seurausta yleisestä lauseesta, joka koskee mielivaltaisen kantakohdan rajoja.

Mielivaltaiselle pohjalle. Olkoon , määritellään jollekin peruselementille ja mille tahansa peruselementille on olemassa peruselementti , joka . Sitten pohjalle . $f(x)\sim g(x)$ ${\mathfrak {D}}$ $h(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $d$ ${\mathfrak {D}}$ $b$ ${\mathfrak {B}}$ $h(b)\subseteq d$ $f(h(x))\sim g(h(x))$ ${\mathfrak {B}}$

Antaa ja olla positiivinen jossain perustan elementissä. jos ja vain jos . $f(x)$ $g(x)$ $f(x)\sim g(x)$ $\ln {f(x)}=\ln {g(x)}+o(1)$
Jos , ja , niin . $f(x)\sim g(x)$ $c=\operaattorinimi {const} {}$ ${\displaystyle A(x)=(c+o(1))^{f(x)))$ ${\displaystyle A(x)=(c+o(1))^{g(x)))$
Sarjan vastaavuus . Stolzin lauseen mukaan kahdelle äärettömälle sarjalle:

\sum \limits _{n=0}^{\infty }{a_{n))

ja ,

\sum \limits _{n=0}^{\infty }{b_{n))

jos ja rivi:

\forall n:\ b_{n}>0

\sum \limits _{n=0}^{\infty }{b_{n))

eroaa, tästä seuraa seuraavaa:

a_{n}\sim b_{n}

\sum \limits _{k=0}^{n}{a_{k}}\sim \sum \limits _{k=0}^{n}{b_{k}}

Tilaa

Samanlainen merkitys asymptoottisen tasa-arvon kanssa, mutta vähemmän tiukka, on saman funktioiden järjestyksen läsnäolo . Funktioilla ja sanotaan olevan sama järjestys, jos . Tässä tapauksessa käytetään merkintää tai . Jos nämä funktiot ovat äärettömän pieniä, järjestystä kutsutaan yleensä pienuusjärjestykseksi, ja jos äärettömän suuria, niin kasvujärjestystä. $f(x)$ $g(x)$ $\exists a,A:\ \exists X:\ \forall x>X:ag(x)\leqslant f(x)\leqslant Ag(x)$ $f(x)=\Theta (g(x))$ $f(x)\in \Theta (g(x))$

Samaan aikaan sellaisen vakion olemassaolo , että . Esimerkkinä riittää huomata, että , koska , ei kuitenkaan ole sellaista vakiota , että . $c$ $cf(x)\sim g(x)$ $x(1+|\sin {x}|)=\Theta (x)$ $x\leqslant x(1+|\sin {x}|)\leqslant 2x$ $c$ $x(1+|\sin {x}|)\sim cx$

Muistiinpanot

↑ Kudrjavtsev, 2003 , s. 264.
↑ Arkhipov, 2004 , s. 73.
↑ 1 2 3 matematiikan tietosanakirja .

Kirjallisuus

Kudrjavtsev L. D. Matemaattisen analyysin kurssi. 3 osassa. Osa 1 . - M . : Bustard, 2003. - 704 s. (Venäjän kieli)
Arkhipov, G. I. Matemaattisen analyysin luentoja: oppikirja. yliopistoille / G. I. Arkhipov , V. A. Sadovnichiy , V. N. Chubarikov ; toim. V. A. Sadovnichy. - 5. painos, Rev. - M . : Drofa, 2004. - 640 s. — (Klassinen yliopistooppikirja). — ISBN 5-7107-8900-3 .
Asymptoottinen tasa-arvo . Matematiikan tietosanakirja . (määrätön)