Vertex-erotin (graafiteoria)

Graafiteoriassa pisteiden osajoukkoa kutsutaan ei-viereisten kärkien vertex-erottimeksi ja jos graafista poistaminen erottaa ja kahdeksi yhdistetyksi komponentiksi .

Esimerkkejä

Oletetaan, että annetaan hila , jossa on r riviä ja c saraketta, niin n kärjen kokonaismäärä on r*c . Esimerkiksi kuvassa r  = 5, c  = 8 ja n  = 40. Jos r on pariton, on yksi keskirivi, muuten kaksi riviä on yhtä lähellä keskustaa. Samalla tavalla, jos c on pariton, on yksi keskisarake, muuten kaksi saraketta on yhtä lähellä keskustaa. Valitsemalla jommankumman näistä riveistä tai sarakkeista S :ksi ja poistamalla S graafista, saadaan graafin osio kahdeksi pienemmäksi yhdistettyyn aligraafiin A ja B , joista kumpikin sisältää enintään n /2 kärkeä. Jos r  ≤  c (kuten kuvassa), keskisarakkeen valitseminen antaa erottimen S , jossa on r  ≤ √ n kärkeä, ja vastaavasti, jos c  ≤  r , keskirivin valinta antaa erottimen, jossa on enintään √ n pistettä . . Siten missä tahansa graafihilassa on erotin S , jonka koko on enintään √ n , jonka poistaminen jakaa graafin kahdeksi yhteenliittyneeksi komponentiksi, joiden kunkin koko on enintään n /2 [1] .

Toinen esimerkkiluokka on vapaa puu T , jossa on yksikärkinen erotin S , jonka poistaminen jakaa T :n kahdeksi (tai useammaksi) yhdistetyksi komponentiksi, joiden kunkin koko on enintään n /2. Tarkemmin sanottuna kärkipisteitä on tasan yksi tai kaksi sen mukaan, onko puu keskitetty vai kaksikeskinen [2] .

Toisin kuin annetut esimerkit, kaikki vertex-erottimet eivät ole tasapainotettuja , mutta tämä ominaisuus on hyödyllisin tietotekniikan sovelluksissa.

Minimierottimet

Olkoon S ( a,b) -erotin, eli pisteiden osajoukko, joka erottaa kaksi ei-vierekkäistä kärkeä a ja b . Silloin S on minimaalinen (a,b)-erotin, jos mikään S :n osajoukko ei erota a :ta ja b :tä . Joukkoa S kutsutaan minimierottimeksi , jos se on minimierotin mille tahansa ei-viereisten kärkien parille (a,b) . Alla on hyvin tunnettu tulos minimaalisten erottimien karakterisoinnista [3] :

Lemma. Vertex-erotin S :ssä G on minimaalinen, jos ja vain, jos graafissa , joka saadaan poistamalla S G :stä, on kaksi toisiinsa liittyvää komponenttia ja sellainen, että jokainen S :n kärki on kytketty johonkin kärkeen in ja johonkin kärkeen in .

Minimierottimet muodostavat algebrallisen järjestelmän : tietyn graafin G kahdelle kiinteälle kärjelle a ja b (a,b) -erotinta S voidaan pitää toisen (a,b)-erottimen T edeltäjänä, jos polkua a :sta b osuu S :ään ennen kuin päästä T :hen . Tarkemmin sanottuna ensisijaisuussuhde määritellään seuraavasti: Olkoon S ja T kaksi (a,b) -erotinta 'G:ssä'. Tällöin S on T :n edeltäjä , jota merkitään ikään kuin mikä tahansa polku x :n ja b :n välillä sisältää kärjen T :stä . Määritelmästä seuraa, että ensisijaisuussuhde on ennakkotilaus kaikkien (a,b) -erottimien joukossa. Lisäksi Escalante [4] osoitti, että ensisijaisuusrelaatiosta tulee täydellinen hila , jos rajoitamme minimaalisten (a,b) -erottimien G joukkoon .

Katso myös

Muistiinpanot

  1. ↑ J. Alan George. Säännöllisen elementtiverkon sisäkkäinen dissektio // SIAM Journal on Numerical Analysis. - 1973. - T. 10 , no. 2 . - S. 345-363 . - doi : 10.1137/0710032 . — . . Sen sijaan, että George käyttäisi kaavion rivejä ja sarakkeita, hän jakaa kaavion neljään osaan yhdistämällä rivit ja sarakkeet erottimena.
  2. ↑ Camille Jordan. Sur les assemblages de lignes  (ranska)  // Journal für die reine und angewandte Mathematik . - 1869. - T. 70 , no. 2 . - S. 185-190 .
  3. ↑ Martin Charles Golumbic. Algoritminen graafiteoria ja täydelliset kuvaajat. - Academic Press, 1980. - ISBN 0-12-289260-7 .
  4. ↑ F. Escalante. Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. - 1972. - T. 38. - S. 199-220. - doi : 10.1007/BF02996932 .

Kirjallisuus