Lander-Parkin-Selfridge hypoteesi

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 5.10.2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 4 muokkausta .

Lander-Parkin-Selfridgen arvaus lukuteoriassa on oletus ehdoista ratkaisujen olemassaololle yhtälöiden luonnollisissa lukumäärissä tuntemattomien yhtälöiden summille. Nämä yhtälöt ovat yleistys Fermatin viimeisen lauseen yhtälöistä .

Tausta

Diofantiiniyhtälöiden kokonaislukuratkaisuja , kuten Pythagoraan lauseeseen liittyvän yhtälön kokonaislukuratkaisuja , on tutkittu vuosisatojen ajan. Fermatin viimeinen lause sanoo, että kokonaislukupotenssien kohdalla yhtälöllä ei ole ratkaisua luonnollisissa luvuissa . $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $k>2$ ${\displaystyle a^{k}+b^{k}=c^{k))$ $a,b,c$

Vuonna 1769 Leonhard Euler , lisättyään yhtälön termien määrää, esitti hypoteesin , joka yleistetyssä muodossa tiivistyy siihen tosiasiaan, että yhtälö

{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}x_{i}^{k}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{k))

ei ole ratkaisua luonnollisissa luvuissa, jos , paitsi triviaalissa tapauksessa, jolloin yhtälön vasemmalla puolella olevat juuret ovat yhtälön oikealla puolella olevien juurien permutaatio . Tällaisia yhtälöitä voidaan merkitä lukujen kolmiosilla [1] . $k\geq m+n$ ${\näyttötyyli (k,m,n)}$

Vuonna 1966 Leon J. Lander ja Thomas R. Parkin löysivät vastaesimerkin Eulerin olettamukselle [2] : $k = 5$

27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}.

Ensimmäisen vastaesimerkin löysi Noam Elkis vuonna 1988 . [3] Pienin samana vuonna löydetty ratkaisu ( Roger Frye, 1988 ) on: $k=4$

414560^{4}+217519^{4}+95800^{4}=422481^{4},

Eulerin olettamus on kuitenkin avoin. $k=6$

Hypoteesi

Vuonna 1967 Lander, Parkin ja Selfridge ehdottivat 4] että yhtälö

{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}x_{i}^{k}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{k))

voi olla ei-triviaali ratkaisu luonnollisissa luvuissa vain, jos . $k\leq m+n$

Fermatin viimeinen lause merkitsee hypoteesin pätevyyttä tapaukselle ja ratkaisujen puuttumista tapaukselle . ${\näyttötyyli (k,2,1),k>3}$ ${\näyttötyyli (3,2,1)}$

Ratkaisujen löytäminen yhtälöihin joillekin potenssille osoittautuu vaikeaksi tehtäväksi ei vain , vaan myös . Hajautetut laskentaprojektit EulerNet [ 5] ja yoyo@home etsivät ratkaisuja erilaisiin projekteihin . ${\näyttötyyli (k,m,n)}$ ${\näyttötyyli k=m+n}$ $k<m+n$ ${\näyttötyyli (k,m,n)}$

Tunnetut ratkaisut kohteelle ( k , m , n ), k = m + n

Vuodesta 2006 lähtien ( k , m , n ) tunnetaan seuraavat ratkaisut , joissa k = m + n : [6]

(4, 2, 2)

158^{4}+59^{4}=134^{4}+133^{4}

, ratkaisuja on äärettömän monta.

(4, 1, 3)

{\displaystyle 422481^{4}=414560^{4}+217519^{4}+95800^{4))

, ratkaisuja on äärettömän monta.

(5, 1, 4)

144^{5}=133^{5}+110^{5}+84^{5}+27^{5}

, 2 ratkaisua tunnetaan.

(5, 2, 3)

14132^{5}+220^{5}=14068^{5}+6237^{5}+5027^{5}

, 1 ratkaisu tunnetaan.

(6, 3, 3)

23^{6}+15^{6}+10^{6}=22^{6}+19^{6}+3^{6}

, ratkaisuja on äärettömän monta.

(8, 3, 5)

966^{8}+539^{8}+81^{8}=954^{8}+725^{8}+481^{8}+310^{8}+158^{8}

, 1 ratkaisu tunnetaan.

(8, 4, 4)

3113^{8}+2012^{8}+1953^{8}+861^{8}=2823^{8}+2767^{8}+2557^{8}+1128^{8}

, 1 ratkaisu tunnetaan.

Jotkut ratkaisut kohteelle ( k , k , 1)

k = 3

3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}

k = 4

{\displaystyle 30^{4}+120^{4}+272^{4}+315^{4}=353^{4))

( R. Norrie, 1911 ) [4]

k = 5

19^{5}+43^{5}+46^{5}+47^{5}+67^{5}=72^{5}

( Lander, Parkin, Selfridge, pienin, 1967 ) [4]

k = 6

Ratkaisut tuntemattomia.

k = 7

127^{7}+258^{7}+266^{7}+413^{7}+430^{7}+439^{7}+525^{7}=568^{7}

( M. Dodrill, 1999 )

k = 8

90^{8}+223^{8}+478^{8}+524^{8}+748^{8}+1088^{8}+1190^{8}+1324^{8} =1409^{8}

( Scott Chase 2000 )

k ≥ 9

Ratkaisut tuntemattomia.

Muistiinpanot

↑ Euler itse käsitteli vain tapausta ( k , m , 1).
↑ LJ Lander, T. R. Parkin. Vastaesimerkki Eulerin olettamukselle samanlaisten voimien summista // Bull . amer. Matematiikka. soc. : päiväkirja. - 1966. - Voi. 72 . - s. 1079 . - doi : 10.1090/S0002-9904-1966-11654-3 .
↑ Noam Elkies. A 4 + B 4 + C 4 = D 4 (Room.) // Laskennan matematiikka. - 1988. - T. 51 , nro. 184 . - s. 825-835 . - doi : 10.1090/S0025-5718-1988-0930224-9 . — .
↑ 1 2 3 L. J. Lander, T. R. Parkin, J. L. Selfridge; pysäköinti; selfridge. Tutkimus samankaltaisten voimien yhtäläisistä summista // Laskennan matematiikka : päiväkirja. - 1967. - Voi. 21 , ei. 99 . - s. 446-459 . - doi : 10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0 . — .
↑ EulerNet . Haettu 16. elokuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 9. joulukuuta 2013. (määrätön)
↑ Math Games, Ed Pegg Jr., Power Sums

Kirjallisuus

Richard K Guy . Ratkaisemattomat ongelmat lukuteoriassa (määrittelemätön) . – 3. - New York, NY: Springer-Verlag , 2004. - P. D1. — (Matematiikan ongelmakirjat). — ISBN 0-387-20860-7 .

Linkit

EulerNet Arkistoitu 9. joulukuuta 2013 Wayback Machinessa
Euler Conjecture Arkistoitu 21. kesäkuuta 2013 Wayback Machinessa
Tasaiset tehot – taulukot arkistoitu 6. toukokuuta 2021 Wayback Machinessa
Tito Piezas III: Algebrallisten identiteettien kokoelma arkistoitu 1. lokakuuta 2011 Wayback Machinessa
Weisstein, Eric W. Diophantine Equation--5th Powers (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Weisstein, Eric W. Diophantine Equation--6th Powers (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Weisstein, Eric W. Diophantine Equation--7th Powers (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Weisstein, Eric W. Diophantine Equation--8th Powers (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Weisstein, Eric W. Euler's Sum of Powers Conjecture (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Weisstein, Eric W. Euler Quartic Conjecture (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Weisstein, Eric W. Diophantine Equation--4th Powers (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Eulerin arvaus osoitteessa library.thinkquest.org
Matemaatikot löytävät uusia ratkaisuja muinaiseen palapeliin arkistoitu 11. heinäkuuta 2015 Wayback Machinessa