Groupoid (luokkateoria)

Kategoriateoriassa oleva ryhmittymä on luokka, jossa kaikki morfismit ovat isomorfismeja. Groupoidit voidaan katsoa ryhmien yleistyksenä : ryhmää vastaavassa kategoriassa on täsmälleen yksi kohde ja yksi nuoli jokaista elementtiä kohden alkaen , nuolien koostumus on annettu ryhmän vastaavien elementtien kertolaskuna, jolloin jokainen nuoli on isomorfismi; näin ollen ryhmäoidin nuolijoukkoa voidaan pitää jonakin joukona, jossa on osittain määritelty binäärinen kertolaskutoiminto, niin että jokaiselle alkiolle on vasen ja oikea käänteis- sekä vasen ja oikea kertolaskuyksikkö. $G$ $g$ $G$

Groupoidit korvaavat luonnollisesti symmetriaryhmät luokkateoriassa ja syntyvät isomorfisten objektien luokkien luokittelussa.

Mikä tahansa luokka, joka on ryhmä, on ryhmittymä. Mielivaltaiselle kategorialle ryhmäoidi on alaluokka , jonka objektit ovat samat kuin objektit , ja morfismit ovat kaikki mahdollisia isomorfismeja . $C$ $D\hookrightarrow C$ $C$ $C$

Polkukytketyn topologisen avaruuden perusryhmäoidi määritellään 2 - kategoriaksi , jonka kaikki objektit ovat pisteitä osoitteesta , ja nuolet osoitteesta vastaavat kaikkia mahdollisia (geometrisiä) polkuja kohteesta kohteeseen : $X$ $\Pi _{1}(X)$ $X$ $x\in X$ $y\in X$ $x$ $y$

f\kaksoispiste [0;1]\-X,~f(0)=x,\;f(1)=y

Kaksi funktiota ja antavat saman polun, jos se on olemassa , niin tai . Nuolien koostumus saadaan polkujen koostumuksesta: $f$ $g$ $s:[0;1]\-[0;1]$ $f=g\circs$ $g=f\circs$

fg(t)={\begin{cases}f(2t),\;0\leqslant t\leqslant 1/2\\g(2t-1),\;1/2\leqslant t\leqslant 1\end{ tapaukset}}

2-morfismi alkaen - on homotopia alkaen - . Perusryhmäoidi on perusryhmän luokittelu . Sen etuna on, että merkityn pisteen valintaa ei vaadita avaruudessa, joten ei ole ongelmia perusryhmien ei-kanonisessa isomorfismissa eri pisteissä tai avaruudessa, jossa on useita toisiinsa liittyviä komponentteja. Perussilmukkaryhmä pisteestä syntyy kohteen 2-isomorfisten automorfismien ryhmänä . $f$ $g$ $f$ $g$ $x\in X$ $x\in \Pi _{1}(X)$

Supistettavan avaruuden vektorinipujen luokka ei-degeneroituneilla mappauksilla muodostaa luonnollisesti ryhmäoidin ; Tältä osin otetaan käyttöön käsite djerba (joka on pinon erityistapaus ), joka on rakenne tietyn tyyppisten pyörän luokassa . Gerbit ovat geometrisia esineitä, jotka on luokiteltu kohomologiaryhmien mukaan, missä on nippu ryhmiä . Käsite on erityisen tärkeä ei-abelilaisten ryhmien tapauksessa . $n$ $H^{2}(X,{\mathcal {G}})$ ${\mathcal {G}}$ $X$ ${\mathcal {G}}$

Kirjallisuus

McLane S. Luku 1. Kategoriat, funktionaaliset ja luonnolliset muunnokset // Kategoriat työskentelevälle matemaatikolle / Per. englannista. toim. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 17-42. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .