Geometrinen eteneminen

Geometrinen progressio on lukujono , , , ( progression jäsenet ), jossa jokainen seuraava luku toisesta alkaen saadaan edellisestä jäsenestä kertomalla se tietyllä luvulla ( etenemisen nimittäjä ). Samaan aikaan [1] . $b_{1}$ $b_{2}$ $b_{3}$ $\ldots$ $q$ $b_{1}\neq 0,q\neq 0;b_{n}=b_{n-1}q,n\in \mathbb {N} ,n\geqslant 2$

Kuvaus

Mikä tahansa geometrisen progression jäsen voidaan laskea kaavalla

b_{n}=b_{1}q^{n-1}.

Jos ja , eteneminen on kasvava sekvenssi , jos , se on laskeva sekvenssi, ja , se on vuorotteleva sekvenssi [2] , sillä se on stationäärinen . $b_{1}>0$ $q>1$ $0<q<1$ $q<0$ $q = 1$

Eteneminen on saanut nimensä ominaisuudestaan :

|b_{n}|={\sqrt {b_{n-1}b_{n+1}}},

eli kunkin termin moduuli on yhtä suuri kuin sen naapureiden geometrinen keskiarvo .

Esimerkkejä

Neliöiden pinta-alojen sarja , jossa jokainen seuraava neliö saadaan yhdistämällä edellisen sivujen keskipisteet, on ääretön geometrinen progressio, jonka nimittäjä on 1/2. Jokaisessa vaiheessa saatujen kolmioiden pinta-alat muodostavat myös äärettömän geometrisen progression nimittäjällä 1/2, jonka summa on yhtä suuri kuin aloitusneliön pinta-ala [3] :8-9 .
Geometrinen on sarja jyvien lukumäärän soluissa shakkilaudan jyvien ongelmassa .
2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128, 256, 512, 1024 , 2048, 4096, 8192 - geometrinen progressio, jonka nimittäjä on 2 kolmestatoista jäsenestä.
viisikymmentä; 25; 12,5; 6,25; 3,125; ... on äärettömästi pienenevä geometrinen progressio, jonka nimittäjä on 1/2.
neljä; 6; 9 on geometrinen progressio kolmesta elementistä, joiden nimittäjä on 3/2.
$\pi$ , , , on stationaarinen geometrinen progressio, jonka nimittäjä on 1 (ja stationäärinen aritmeettinen progressio erolla 0). $\pi$ $\pi$ $\pi$
3; −6; 12; -24; 48; … on vuorotteleva geometrinen progressio nimittäjällä −2.
yksi; −1; yksi; −1; yksi; … on vuorotteleva geometrinen progressio, jonka nimittäjä on −1.

Ominaisuudet

Geometrisen progression nimittäjän kaava:

q={\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}

Todiste

Geometrisen progression määritelmän mukaan.

Geometrisen etenemisen (jos määritelty) termien logaritmit muodostavat aritmeettisen etenemisen .

Todiste

$\log(b_{n})=\log(b_{1}q^{n-1})=\log(b_{1})+(n-1)\cdot \log(q)$ Aritmeettisen progression yhteisen termin kaava on: . Meidän tapauksessamme . $a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d$

$a_{1}=\loki(b_{1})$
$d=\log(q)$

$b_{{n}}^{2}=b_{{ni}}b_{{n+i}}$ jos . $1<i<n$

Todiste

$b_{n}^{2}=b_{n}b_{n}=b_{1}q^{n-1}b_{1}q^{n-1}=b_{1}q^ {n-1-i}b_{1}q^{n-1+i}=b_{ni}b_{n+i}.$

Geometrisen progression ensimmäisen n:n jäsenen tulo voidaan laskea kaavalla $P_{n}=(b_{1}\cdot b_{n})^{\frac {n}{2)).$

Todiste

$P_{n}=\prod _{i=1}^{n}b_{i}=\prod _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_ {1}^{n}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}.$ Laajennamme työtä : Lauseke on aritmeettinen progressio vaiheella 1. Etenemisen n ensimmäisen jäsenen summa on Missä $\prod _{{i=1}}^{n}q^{{i-1}}$ $\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=q^{0}\cdot q^{1}\cdot q^{2}\cdot \ldots \cdot q^ {i-1}=q^{0+1+2+\ldots +(i-1)}.$ $0+1+2+\ldots +(n-1)$ $a_{1}=0$ $S_{n}=n\cpiste {\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}=n\cpiste {\frac {0+(n-1)}{2}}.$ $P_{n}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}\prod _{i=1}^{n} q^{i-1}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}q^{\frac {n(0+(n) -1))}{2}}=\left(b_{1}b_{1}q^{n-1}\right)^{\frac {n}{2}}=\left(b_{1} b_{n}\oikea)^{\frac {n}{2)).$

Geometrisen progression termien tulo k . termistä alkaen ja n:teen termiin päättyen voidaan laskea kaavalla $P_{k,n}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}.$

Todiste

$P_{k,n}=\prod _{i=k}^{n}b_{i}={\frac {\prod _{i=1}^{n}b_{i)){\ prod _{j=1}^{k-1}b_{j}}}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}.$

Geometrisen progression ensimmäisten termien summa $n$ $S_{n}={\begin{cases}\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}={\frac {b_{1}-b_{1}q^{n }}{1-q}}={\frac {b_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}},&{\mbox{if }}q\neq 1 \\\\nb_{1},&{\mbox{if }}q=1\end{cases}}$

Todiste

Todistus summan läpi: $S_{n}=\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_ {1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=2}^{n}b_{1}q^{i-2}=b_{1}+q\sum _ {i=1}^{n-1}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i- 1}-b_{1}q^{n}.$ Eli tai $\sum _{{i=1}}^{n}b_{1}q^{{i-1}}=b_{1}+q\sum _{{i=1}}^{n}b_{ 1}q^{{i-1}}-b_{1}q^{n}$ $\left(1-q\right)\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}-b_{1}q^{n} .$ Missä $\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}={\frac {b_{1}-b_{1}q^{n}}{1-q }}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}.$
Todistus induktiolla päällä . $n$ Päästää $S_{n}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}.$ Kun meillä on: $n = 1$ $S_{1}=\sum _{i=1}^{1}b_{i}=b_{1}=b_{1}{\frac {1-q^{1}}{1-q }}.$ Kun meillä on: $n\rightarrow n+1$ $S_{n+1}=\sum _{i=1}^{n+1}b_{i}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}+b_{n+ 1 }=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}+b_{1}q^{n}=b_{1}\left({\frac {1-q ^ {n}}{1-q}}+q^{n}\right)=b_{1}\left({\frac {1-q^{n}+q^{n}-q^{n + 1}}{1-q}}\right)=b_{1}{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}.$

Laskevan etenemisen kaikkien jäsenten summa:

\left|q\right|<1

, sitten klo , ja

b_{n}\to 0

n\to +\infty

S_{n}\to {\frac {b_{1}}{1-q}}

osoitteessa .

n\to +\infty

Todiste

$\lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{1}\left(1-q^{n}\right)} {1-q}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {b_{1}}{1-q}}-b_{1}{\frac {q^{n}} {1-q}}\right)={\frac {b_{1}}{1-q}}-b_{1}\lim _{n\to \infty }{\frac {q^{n}} {1-q}}.$ Jos sitten osoitteessa Siksi Siksi $\left|q\right|<1,$ $q^{n}\to 0$ $n\to \infty .$ $\lim _{n\to \infty }{\frac {q^{n}}{1-q}}=0.$ $\lim _{n\to \infty }S_{n}={\frac {b_{1}}{1-q}}.$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Geometrinen eteneminen Arkistoitu 12. lokakuuta 2011 Wayback Machinessa osoitteessa mathematics.ru
↑ Geometrinen eteneminen // Suuri Neuvostoliiton Encyclopedia : [30 nidettä] / ch. toim. A. M. Prokhorov . - 3. painos - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja, 1969-1978.
↑ Rowe S. Geometriset harjoitukset paperilla . - 2. painos - Odessa: Mathesis, 1923.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri Neuvostoliitto (1 painos) Britannica (verkossa)