Differentiaali Galois'n teoria

Galois'n differentiaaliteoria on matematiikan haara, joka tutkii Galois'n differentiaaliyhtälöiden ryhmiä .

Tausta ja pääidea

Liouville loi 1830-luvulla integraatioteorian alkeisfunktioissa , jonka tärkeä saavutus oli todiste siitä, että alkeisfunktiot eivät voi ottaa integraaleja funktioista, kuten esim.

f(x)=e^{-x^{2)),

f(x)={\frac {\sin x}{x)),

f(x)=x^{x},

On pidettävä mielessä, että perusfunktion käsite on vain sopimus. Jos lisäämme virhefunktion alkeisfunktioiden luokkaan, niin funktion antiderivaata muuttuu alkeisfunktioksi. Silti alkeisfunktioiden luokkaa voidaan tällä tavalla laajentaa loputtomasti, mutta aina tulee olemaan funktioita, joiden antiderivaatat eivät ole alkeisfunktioita. $f(x)=e^{-x^{2))$ .

Hänen ideoidensa yleistäminen 1900-luvun alussa johti Galois'n differentiaaliteorian luomiseen , jonka avulla voidaan erityisesti selvittää, onko funktiolla antiderivaata, joka ilmaistaan alkeisfunktioina. . Differentiaali Galois'n teoria perustuu Galois'n teoriaan . Algebrallinen Galois'n teoria tutkii algebrallisten kenttien laajennuksia ja differentiaalista Galois'n teoriaa - differentiaalikenttien laajennuksia, eli kenttiä, joille johtaminen otetaan käyttöön . Differentiaali Galois'n teoriassa on paljon samanlaista kuin algebrallinen Galois'n teoria. Olennainen ero näiden konstruktien välillä on, että differentiaalisessa Galois'n teoriassa käytetään matriisi Lie -ryhmiä , kun taas algebrallisessa Galois'n teoriassa käytetään äärellisiä ryhmiä. $\mathcal{D}$

Määritelmät

Jokaisella erotettavissa olevalla kentällä on alikenttä $F$

\operatorname {Con} F=\{f\in F\mid {\mathcal {D}}f=0\},

jota kutsutaan vakioiden kenttään . Kahden differentiaalisen kentän ja kenttää kutsutaan logaritmiksi laajennuksena , jos se on yksinkertainen transsendentaalinen laajennus (eli jollekin transsendentaalille ), joten $F$ $F$ $G$ $G$ $F$ $G$ $F$ $G=F(t)$ $t$

{\mathcal {D}}t={\frac {{\mathcal {D}}s}{s}}

joillekin .

s\in F

Se on eräänlainen logaritminen derivaatta . Intuitiivisen ymmärtämisen vuoksi sitä voidaan ajatella joidenkin funktioiden logaritmina , ja sitten tämä ehto on samanlainen kuin sääntö kompleksisen funktion derivaatan ottamisesta . On syytä pitää mielessä, että logaritmi ei välttämättä ole ainoa; sen kanssa voi olla useita erilaisia "logaritmisia" laajennuksia . Samoin eksponentiaalinen laajennus on transsendenttinen laajennus, joka täyttää kaavan $t$ $s$ $F$ $F$ $F$

{\mathcal {D}}t=t{\mathcal {D}}s.

Näin ollen tätä elementtiä voidaan pitää eksponenttinä kohteesta . Lopuksi sitä kutsutaan alkeisdifferentiaalilaajennukseksi , jos on olemassa äärellinen osakenttien ketju välillä - , jossa jokainen laajennus on algebrallinen, logaritminen tai eksponentiaalinen. $s$ $F$ $G$ $F$ $F$ $G$

Esimerkkejä

Yhden muuttujan rationaalisten funktioiden kenttä differentiaatiolla tämän muuttujan suhteen. Tämän kentän vakiot ovat kompleksilukuja . $\mathbb {C} (x)$ $\mathbb {C}$

Päälause

Oletetaan, että ja ovat differentiaalikenttiä, joille , ja on alkeisdifferentiaalilaajennus . Olkoon , ja lisäksi (eli sisältävät antiderivaatin ). Sellaisia on sitten olemassa $F$ $G$ $\operaattorinnimi {Con} F=\operaattorin nimi {Con} G$ $G$ $F$ $a\in F$ $y\in G$ ${\mathcal {D}}y=a$ $G$ $a$ $c_{1},\dots ,c_{n}\in \operaattorinimi {Con} F$ $u_{1},\dots ,u_{n},v\in F$

a=c_{1}{\frac {{\mathcal {D}}u_{1}}{u_{1}}}+\pisteet +c_{n}{\frac {{\mathcal {D} }u_{n}}{u_{n}}}}+{\mathcal {D}}v.

Toisin sanoen vain niillä funktioilla, joilla on lauseessa osoitettu muoto, on "elementaarinen antiderivaatti". Siten lause sanoo, että vain alkeisantiderivaatat ovat "yksinkertaisia" funktioita plus äärellinen määrä yksinkertaisten funktioiden logaritmeja.

Linkit