Diskreetti Greenin lause

Greenin lauseen diskreetti versio kuvaa funktion kaksoisintegraalin välistä suhdetta yleistetylle suorakaiteen muotoiselle alueelle (alue, joka muodostuu tason suorakulmioiden äärellisestä summasta) ja funktion kulmissa annetun antiderivatiivisen funktion lineaarisen yhdistelmän välillä. alue. Tässä mielessä tarkastelemme diskreetin Greenin lauseen suosittua versiota . [1] [2]

Lause on nimetty brittiläisen matemaatikon George Greenin mukaan, koska se on samankaltainen hänen lauseensa, Greenin lauseen kanssa: molemmat lauseet kuvaavat käyrän yli integroinnin ja käyrän rajaaman alueen integraation välistä suhdetta. Lause esiteltiin ensimmäisen kerran Wangin Integral Image Representation -algoritmin jatkuvana jatkeena vuonna 2007 ICCV:n kansainvälisessä tietokonenäön konferenssissa [1] , minkä jälkeen professori Doretto ja hänen kollegansa [3] julkaisivat sen uudelleen vertaisarvioidussa lehdessä vuonna 2011.

Sanamuoto

Oletetaan, että ƒ on integroitavissa oleva funktio R 2 -tasolla , joten:

F\left(x,y\right)\equiv \int _{0}^{y}\int _{0}^{x}f\left(u,v\right)\,du\, dv

on sen primitiivinen tehtävä . Antaa olla yleistetty suorakaiteen muotoinen alue. Sitten esitämme lauseen seuraavasti: $D\subset R^{2}$

\iint _{D}f\left(x,y\right)\,dx\,dy=\sum _({\vec {x))\in \nabla \cdot D}\alpha _{D }\left({\vec {x}}\right)\cdot F\left({\vec {x}}\oikea),

jossa on tietyn alueen kulmien joukko D , on diskreetti parametri mahdollisilla arvoilla {0, ±1, ±2}, jotka määritetään kulman tyypistä riippuen, kuten oikealla olevassa kuvassa näkyy. Tämä parametri on erikoistapaus käyrän taipumisesta [4] , joka määritetään peräkkäin käyttämällä käyrän yksipuolista epäjatkuvuutta [5] tietyn alueen kulmissa. $\nabla \cdot D$ $\alpha _{D}$

Tämä lause on luonnollinen laajennus yleistetyn aluetaulukkoalgoritmille. Tämä lause laajentaa algoritmia siinä mielessä, että alue voi olla jatkuva ja se voidaan muodostaa (ääretystä) määrästä suorakulmioita, kun taas yleistetty aluetaulukkoalgoritmi olettaa, että alue on yksi suorakulmio.

Diskreetti Greenin lause yleistää myös Newton-Leibnizin lauseen .

Todistuksen idea

Todistaaksesi lauseen, voit soveltaa kaavaa "Kuvien integroitu esitys" -algoritmista, joka sisältää tämän alueen muodostavat suorakulmiot:

Tämä kuva näyttää, kuinka alkuperäisen funktion + \ - kertoimet kumoavat toisensa suorakulmioissa, lukuun ottamatta tämän alueen kulmissa olevia pisteitä.

Esimerkki

Oletetaan, että funktio ƒ on annettu tasossa R 2 , jolloin F on sen antiderivatiivinen funktio. Olkoon D seuraavan kuvan vihreä alue:

Tälle alueelle sovellettavan lauseen mukaan saadaan seuraava lauseke:

\iint _{D}f\left(x,y\right)\,dx\,dy=F\left(J\oikea)-2F\left(K\oikea)+F\left(L\ oikea)-F\vasen(M\oikea)+F\vasen(N\oikea)-F\vasen(O\oikea)+F\vasen(P\oikea)+F\vasen(Q\oikea)-F\ vasen(R\oikea).

Sovellukset

Diskreetin Greenin lausetta käytetään tietokonesovelluksissa kohteiden havaitsemiseen kuvissa ja niiden nopeaan laskemiseen sekä tehokkaan todennäköisyyksien laskennan kannalta.

Yleistykset

Vuonna 2011 lauseeseen ehdotettiin kahta yleistystä:

Professori Phamin ja kollegoiden ehdottama lähestymistapa: monikulmioalueen lauseen yleistys dynaamisen ohjelmoinnin avulla [6] .
Matemaatikko Shaharin ehdottama lähestymistapa: lauseen yleistäminen laajemmalle alueelle käyttämällä epäjatkuvuusoperaattoria [5] ja kaltevien viivojen integrointimenetelmää [7] , jonka avulla muotoiltiin diskreetti Greenin lause [8] . .

Videoluennot

Diskreetin Greenin lauseen teorian taustalla olevaan puolidiskreettiin laskentaan .

Katso myös

Greenin lause

Muistiinpanot

↑ 12 Wang, Xiaogang ; Doretto, Gianfranco; Sebastian, Thomas; Rittscher, Jens; Tu, Peter. "Muoto- ja ulkoasukontekstin mallinnus" (PDF) . julkaisussa Proceedings of IEEE International Conference on Computer Vision (ICCV) 2007 . Käytöstä poistettu parametri |coauthors=( ohje ) Arkistoitu 16. heinäkuuta 2011 Wayback Machinessa
↑ Finkelstein, Amir (2010). "Diskreetin Greenin lause" . Wolfram-esittelyprojekti . Arkistoitu 12. marraskuuta 2012 Wayback Machineen
↑ Doretto, Gianfranco; Sebastian, Thomas; Rittscher, Jens; Tu, Peter. "Ulkonäköpohjainen henkilöiden uudelleentunnistus kameraverkoissa: yleiskatsaus ongelmaan ja nykyiset lähestymistavat" (PDF) . Journal of Ambient Intelligence and Humanized Computing, s. 1–25, Springer Berlin/Heidelberg, 2011 . Käytöstä poistettu parametri |coauthors=( ohje ) Arkistoitu 26. maaliskuuta 2012 Wayback Machinessa
↑ Finkelstein, Amir (2010). "Käyrän taipumus" . Wolfram-esittelyprojekti . Arkistoitu 24. syyskuuta 2016 Wayback Machineen
↑ 1 2 Finkelstein, Amir (2010). "Yksittäisen muuttujan funktion irtoaminen ja taipumus" . Wolfram-esittelyprojekti .
↑ Pham, Minh-Tri; Yanggao; Viet-Dung D. Hoang; Tat Jen Cham. "Nopea monikulmiointegraatio ja sen sovellus Haar-tyyppisten ominaisuuksien laajentamiseen kohteen havaitsemisen parantamiseksi" (PDF) . Proc. IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR), San Francisco, CA, 2010 . Käytöstä poistettu parametri |coauthors=( ohje ) Arkistoitu 2. syyskuuta 2011 Wayback Machinessa
↑ Finkelstein, Amir (2010). "Laajennettu diskreetti Greenin lause" . Wolfram-esittelyprojekti . Arkistoitu 20. marraskuuta 2015 Wayback Machineen
↑ Shachar, Amir. "Integraalikuvaalgoritmin ja laskennan välisestä suhteesta" (PDF) . arXiv:1005.1418v11[cs.DM], 2011 . (linkki ei saatavilla)