Nollajakaja

Yleisalgebrassa renkaan elementtiä kutsutaan [ 1 ] : $a$

vasen nollan jakaja , jos on olemassa nollasta poikkeava sellainen, että

b

ab=0;

nollan oikea jakaja, jos on olemassa nollasta poikkeava sellainen, että

b

ba=0.

Lisäksi koko tässä artikkelissa rengasta pidetään ei-triviaalina, eli se sisältää muita elementtejä kuin nolla.

Elementtiä, joka on sekä oikea että vasen nollan jakaja, kutsutaan nollajakajaksi . Jos kertolasku renkaassa on kommutatiivista , oikean ja vasemman jakajan käsitteet ovat samat. Renkaan alkiota , joka ei ole oikea eikä vasen nollan jakaja, kutsutaan säännölliseksi alkioksi [2] .

Renkaan nollaa kutsutaan virheelliseksi (tai triviaaliksi ) nollan jakajaksi. Vastaavasti nollasta poikkeavia alkioita, jotka ovat nollan jakajia, kutsutaan varsinaisiksi (ei-triviaaleiksi) nollajakajiksi.

Kommutatiivista rengasta , jossa on yksikkö ja jossa ei ole ei-triviaaleja nollajakajia, kutsutaan eheysalueeksi [3] .

Ominaisuudet

Jos ei ole vasen nollan jakaja, niin yhtäläisyys voidaan pienentää samalla tavalla kuin oikeanpuoleinen nollajakaja. Erityisesti eheyden alalla pienentäminen nollasta poikkeavalla kertoimella on aina mahdollista [3] . $a$ $ab=ac$ $a;$

Kommutatiivisen renkaan säännöllisten alkioiden joukko suljetaan kertolaskussa.

Renkaan käännettävät alkiot eivät voi olla nollajakajia [2] . Renkaan käännettäviä elementtejä kutsutaan usein "ykkösen jakajiksi", joten edellinen väite voidaan ilmaista toisin: yhden jakaja ei voi olla samanaikaisesti nollan jakaja. Tästä seuraa, että missä tahansa kappaleessa tai kentässä voi olla nollajakajia [4] .

Kommutatiivisessa äärellisessä renkaassa, jossa on yksi, jokainen nollasta poikkeava alkio on joko käännettävä tai nollan jakaja. Johtopäätös: ei-triviaali kommutatiivinen äärellinen rengas ilman nollajakajia on kenttä (yksikön olemassaolo renkaassa voidaan todistaa tiukasti).

Lineaarisesti järjestettävä rengas , jolla on tiukka järjestys (eli jos positiivisten alkioiden tulo on positiivinen), ei sisällä nollajakajia [5] , katso myös esimerkki järjestetystä renkaasta, jossa on nollajakaja.

Renkaan nilpotentti elementti on aina (sekä vasen että oikea) nollajakaja. Muu kuin yksi renkaan idempotentti elementti on myös nollajakaja, koska $c$ $c(1-c)=0.$

Esimerkkejä

Kokonaislukujen rengas ei sisällä ei-triviaaleja nollajakajia ja on eheysalue .

Modulojäännösten renkaassa , jos k ei ole koalkiluku m :lle, niin k :n jäännös on nollajakaja. Esimerkiksi renkaassa elementit 2, 3, 4 ovat nollajakajia: $\mathbb {Z} _{m}$ $m,$ ${\mathbb Z}_{6}$

2_{6}\cdot 3_{6}=0;\ 4_{6}\cdot 3_{6}=0

Matriisirenkaassa on myös nollajakajia, joiden kertaluku on 2 tai enemmän, esimerkiksi:

{\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\ end{pmatrix}}

Koska tuotteen determinantti on yhtä suuri kuin tekijöiden determinanttien tulo, matriisitulo on vain nollamatriisi, jos ainakin yhden tekijän determinantti on nolla. Huolimatta matriisin kertolaskujen ei-kommutatiivisuudesta, tämän renkaan vasemman ja oikean nollanjakajan käsitteet ovat samat; kaikki nollan jakajat ovat degeneroituneita matriiseja , joissa on nolladeterminantti.

Esimerkki järjestetystä renkaasta, jossa on nollajakaja: jos kokonaislukujen summausryhmässä kaikki tulot asetetaan nollaksi, niin saadaan järjestetty rengas, jossa mikä tahansa alkio on nollajakaja (yksi ei ole silloin neutraali kertolaskualkio, niin saadaan rengas ilman sitä) [6 ] [7] .

Muistiinpanot

↑ Van der Waerden. Algebra, 1975 , s. 51.
↑ 1 2 Zarissky, Samuel, 1963 , s. 19.
↑ 1 2 Van der Waerden. Algebra, 1975 , s. 52.
↑ Van der Waerden. Algebra, 1975 , s. 55.
↑ Nechaev, 1975 , s. 90.
↑ Bourbaki N. Algebra. Algebralliset rakenteet. Lineaarialgebra. - M .: Nauka, 1962. - S. 137. - 517 s.
↑ Bourbaki N. Algebra. Polynomit ja kentät. Tilatut ryhmät. - M .: Nauka, 1965. - S. 272. - 299 s.

Kirjallisuus

Van der Waerden . Algebra. Määritelmät, lauseet, kaavat. - M .: Mir, 1975. - 649 s.
- Uudelleenjulkaisu: St. Petersburg: Lan, 2004, ISBN 5-8114-0552-9 , 624 s.
Zarissky O., Samuel P. Kommutatiivinen algebra . - M .: IL, 1963. - T. 1. - 370 s.
Nechaev V. I. Numeeriset järjestelmät. - M . : Koulutus, 1975. - 199 s.

Linkit

Weisstein, Eric W. Zero Divisor (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .