Wiener-prosessi

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 27.1.2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 10 muokkausta .

Wiener - prosessi satunnaisprosessien teoriassa on matemaattinen malli Brownin liikkeestä tai satunnaisesta kävelystä jatkuvalla ajalla .

Määritelmä

Satunnainen prosessi , jota kutsutaan Wiener-prosessiksi, jos $W_{t}$ $t\geq 0$

$W_{0}=0$ melkein varma .
$W_{t}$ on prosessi, jossa on itsenäisiä lisäyksiä .
$W_{t}-W_{s}\sim \mathrm {N} (0,\sigma ^{2}(ts))$ . _ $\forall 0\leq s<t<\infty$

missä on normaalijakauma keskiarvon ja varianssin kanssa . Arvoa , joka on vakio prosessille, pidetään edelleen yhtä suurena kuin . $\mathrm {N} (0,\sigma ^{2}(ts)$ $0$ $\sigma ^{2}(ts)$ $\sigma ^{2}$ $yksi$

Vastaava määritelmä:

$W_{t}$ on Gaussin prosessi .
$\mathbb {E} W_{t}=0$ , . $\forall t\geqslant 0$
${\text{cov}}(W_{t},W_{s})=\min(t,s)$ , . $\forall t,s\geqslant 0$

Ratojen jatkuvuus

On olemassa ainutlaatuinen Wiener-prosessi, jossa lähes kaikki sen liikeradat ovat jatkuvia kaikkialla . Koska tätä prosessia yleensä tarkastellaan, lentoratojen jatkuvuuden ehto sisältyy usein Wiener-prosessin määritelmään.

Wiener-prosessin ominaisuudet

$W_{t}$ on Gaussin prosessi .
$W_{t}$ on Markovin prosessi .
$W_{t}\sim \mathrm {N} (0,t)$ . Sen mukaisesti ja $\mathbb {E} [W_{t}]=0$ $\mathrm {D} [W_{t}]=t$

$\mathrm {cov} (W_{s},W_{t})=\min(s,t)$ .
$W_{t}$ - martingaali. Tässä tarkoitamme martingaalia ${\displaystyle \mathbb {E} [W_{t}|W_{s},s\leqslant \tau ]=EW_{\tau ))$
Jos on Wiener-prosessi, niin , on myös Wiener-prosessi. $W_{t}$ $tW_{1/t},t>0$ $0,t=0$

Wiener-prosessi on mittakaava-invariantti tai itsesimulaatio . Jos on Wiener-prosessi, ja , sitten $W_{t}$ $c>0$

V_{t}={\frac {1}{\sqrt {c}}}W_{ct}

on myös Wiener-prosessi.

Wiener-prosessin derivaatan korrelaatiofunktio on deltafunktio .

Wiener-prosessin liikeradat eivät ole läheskään varmasti erotettavissa . Wiener-prosessin derivaatta (yleistettynä) on normaali valkoinen kohina .

Wiener-prosessin liikeradan mille tahansa segmentille rajattoman vaihtelun funktio tällä segmentillä on lähes varma .

Wiener-prosessissa iteroidun logaritmin laki pätee .

\limsup \limits _{t\rightarrow \infty }{\frac {W_{t}}{\sqrt {2t\ln \ln t}}}=1

melkein todennäköisesti .

$\int \limits _{0}^{t}W_{s}ds\sim N(0,t^{3}/3)$

Moniulotteinen Wiener-prosessi

Moniulotteinen ( -dimensionaalinen) Wiener-prosessi on -arvostettu satunnainen prosessi, joka koostuu itsenäisistä yksiulotteisista Wiener-prosesseista, ts. $n$ $\mathbf {W} _{t}$ $\mathrm {R} ^{n}$ $n$

\mathbf {W} _{t}=\left(W_{t}^{1},\ldots ,W_{t}^{n}\right)^{\top },\quad t\geq 0

jossa prosessit ovat yhdessä riippumattomia . $\left\{W_{t}^{i}\right\},\;i=1,\ldots ,n$

Yhteys fyysisiin prosesseihin

Wiener-prosessi kuvaa hiukkasen Brownin liikettä , joka tekee satunnaisia liikkeitä nestemolekyylien vaikutusten vaikutuksesta. Vakio riippuu tässä tapauksessa hiukkasen massasta ja nesteen viskositeetista . $\sigma ^{2}$

Linkit

Stokastinen maailma – yksinkertainen johdatus stokastisiin differentiaaliyhtälöihin