Grassmannian

Lineaarisen ulottuvuuden avaruuden Grassmann-monisto tai Grassmann -monisto on monisto , joka koostuu sen -ulotteisista aliavaruuksista. Merkitään tai tai . Erityisesti on erilaisia linjoja avaruudessa , samaan aikaan projektiivisen tilan . Nimetty Hermann Grassmannin mukaan . $V$ $n$ $s$ $\mathbf {Gr} _{p}(V)$ $\mathbf {Gr} (p,n)$ $\mathbf {Gr} (p,V)$ $\mathbf {Gr} _{1}(\mathbb {R} ^{n})$ $\mathbb {R} ^{n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \mathbb {P} ^{n-1))$

Grassmannilla on luonnollinen projektiivinen parametrisointi (koordinaatit määritetään vakiolla kertomiseen asti). Vastaavia koordinaatteja kutsutaan Plücker - koordinaatteiksi . Ne määrittelevät sijoituksen . Algebrallisia suhteita Plücker-koordinaateilla, jotka määrittävät kuvan upotuksesta projektiiviseen avaruuteen, kutsutaan Plücker-relaatioiksi . ${\displaystyle \mathbf {Gr} (p,n)\subset \mathbf {P} ^{{n \choose p}-1))$

Todiste

Grassmannille voidaan antaa seuraava atlas . $\mathbf {Gr} _{p}(V)$

Antaa olla -ulotteinen aliavaruus . Esitetään skalaaritulo vektoriavaruuteen ja merkitään sitä ortogonaalisella komplementilla . $\Pi \in \mathbf {Gr} _{p}(V)$ $s$ $V$ $V$ ${\displaystyle \Pi ^{\perp ))$ $\Pi$

Koska , niin mikä tahansa riittävän lähellä oleva aliavaruus voidaan tunnistaa lineaarisella kuvauksella , jos jokainen vektori esitetään summana , missä ja , ja laitetaan . $\Pi \oplus \Pi ^{\perp }=V$ $s$ $\Pi '$ $\Pi$ ${\displaystyle A:\Pi \to \Pi ^{\perp ))$ $a\in \Pi '$ $a=x+y$ $x\in \Pi$ ${\displaystyle y\in \Pi ^{\perp ))$ $A(x)=y$

Sitten pisteen lähialue kartoitetaan yksitellen johonkin lineaaristen kuvausten avaruuden avoimeen osajoukkoon . Muodostettu atlas tekee siitä analyyttisen ulottuvuuden joukon , jossa . $\Pi \in \mathbf {Gr} _{p}(V)$ ${\mathcal {L}}(\Pi ,\Pi ^{\perp })$ $\mathbf {Gr} _{p}(V)$ $p(np)$ $n=\dim V$

Projektiivisen algebrallisen muunnelman osoittamiseksi on käytettävä Plücker-relaatioita , jotka ovat homogeenisia toisen asteen algebrallisia yhtälöitä. $\mathbf {Gr} _{p}(V)$

Ominaisuudet

Grassmann on dimensioiden projektiivinen algebrallinen muunnelma , jossa . Vastaavasti, jos on kompleksinen avaruus, niin Grassmannian on kompleksinen algebrallinen muunnelma. $\mathbf {Gr} _{p}(V)$ $p(np)$ $n=\dim V$ $V=\mathbb {C} ^{n}$
Grassmannin järjestyskartio on joukko ulkoisen asteen hajoavia elementtejä eli -muotoja, jotka voidaan esittää 1-muotojen tulona . Grassmannin järjestyskartion projektivisointi osuu . $s$ $\wedge ^{p}V$ $s$ $s$ $s$ $\mathbf {Gr} _{p}(V)$

-muotojen ja -muotojen luonnollisesta isomorfismista johtuen Grassmannin järjestyksen ja -muodon monimuotoisuus osuu yhteen. $s$ ${\näyttötyyli (np)}$ $s$ $np$

Todellinen Grassmanni voidaan esittää ortogonaalisen ryhmän homogeenisena avaruutena .

\mathbf {Gr} (k,\mathbb {R} ^{n})=O(n)/\left(O(k)\times O(nk)\right)

Samoin kompleksi Grassmannian vastaa unitaariryhmää .

\mathbf {Gr} (k,\mathbb {C} ^{n})=U(n)/\left(U(k)\times U(nk)\right)

. Nämä suhteet tarkoittavat sitä , että euklidisen avaruuden lineaarinen aliavaruus voidaan määritellä valitsemalla ortonormaali kanta ambient-avaruudesta , jonka ensimmäiset vektorit muodostavat kannan . Tällainen parametrisointi ei ole ainutlaatuinen, vaan erilaiset kantavalinnat ovat mahdollisia sekä itsessään että sen ortogonaalisessa komplementissa. Tämän mielivaltaisuuden poistaminen vastaa tekijäryhmän ottamista .

W

\dim W

W

W

Solunjako

Grassmannian on solutila . Vastaavaa solun jakautumista kutsutaan Schubert-soluksi . Se on rakennettu seuraavasti. Valitsemme perustan ympäristössä . Tiettyyn k - ulotteiseen aliavaruuteen liitetään joukko numeroita ( Schubertin symboli ) säännön mukaisesti $\{e_{1},\dots ,e_{n}\}$ $V$ ${\näyttötyyli s_{1,\pisteet ,k))$

s_{i}=\min\{p\in \{1,\dots ,n\}\vert \dim \left(V\cap \left\langle e_{1},\dots ,e_{p }\right\rangle \right)=i\},\qquad i=1,\dots ,k

Tässä on aliavaruus, joka kattaa kantan ensimmäiset vektorit. Kaikkien annetuilla arvoilla varustettujen aliavaruuksien joukko on homeomorfinen solulle, jonka ulottuvuus on . Kompleksiselle Grassmannille kaikki solut ovat monimutkaisia tiloja, joten ei-triviaaleja soluja on vain parillisissa ulottuvuuksissa. Tämän seurauksena kompleksin Grassmannian homologialla on muoto $\left\langle e_{1},\dots ,e_{p}\right\rangle$ $s$ ${\näyttötyyli s_{1,\pisteet ,k))$ $(s_{1}-1)+(s_{2}-2)+\dots +(s_{n}-n)$

H_{m}(\mathbf {Gr} (k,n))={\begin{cases}0,\;m=2l+1\\\mathbb {Z} ^{d(k,l) },\;m=2l\end{cases}}

Tässä on erillisten Schubert-symbolien määrä (kompleksisessa) ulottuvuudessa . ${\näyttötyyli d(k,n)}$ $l$

Yleistykset

Kaikkien ortonormaalien k -kehysten lajiketta kutsutaan Stiefel-lajikkeeksi . Sillä on paikallisesti triviaalin nipun luonnollinen rakenne, jonka kuitu on ortogonaalinen ryhmä : $\mathbb {R} ^{n}$ $V_{k}(\mathbb {R} ^{n})$

O(k)\to V_{k}(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbf {Gr} _{k}(\mathbb {R} ^{n})

Erityisesti , .

V_{n-1}(\mathbb {R} ^{n})\simeq SO_{n},

V_{n}(\mathbb {R} ^{n})\simeq O_{n},

Kirjallisuus

Vinberg E. B. Algebra-kurssi. - 3. painos - M . : Factorial Press, 2002. - 544 s. - 3000 kappaletta. — ISBN 5-88688-060-7 . .

Zelikin M. I. Homogeeniset avaruudet ja Riccatin yhtälö variaatiolaskelmassa, - Factorial, Moskova, 1998.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineaarinen algebra ja geometria, Fizmatlit, Moskova, 2009.