Normaalin otosvarianssin luottamusväli

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 19. kesäkuuta 2018 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Tunnettu keskitapaus

Olkoon riippumaton näyte normaalijakaumasta , jossa on tunnettu keskiarvo . Määritellään mielivaltainen ja rakennetaan - luottamusväli tuntemattomalle varianssille . $X_{1},\ldots ,X_{n}\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ $\mu$ $\alpha \in[0,1]$ $\alpha$ $\sigma ^{2}$

lausunto. Satunnainen arvo

H={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}

on jakelu . Olkoon — tämän jakauman kvantiili . Sitten meillä on: $\chi ^{2}(n)$ $\chi _{\alpha ,n}^{2}$ $\alpha$

\mathbb {P} \left(\chi _{1-{\frac {\alpha }{2)),n}^{2}\leqslant H\leqslant \chi _{{\frac {\alpha }{2}},n}^{2}\right)=1-\alpha

Kun lauseke on korvattu yksinkertaisilla algebrallisilla muunnoksilla, saadaan: $H$

\mathbb {P} \left({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}}{\chi _{{\ frac {\alpha }{2)),n}^{2))}\leqslant \sigma ^{2}\leqslant {\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i }-\mu )^{2)){\chi _{1-{\frac {\alpha }{2)),n}^{2))}\right)=1-\alpha

Tuntemattoman keskiarvon tapaus

Olkoon riippumaton näyte normaalijakaumasta, jossa ja ovat tuntemattomia vakioita. Rakennetaan luottamusväli tuntemattomalle varianssille . $X_{1},\ldots ,X_{n}\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ $\mu$ $\sigma ^{2}$ $\sigma ^{2}$

Fisherin lause normaaleille näytteille . Satunnainen arvo

H={\frac {(n-1)S^{2}}{\sigma ^{2}}}

missä on puolueeton otosvarianssi , jolla on jakauma . Sitten meillä on: $S^{2}$ $\chi ^{2}(n-1)$

\mathbb {P} \left(\chi _({\frac {\alpha }{2)),n-1}^{2}\leqslant H\leqslant \chi _{1-{\frac { \alpha }{2}},n-1}^{2}\right)=1-\alpha

Kun lauseke on korvattu yksinkertaisilla algebrallisilla muunnoksilla, saadaan: $H$

\mathbb {P} \left({\frac {(n-1)S^{2}}{\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}},n-1}^ {2))}\leqslant \sigma ^{2}\leqslant {\frac {(n-1)S^{2)){\chi _({\frac {\alpha }{2)),n-1 }^{2}}}\right)=1-\alpha

Linkit

http://www.graphpad.com/guides/prism/6/statistics/index.htm?stat_ luottamus_interval_of_a_stand.htm _