Cauchy ongelma

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 24.11.2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Cauchyn ongelma on yksi tärkeimmistä ongelmista differentiaaliyhtälöiden teoriassa ( tavallinen ja osittaisten derivaattojen kanssa ); koostuu differentiaaliyhtälön ratkaisun (integraalin) löytämisestä , joka täyttää niin sanotut alkuehdot (alkutiedot).

Cauchyn ongelma syntyy yleensä evoluution differentiaalilain ja alkutilan (jonka matemaattinen lauseke on yhtälö ja alkuehto) määräämien prosessien analysoinnissa. Tämä motivoi terminologiaa ja merkintätapavalintaa: lähtötiedot annetaan osoitteessa , ja ratkaisu löytyy osoitteesta . $t = 0$ $t>0$

Cauchyn ongelma eroaa raja -arvoongelmista siinä, että tässä ei ole etukäteen ilmoitettu aluetta, jolle haluttu ratkaisu tulee määrittää. Cauchyn ongelmaa voidaan kuitenkin pitää yhtenä raja-arvoongelmista.

Tärkeimmät Cauchyn ongelmaan liittyvät kysymykset ovat seuraavat:

Onko Cauchyn ongelmaan ratkaisua?
Jos ratkaisu on olemassa, mikä on sen olemassaolon alue?
Onko ratkaisu ainoa?
Jos ratkaisu on ainutlaatuinen, onko se oikea, eli jatkuva (jossain mielessä) lähtötietoihin nähden?

Cauchyn ongelmalla sanotaan olevan ainutlaatuinen ratkaisu, jos sillä on ratkaisu, eikä mikään muu ratkaisu vastaa integraalikäyrää , jolla on mielivaltaisen pienessä pisteen pisteytetyssä ympäristössä suuntakenttä , joka on sama kuin suuntakenttä . Piste asettaa alkuehdot. $y=f(x)$ $(x_{0},y_{0})$ $y=f(x)$ $(x_{0},y_{0})$

Cauchyn ongelman erilaisia muotoja

Ensimmäisen kertaluvun ODE , ratkaistu derivaatan suhteen

\left\{{\begin{array}{lcl}y'&=&f(x,y)\\y(x_{0})&=&y_{0}\end{array}}\right.

Ensimmäisen asteen ODE - järjestelmä ratkaistu suhteessa johdannaisiin ( -: nnen asteen normaalijärjestelmä ) $n$ $n$

\left\{{\begin{array}{lcl}y'_{1}&=&f_{1}(x,y_{1},\ldots ,y_{n})\\&\ldots &\\y '_{n}&=&f_{n}(x,y_{1},\ldots ,y_{n})\\y_{1}(x_{0})&=&y_{{01}}\\& \ldots &\\y_{n}(x_{0})&=&y_{{0n}}\end{array}}\right\}\iff \left\{{\begin{array}{lcl}{\ mathbf {y}}'&=&{\mathbf {f}}(x,{\mathbf {y}})\\{\mathbf {y}}(x_{0})&=&{\mathbf {y_ {0}}}\end{array}}\right.

Kolmannen kertaluvun ODE , ratkaistaan suhteessa korkeimpaan derivaatta $n$

\left\{{\begin{array}{lcl}y^{{(n)}}&=&f(x,y,\ldots ,y^{{(n-1))))\\y(x_ {0})&=&y_{{01}}\\&\lpisteet &\\y^{{(n-1)}}(x_{0})&=&y_{{0n}}\end{array} }\right\}\iff \left\{{\begin{array}{lcl}y'_{1}&=&y_{2}\quad (=y')\\&\ldots &\\y'_ {{n-1}}&=&y_{n}\quad (=y^{{(n-1)}})\\y'_{n}&=&f(x,y_{1},\ldots ,y_{n})\\y_{1}(x_{0})&=&y_{{01}}\quad (=y(x_{0}))\\&\lpisteet &\\y_{n} (x_{0})&=&y_{{0n}}\quad (=y^{{(n-1)}}(x_{0}))\end{array}}\right.

Lauseet Cauchyn ongelman ratkaistavuudesta ODE:ille

Tarkastellaan Cauchyn ongelmaa alueella: $D\alajoukko R_{x}\kertaa R_{y}^{n}$

$\left\{{\begin{array}{lcl}y'(x)&=&f(x,y(x))\\y(x_{0})&=&y_{0}\end{array}} \oikein.$

missä . Olkoon oikea puoli jatkuva funktio sisään . Näillä oletuksilla tapahtuu Peanon lause , joka määrittää Cauchyn ongelman paikallisen ratkaistavuuden: Olkoon a>0 ja b>0 sellaisia, että suljettu suorakulmio $(x_{0},y_{0})\in D$ $\yliviiva D$

$R=\{(x,y):x_{0}-a\leq x\leq x_{0}+a,y_{0}-b\leq y\leq y_{0}+b\}$

kuuluu alueeseen D, niin välissä , jossa , , on ratkaisu Cauchyn ongelmaan. $[x_{0}-\alpha ,x_{0}+\alpha ]$ $\alpha =\min\{a,b/M\}$ $M=\max \limits _{{(x,y)\in R}}|f(x,y)|$

Ilmoitettua segmenttiä kutsutaan Peano-segmentiksi. Huomaa, että Peanon lauseen paikallinen luonne ei riipu oikean puolen sileydestä. Esimerkiksi for ja for ratkaisu on olemassa vain välissä . Huomaa myös, että ilman lisäoletuksia oikean puolen sileydestä ei Cauchyn ongelman ratkaisun ainutlaatuisuutta voida taata. Esimerkiksi useampi kuin yksi ratkaisu on mahdollinen. $f(x,y)=y^{2}+1$ $x_{0}=0,y_{0}=0$ $y(x)=\mathrm {tg} \,x$ $\left(-{\frac {\pi }{2)),{\frac {\pi }{2))\right)$ $f(x,y)={\sqrt {y}},x_{0}=0,y_{0}=0$

Lauseen muotoilemiseksi Cauchyn ongelman ratkaisun ainutlaatuisuudesta on tarpeen asettaa lisärajoituksia oikealle puolelle. Sanomme, että funktio f(x, y) täyttää Lipschitzin ehdon D:n suhteen y:n suhteen, jos on olemassa vakio L, joka

$|f(x,y_{1})-f(x,y_{2})|\leq L|y_{1}-y_{2}|$

kaikille . $(x,y_{i})\in D,i=1,2$

Olkoon oikea puoli f(x, y) lisäksi täyttävä Lipschitzin ehto D:n suhteen y:n suhteen, niin Cauchyn ongelmalla ei voi olla enempää kuin yksi ratkaisu D:ssä.

Huomaa myös, että vaikka tällä lauseella on globaali luonne, se ei vahvista globaalin ratkaisun olemassaoloa.

Globaalin ratkaisun olemassaoloon on tarpeen asettaa ehtoja oikean puolen kasvulle y:n suhteen: funktion f täyttää ehdon

$|f(x,y)|\leq A(|y|+1),\ (x,y)\in D$

missä A>0 on x:stä tai y:stä riippumaton vakio, niin Cauchyn ongelmalla on ratkaisu D:ssä. Erityisesti tästä lauseesta seuraa, että Cauchyn ongelmalla lineaarisille yhtälöille (joiden kertoimet ovat jatkuvia x:ssä) on globaali ratkaisu.

Lauseet Cauchyn ongelman ratkaistavuudesta osittaisdifferentiaaliyhtälöille

Asetetaan Cauchyn ongelma:

$\left\{{\begin{array}{lcl}a(x){\frac {\partial u}{\partial x))=0\\u|_{S}=f(x)\ end{array}}\right.$ ,

missä S on alkuperäinen hyperpinta, , ovat n-ulotteisia vektoreita. Sitten tämän Cauchyn ongelman paikallinen ratkaistavuusehto voidaan muotoilla seuraavasti: $a(x)=(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ $x=(x_{1},x_{2},...,x_{n})$

Cauchyn ongelman ratkaisu pisteen ∈ S ympäristössä on olemassa ja on ainutlaatuinen, jos pisteen läpi kulkeva ominaisuus on poikittainen pintaan S nähden [1] $x_{0}$ $x_{0}$

Lause jatkuvasta riippuvuudesta Cauchyn ongelman parametrista

Tarkastellaan seuraavaa Cauchyn ongelmaa, jonka oikea puoli riippuu parametrista μ

${\begin{cases}{\dfrac {dy}{dx}}=f(y,x,\mu )&x\in (0,X]\\y(x_{0},\mu )= y^{0}(\mu )\end{cases}}$

Asetamme seuraavat vaatimukset oikean puolen toiminnolle $f$

funktio on määritelty ja jatkuva kohdassa , ja siksi $f$ $D=\{(y,x,\mu ):|x-x_{0}|\leq X,|yy^{0}|\leq b,|\mu -\mu _{0}| \leq {\mathcal {M}}\}$ $|f(x,y,\mu )|\leq M$
toiminto täyttää Lipschitzin ehdon $f$ $D$

Tällaisissa oikeanpuoleisissa olosuhteissa ongelman klassinen ratkaisu on olemassa, yksiselitteisesti ja jatkuvasti riippuu parametrista kohdassa , jossa $\mu$ $x\in (x_{0},H]$ ${\displaystyle H=\min {\Big (}X,{\dfrac {b}{M}}{\Big )))$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ E. A. Kuznetsov, D. A. Shapiro MATEMAATISEN FYSIIKAN MENETELMÄT. Osa I - PDF ilmainen lataus . docplayer.ru Haettu: 19.1.2020. (määrätön)

Kirjallisuus

A.N. Tikhonov, A.B. Vasilyeva, A.G. Sveshnikov. Korkeamman matematiikan ja matemaattisen fysiikan kurssi. Differentiaaliyhtälöt. - Fizmatlit, 2005. - ISBN 5-9221-0277-X .
F. Hartman. Tavalliset differentiaaliyhtälöt. - Maailma, 1972.