Binomiaalinen kerroin

Binomikerroin on kerroin termin edessä Newtonin binomiaalin laajennuksessa potenssien . Kerroin at on merkitty tai ja se on "binomiaalinen kerroin alkaen " (tai " yhdistelmien lukumäärä alkaen "): $(1+x)^{n}$ $x$ $x^{k}$ $\textstyle {\binom {n}{k))$ $\textstyle C_n^k$ $n$ $k$ $n$ $k$

(1+x)^{n}={\binom {n}{0}}+{\binom {n}{1}}x+{\binom {n}{2}}x^{2} +\lpisteet +{\binom {n}{n}}x^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}

luonnollisille voimille . _ $n$

Binomiaaliset kertoimet voidaan määrittää myös mielivaltaisille reaalieksponenteille . Kun kyseessä on mielivaltainen reaaliluku, binomikertoimet määritellään lausekkeen laajentamisen kertoimina äärettömäksi potenssisarjaksi : $n$ $n$ $(1+x)^{n}$

{\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {n}{k))x^{k))

missä ei-negatiivisten kokonaislukujen tapauksessa kaikki kertoimet at katoavat ja siksi tämä laajennus on äärellinen summa. $n$ $\textstyle {\binom {n}{k))$ $k>n$

Kombinatoriikassa binomikerroin ei - negatiivisille kokonaisluvuille ja tulkitaan yhdistelmien lukumääräksi by , eli kaikkien (ei-tiukkojen ) osajoukkojen ( näytteiden ) lukumääränä -elementtijoukossa . $\textstyle {\binom {n}{k))$ $n$ $k$ $n$ $k$ $k$ $n$

Binomiaaliset kertoimet syntyvät usein kombinatoriikan ja todennäköisyysteorian ongelmissa . Binomien kertoimien yleistys ovat multinomikertoimia .

Eksplisiittiset kaavat

Laskemalla kertoimet potenssisarjan laajennuksessa voidaan saada eksplisiittiset kaavat binomikertoimille . $(1+x)^{n}$ $\textstyle {\binom {n}{k))$

Kaikille reaaliluvuille ja kokonaisluvuille : $n$ $k$

{\binom {n}{k}}={\begin{cases}{\frac {n(n-1)(n-2)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)}{ k!}},&k\geqslant 0\\0,&k<0\end{cases}}

jossa tarkoittaa faktoriaalia . _ $k!$ $k$

Ei-negatiivisille kokonaisluvuille ja kaavat ovat myös voimassa: $n$ $k$

{\binom {n}{k}}={\begin{cases}{\frac {n!}{k!(nk)!}}),&0\leqslant k\leqslant n\\0,&k > n\end{cases}}

Negatiivisten kokonaislukujen eksponentien binomiaaliset laajennuskertoimet ovat: ${\näyttötyyli (1+x)^{-n))$

{\binom {-n}{k}}={\begin{cases}(-1)^{k}\cdot {\frac {(n+k-1)!}{k!(n- 1)!}},&k\geqslant 0\\0,&k<0\end{cases}}

Pascalin kolmio

Identiteetti:

{n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}

voit järjestää binomikertoimet ei-negatiivisille kokonaisluvuille Pascalin kolmion muodossa , jossa jokainen luku on yhtä suuri kuin kahden suuremman summa: $n$ $k$

{\begin{matrix}n=0:&&&&&1&&&\\\n=1:&&&&1&&1&&&\\n=2:&&&1&&2&&1&&\\n=3:&&1&&3&&3&&1&\\n=4:&&&&&1&pisteet 4&&6&v&s &&\v&\\&v&s \vdots &&\vdots &\end{matrix}}

Kolmiotaulukko, jonka Pascal ehdotti tutkielmassaan aritmeettisesta kolmiosta (1654), eroaa tässä kirjoitetusta taulukosta 45°:n kierroksella. Taulukot binomikertoimien näyttämiseksi tunnettiin aikaisemmin ( Tartaglia , Omar Khayyam ).

Jos Pascalin kolmion jokaisella rivillä kaikki luvut jaetaan luvulla (tämä on rivin kaikkien lukujen summa ), niin kaikki suorat , kulkiessaan äärettömään, ovat normaalijakauman funktion muodossa . $2^{n}$ $n$

Ominaisuudet

Luodaan funktioita

Kiinteälle arvolle binomikertoimien sarjan generoiva funktio on: $n$ ${\tbinom {n}{0)),\;{\tbinom {n}{1)),\;{\tbinom {n}{2)),\dots$

\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {n}{k}}x^{k}=(1+x)^{n}

Kiinteälle arvolle kerroinsekvenssin generoiva funktio on: $k$ ${\tbinom {0}{k)),\;{\tbinom {1}{k)),\;{\tbinom {2}{k)),\dots$

\sum _{n}{\binom {n}{k}}y^{n}={\frac {y^{k}}{(1-y)^{k+1}}}

Kokonaislukujen binomiaalisten kertoimien kaksiulotteinen generointifunktio on: $\tbinom{n}{k}$ $n,k$

\sum _{n,k}{\binom {n}{k}}x^{k}y^{n}={\frac {1}{1-y-xy}}

, tai .

\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}y^{n}={ \frac {1}{1-y-xy}}

Jaettavuus

Luukkaan lauseesta seuraa, että:

kerroin on pariton luvun binäärimuodossa , yksiköt eivät ole niissä numeroissa, joissa numerossa on nollia; $\textstyle {\binom {n}{k))$ $\iff$ $k$ $n$
kerroin ei ole alkuluvun kerrannainen luvun -aarisessa esityksessä , kaikki bitit eivät ylitä luvun vastaavia bittejä ; $\textstyle {\binom {n}{k))$ $s$ $\iff$ $s$ $k$ $n$
binomikertoimien sarjassa : $\textstyle {\binom {n}{0)),\;{\binom {n}{1)),\;\ldots ,\;{\binom {n}{n))$
- kaikki luvut eivät ole tietyn alkuluvun kerrannaisia voidaan esittää muodossa , jossa on luonnollinen luku ; $s$ $\iff$ $n$ $mp^{k}-1$ $m<p$
- kaikki luvut ensimmäistä ja viimeistä lukuun ottamatta ovat annetun alkuluvun kerrannaisia ; $s$ $\iff$ $n=p^{k}$
- parittomien lukujen määrä on yhtä suuri kuin kahden potenssi, jonka eksponentti on yhtä suuri kuin yksiköiden lukumäärä luvun binäärimerkinnässä ; $n$
- parilliset ja parittomat luvut eivät voi olla yhtä suuria;
- lukujen määrä, jotka eivät ole alkuluvun kerrannaisia, on yhtä suuri kuin , jossa luvut ovat luvun -ary-merkinnän numeroita ; ja numero , jossa on sukupuolifunktio , on annetun tietueen pituus. $s$ $(a_{1}+1)\cdots (a_{m}+1)$ ${\displaystyle a_{1},\;\ldots ,a_{m))$ $s$ $n$ $\textstyle m=\lfloor \log _{p}{n}\rfloor +1$ $\lfloor\cdot\rfloor$

Perusidentiteetit

${n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}$ .
${\binom {n}{k}}=(-1)^{k}{\binom {-n+k-1}{k}}$ .
${n \choose k}={n \choose nk}$ (symmetria sääntö).
${n \choose k}={\frac {n}{k}}{n-1 \choose k-1}$ (haarukointi).
${n \choose {\color {Green}m}}{{\color {Green}m} \choose n-{\color {Green}k}}={n \choose {\color {Green}k }}{{\color {Green}k} \choose n-{\color {Green}m}}$ (indeksien korvaaminen).
${\displaystyle (nk){n \choose k}=n{n-1 \choose k))$ .

Newtonin binomi ja seuraukset

${\displaystyle {n \choose 0}+{n \choose 1}+\ldots +{n \choose n}=2^{n))$ , missä . $n\in \mathbb {N}$
$\sum _{i+j=m}{\binom {n}{j}}{\binom {n}{i}}(-1)^{j}={\begin{cases}{\ binom {n}{m/2)),&{\text{if}}\ m\equiv 0{\pmod {2)),\\0,&{\text{if}}\ m\equiv 1{ \pmod {2}}.\end{cases}}$
$\sum_{j=k}^{n} \binom{n}{j} (-1)^j = (-1)^k \binom{n-1}{k-1}$ .
${n \choose 0}-{n \choose 1}+\ldots +(-1)^{n}{n \choose n}=0$ , missä . $n\in \mathbb {N}$
Vahvempi identiteetti: , missä . ${\displaystyle {n \choose 0}+{n \choose 2}+\ldots +{n \choose 2\lfloor n/2\rfloor }=2^{n-1))$ $n\in \mathbb {N}$
$\sum _{{k=-a}}^{{a}}(-1)^{{k}}{2a \choose k+a}^{3}={\frac {(3a)!}{ (a!)^{3}}}$ ,

mutta yleisemmin

\sum _{k=-a}^{a}(-1)^{k}{a+b \valitse a+k}{b+c \valitse b+k}{c+a \valitse c+k}={\frac {(a+b+c)!}{a!\,b!\,c!}}

Vandermonden konvoluutio ja seuraukset

Vandermonden konvoluutio :

{\displaystyle \sum _{k}{r \choose m+k}{s \choose nk}={r+s \choose m+n))

missä a . Tämä identiteetti saadaan laskemalla kerroin at laajennuksessa ottaen huomioon identtisyys . Summa otetaan yli kaikki kokonaisluvut , joille . Satunnaisten reaalilukujen tapauksessa nollasta poikkeavien ehtojen määrä summassa on äärellinen. $m,n\in \mathbb {Z} ,$ $r,s\in \mathbb {R}$ ${\näyttötyyli x^{m+n))$ ${\näyttötyyli (1+x)^{r}(1+x)^{s))$ ${\näyttötyyli (1+x)^{r+s}=(1+x)^{r}(1+x)^{s))$ $k$ $\textstyle {r \choose m+k}{s \choose nk}\neq 0$ $r$ $s$

Vandermonden konvoluution seuraus:

{n \choose 0}{a \choose a}-{n \choose 1}{a+1 \choose a}+\ldots +(-1)^{n}{n \choose n}{a+n \ valitse a}=(-1)^{n}{a \choose n}

Yleisempi identiteetti:

\sum _{{i=0}}^{{p}}(-1)^{i}{p \choose i}\prod _{{m=1}}^{{n}}{i+s_ {m} \valitse s_{m}}=0

jos .

\sum _{{m=1}}^{n}{s_{m}}<p

Toinen konvoluution seuraus on seuraava identiteetti: . ${\displaystyle {n \choose 0}^{2}+{n \choose 1}^{2}+\ldots +{n \choose n}^{2}={2n \choose n))$

Muut identiteetit

${\frac {4}{n}}\sum _{k=1}^{n}k^{2}{\binom {2n}{n+k}}=2^{2n}$ , missä on luonnollinen luku. $n$
$\sum _{k=1}^{n}{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}{n \choose k}=\sum _{k=1}^ {n}{\frac {1}{k}}=H_{n}$ - harmoninen luku . $n$
Sarjan moniosa antaa identiteetin, joka ilmaisee binomikertoimien summan mielivaltaisella askeleella ja offsetin äärellisenä termien summana : $(1+x)^{n}$ $s$ $t$ $(0\leqslant t<s)$ $s$

{\binom {n}{t}}+{\binom {n}{t+s}}+{\binom {n}{t+2s}}+\ldots ={\frac {1}{ s}}\sum _{j=0}^{s-1}\left(2\cos {\frac {\pi j}{s}}\right)^{n}\cos {\frac {\pi (n-2t)j}{s}}

On myös tasa-arvoa:

{\begin{alignedat}{2}{\binom {n}{3}}&={\frac {n(n-1)(n-2)}{\color {Green}2}}- \sum _{i=2}^{n-1}{(ni)(n-i+1)}=\\&=n(n-1)(n-2)-\sum _{i=2 }^{n-1}{(ni)({\color {Green}2}n-i+1)}=\\&=3{\binom {n}{3}}-2{\binom {n }{3}};\\\end{alignedat}}

{\begin{alignedat}{2}{\binom {n}{4}}&={\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{\color {Vihreä }2}}-\sum _{i=3}^{n-1}{(ni)\left(n(n-1)-\sum _{i_{0}=1}^{i-2} i_{0}\right)}=\\&=n(n-1)(n-2)(n-3)-\sum _{i=3}^{n-1}{(ni)\left ({\väri {vihreä}2}n(n-1)-\sum _{i_{0}=1}^{i-2}i_{0}\right)}=\\&=24{\binom {n}{4}}-23{\binom {n}{4}};\\\end{alignedat}}

{\begin{alignedat}{2}{\binom {n}{5}}&={\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)} {\väri {Vihreä}2}}-\\&-\sum _{i=4}^{n-1}{(ni)\left(n(n-1)(n-2)-\sum _ {i_{0}=1}^{i-3}\sum _{i_{1}=1}^{i_{0}}i_{1}\right)}=\\&=n(n-1 )(n-2)(n-3)(n-4)-\\&-\sum _{i=4}^{n-1}{(ni)\left({\väri {vihreä}2} n(n-1)(n-2)-\sum _{i_{0}=1}^{i-3}\sum _{i_{1}=1}^{i_{0}}i_{1 }\right)}=\\&=120{\binom {n}{5}}-119{\binom {n}{5}}.\end{alignedat}}

Mistä se tulee:

{\binom {n}{3}}={\frac {\sum \limits _{i=2}^{n-1}{(ni)(2n-i+1))){2} }={\frac {\sum \limits _{i=2}^{n-1}{(ni)\left(2A_{n}^{1}-{\binom {i-1}{1)) \right)}}{2}};

{\binom {n}{4}}={\frac {\sum \limits _{i=3}^{n-1}{(ni)\left(2n(n-1)-\sum \limits _{i_{0}=1}^{i-2}i_{0}\right)}}{23}}={\frac {\sum \limits _{i=3}^{n-1 }{(ni)\left(2A_{n}^{2}-{\binom {i-1}{2}}\right)}}{23}};

{\begin{alignedat}{2}&{\binom {n}{5}}={\frac {\sum \limits _{i=4}^{n-1}{(ni)\left (2n(n-1)(n-2)-\sum \limits _{i_{0}=1}^{i-3}\sum \limits _{i_{1}=1}^{i_{0 }}i_{1}\right)}}{119}}=\\&={\frac {\sum \limits _{i=4}^{n-1}{(ni)\left(2A_{n }^{3}-{\binom {i-1}{3}}\right)}}{119}};\\\end{alignedat}}

{\binom {n}{k}}={\frac {\sum \limits _{i=k-1}^{n-1}{(ni)\left(2A_{n}^{k -2}-{\binom {i-1}{k-2}}\right)}}{k!-1}}

missä on sijoittelujen määrä välillä - . $A_{n}^{k}$ $n$ $k$

Matriisirelaatiot

Jos otamme neliömatriisin laskemalla elementit Pascalin kolmion jalkoja pitkin ja kiertämällä matriisia millä tahansa neljästä kulmasta, niin näiden neljän matriisin determinantti on ±1 mille tahansa , ja matriisin determinantti, jonka kärki on kolmio vasemmassa yläkulmassa on 1. $N$ $N$

Matriisissa diagonaalin numerot toistavat Pascalin kolmion ( ) rivien numerot. Se voidaan hajottaa kahden tiukasti diagonaalisen matriisin tuloksi: alemman kolmiomaisen ja siitä transponoimalla saadun matriisin tuloksi: ${\begin{bmatrix}{\tbinom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}$ $i+j=\mathrm {Const}$ ${\näyttötyyli i,j=0,1,\pisteet }$

{\begin{bmatrix}{\binom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}=UU^{T}

missä . Käänteimatriisilla k on muoto: $U={\begin{bmatrix}{\tbinom {i}{j}}\end{bmatrix}}$ $U$

U^{-1}={\begin{bmatrix}(-1)^{i+j}{\binom {i}{j}}\end{bmatrix}}

Siten on mahdollista hajottaa käänteinen matriisi k kahden tiukasti diagonaalisen matriisin tuloksi: ensimmäinen matriisi on ylempi kolmiomainen ja toinen saadaan ensimmäisestä transponoimalla, mikä antaa meille mahdollisuuden antaa eksplisiittinen lauseke käänteiset elementit: ${\begin{bmatrix}{\tbinom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}$

{\begin{bmatrix}{\binom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}_{{m,n}}^{{-1}}=\sum _{{k=0}} ^{{p}}(-1)^{{m+n}}{\binom {k}{m}}{\binom {k}{n}}

, missä , , , .

i

j

m

n=0\dots p

Käänteismatriisin elementit muuttuvat sen koon muuttuessa, eikä, toisin kuin matriisissa , riitä uuden rivin ja sarakkeen osoittaminen. Matriisin sarake on argumentissa astepolynomi , joten ensimmäiset p sarakkeet muodostavat täydellisen perustan pituisten +1 vektorien avaruudessa , joiden koordinaatit voidaan interpoloida saman tai pienemmän asteisen polynomin avulla . Matriisin alarivi on ortogonaalinen mihin tahansa sellaiseen vektoriin. ${\begin{bmatrix}{\tbinom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}$ $j$ ${\begin{bmatrix}{\tbinom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}$ $j$ $i$ $s$ $p-1$ ${\begin{bmatrix}{\binom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}_{{m,n}}^{{-1}}$

{\begin{bmatrix}{\binom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}_{{p,n}}^{{-1}}=\sum _{{k=0}} ^{{p}}(-1)^{{p+n}}{\binom {k}{p}}{\binom {k}{n}}=(-1)^{{p+n} }{\binom {p}{n}}

\sum _{{n=0}}^{{p}}(-1)^{{p+n}}{\binom {p}{n}}{P}_{{a}}(n) =0

varten , jossa on asteen polynomi .

a<p

{Panoroida)

a

Jos mielivaltaisen pituinen vektori voidaan interpoloida asteen polynomilla , niin matriisin pistetulo riveillä (numeroitu 0:sta) on nolla. Käyttämällä yllä olevaa identiteettiä ja matriisin alarivin ja matriisin viimeisen sarakkeen pistetulon ykseyttä , saamme: $p+1$ $i<p$ $i+1,i+2,\pisteet ,s$ ${\begin{bmatrix}{\binom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}_{{m,n}}^{{-1}}$ ${\begin{bmatrix}{\binom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}_{{m,n}}^{{-1}}$ ${\begin{bmatrix}{\tbinom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}$

\sum _{n=0}^{p}(-1)^{p+n}{\binom {p}{n}}{n}^{p}=p!

Jos eksponentti on suurempi , voit asettaa rekursiivisen kaavan: $s$

\sum _{n=0}^{p}(-1)^{p+n}{\binom {p}{n}}{n}^{p+a}=p!{P} _{2a}(p)={f}_{a}(p)

missä on polynomi

{P}_{2a+2}(p)=\sum _{x=1}^{p}x{P}_{2a}(x);\quad a\geqslant 0;\quad { P}_{0}(p)=1

Todistaaksemme sen määritämme ensin henkilöllisyyden:

{f}_{a}(p+1)=\sum _{x=0}^{a}{(p+1)}^{x+1}{f}_{ax}(p )

Jos sinun ei tarvitse löytää kaavaa kaikille eksponenteille, niin:

{P}_{2a}(p)={\frac {p}{{2}^{a}}}{\binom {p+a}{a}}{Q}_{a-1 }(p);\quad a>0

Suurin kerroin on 1, muiden kertoimien löytämiseen tarvitaan a-1 arvoja: ${Q}_{{a-1}}(p)$

{Q}_{{a-1}}(p)=p(p+1){T}_{{a-3}}(p)

varten .

a\equiv 1{\pmod {2));a\geqslant 3

Asymptotiikka ja arviot

${\binom {2n}{n}}\sim {\frac {2^{2n}}{\sqrt {\pi n}}}$ .
$\sum _{{k=0}}^{{m}}{\binom {n}{k}}\leqslant {\frac {n}{(n/2-m)^{2}}}2^ {{n-3}}$ at ( Tšebyshevin epätasa-arvo ). $m<{\frac {n}{2))$
$\sum \limits _{{k=0}}^{{m}}{\binom {n}{k}}\leqslant 2^{{nH({\frac {m}{n}})))}$ , at ( entropiaestimaatti ), missä on entropia . $m\leq {\frac {n}{2}}$ $H(x)=-x\log _{2}x-(1-x)\log _{2}(1-x)$
$\sum _{{k=0}}^{{n/2-\lambda }}{\binom {n}{k}}\leqslant 2^{n}e^{{-2\lambda ^{2} /n}}$ ( Tšernovin eriarvoisuus ).

Se seuraa suoraan Stirlingin kaavasta , että for on totta . $\alpha \in(0;1)$ $C_{n}^{{\alpha n}}\sim {\sqrt {{\frac {1}{2\pi \alpha (1-\alpha )n))))\left({{\frac {1 }{\alpha }}}\oikea)^{{\alpha n}}\vasen({{\frac {1}{1-\alpha }}}\oikea)^{{(1-\alpha )n} }=\left({{\frac {1}{\alpha ^{\alpha }{(1-\alpha )}^{{(1-\alpha )))}}+o(1)}\oikea) ^{{n}}$

Kokonaislukupolynomit

Binomikertoimet , ... ovat kokonaislukupolynomeja , eli ne ottavat kokonaislukuarvot kokonaislukuarvoille , - tämä on helppo ymmärtää esimerkiksi Pascalin kolmiosta. Lisäksi ne muodostavat perustan kokonaislukuarvoisille polynomeille, joissa kaikki kokonaislukuarvoiset polynomit ilmaistaan lineaarisina yhdistelminä kokonaislukukertoimien kanssa. [yksi] ${\tbinom {x}{0}}=1,{\tbinom {x}{1}}=x,{\tbinom {x}{2}}={\tfrac {x^{2}} {2}}-{\tfrac {x}{2}}$ $x$ $x$

Samanaikaisesti vakiokanta , … ei salli kaikkien kokonaislukupolynomien ilmaisemista, jos käytetään vain kokonaislukukertoimia, koska sillä on jo murto-osakertoimia potenssilla . ${\näyttötyyli 1,x,x^{2))$ ${\tbinom {x}{2}}={\tfrac {x^{2}}{2}}-{\tfrac {x}{2}}$ $x$

Tämä tulos yleistyy monien muuttujien polynomeihin. Nimittäin jos astepolynomilla on todelliset kertoimet ja se ottaa muuttujien kokonaislukuarvoiksi kokonaislukuarvot, niin $R(x_1, \pisteet, x_m)$ $k$

R(x_{1},\dots ,x_{m})=P\left({\binom {x_{1}}{1}},\dots ,{\binom {x_{1}}{ k)),\dots ,{\binom {x_{m}}{1)),\dots ,{\binom {x_{m}}{k}}\right)

jossa on polynomi kokonaislukukertoimilla. [2] $P$

Laskenta-algoritmit

Binomikertoimet voidaan laskea käyttämällä rekursiivista kaavaa , jos arvot tallennetaan jokaiseen vaiheeseen . Tämä algoritmi on erityisen tehokas, jos haluat saada kaikki arvot kiinteälle . Algoritmi vaatii muistia ( koko binomikertoimien taulukkoa laskettaessa) ja aikaa (olettaen, että jokainen luku vie muistiyksikön ja numeroilla suoritetaan operaatioita aikayksikköä kohti), missä — « » on suuri . ${\tbinom {n}{k}}={\tbinom {n-1}{k}}+{\tbinom {n-1}{k-1}}$ $n$ $\tbinom{n}{k}$ $k={\overline {0,1,\;\ldots ,n))$ $\tbinom{n}{k}$ $n$ $Päällä)$ $O(n^{2})$ $O(n^{2})$ $O$ $o$

Kiinteällä arvolla binomikertoimet voidaan laskea rekursiivisella kaavalla , jonka alkuarvo on . Tämä menetelmä vaatii muistia ja aikaa arvon laskemiseen . $k$ ${\tbinom {n}{k}}={\tfrac {n}{nk}}\cdot {\tbinom {n-1}{k}}$ ${\tbinom {k}{k}}=1$ $\tbinom{n}{k}$ $O(1)$ $Päällä)$

Jos haluat laskea kertoimet kiinteälle arvolle , voit käyttää alkuehdon kaavaa . Jokaisessa iterointivaiheessa osoittajaa pienennetään (alkuarvo on ), ja nimittäjää vastaavasti kasvatetaan (alkuarvo on ). Tämä menetelmä vaatii muistia ja aikaa arvon laskemiseen . $\tbinom{n}{k}$ $n$ ${\tbinom {n}{k}}={\tfrac {n-k+1}{k}}\cdot {\tbinom {n}{k-1}}$ ${\tbinom {n}{0}}=1$ $yksi$ $n$ $yksi$ $yksi$ $\tbinom{n}{k}$ $O(1)$ $O(k)$

Muistiinpanot

↑ Prasolov V. V. Luku 12. Kokonaislukuarvoiset polynomit // Polynomit . — M .: MTsNMO , 1999, 2001, 2003.
↑ Yu Matiyasevitš. Hilbertin kymmenes ongelma. - Tiede, 1993.

Kirjallisuus

Binomiaaliset kertoimet // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : 86 nidettä (82 osaa ja 4 lisäosaa). - Pietari. , 1890-1907.
Fuks D., Fuks M. Binomikertoimien aritmetiikka // Kvant . - 1970. - Nro 6 . - S. 17-25 .
Kuzmin OV Pascalin kolmio ja pyramidi: ominaisuudet ja yleistykset // Soros Educational Journal . - 2000. - T. 6 , nro 5 . - S. 101-109 .
Lando S. K. Shadow calculus // VIII kesäkoulu "Moderni matematiikka". - Dubna, 2008.
Vinberg E. B. Binomikertoimien yllättävät aritmeettiset ominaisuudet // Matemaattinen koulutus . - 2008. - Ongelma. 12 . — s. 33–42 .
Donald Knuth , Ronald Graham , Oren Patashnik . konkreettista matematiikkaa. Tietojenkäsittelytieteen matemaattiset perusteet = Concrete Mathematics. Tietojenkäsittelytieteen säätiö. - 2. — M .: Mir ; Binomi. Tietolaboratorio ; "Williams" , 1998-2009. - 703, 784 s. — ISBN 95-94774-560-7 , 78-5-8459-1588-7.