Tiilipinon ongelma

Tiilien pinoamisongelma, joka tunnetaan myös nimellä lohkojen pinoamisongelma , Liran kalteva torni , kirjojen pinoamisongelma jne . , on staattinen ongelma , joka koostuu suorakaiteen muotoisten lohkojen pinoamisesta mahdollisimman pitkälle sivuun työntyväksi torniksi.

Sanamuoto

Ongelma on muotoiltu näin:

Aseta identtiset kiinteät suorakaiteen muotoiset suuntaissärmiöt päällekkäin ja kokoa vakaa torni pöydän reunaan siten, että ulkonema reunan yli on suurin. $N$

Historia

Tiilipinon ongelmalla on pitkä historia sekä mekaniikassa että matematiikassa. Artikkeleissaan Mike Paterson ja hänen kirjoittajansa tarjoavat [1] pitkän luettelon viittauksista tähän ongelmaan, joka mainitaan 1800-luvun puolivälistä peräisin olevissa mekaniikkateoksissa .

Päätökset

Vain yksi lohko per taso

Ihannetapauksessa vain yksi täysin suorakulmainen kappale kullakin tasolla, ylitys on yhtä suuri kuin lohkon leveys [2] . Tämä summa on puolet harmonisen sarjan osasummasta . Koska harmoninen sarja hajoaa , maksimiylitys pyrkii äärettömään , ts. Voit saavuttaa mielivaltaisen suuren ylityksen riittävällä määrällä lohkoja. Kussakin yksittäistapauksessa maksimiylitys on suunnilleen yhtä suuri kuin ts. on verrannollinen lohkojen lukumäärän luonnolliseen logaritmiin . $\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2i))$ $N$ ${\frac {1}{2}}\ln N$

N	Suurin ylitys
N	murto-osa		desimaalimerkintä _	suhteellinen koko
yksi	yksi	/2	0.5	0.5
2	3	/neljä	0,75	0,75
3	yksitoista	/12	~0,91667	0,91667
neljä	25	/24	~1,04167	1,04167
5	137	/120	~1,14167	1,14167
6	49	/40	1.225	1.225
7	363	/280	~1,29643	1,29643
kahdeksan	761	/560	~1,35893	1,35893
9	7 129	/5 040	~1,41448	1,41448
kymmenen	7 381	/5 040	~1,46448	1,46448

N	Suurin ylitys
N	murto-osa		desimaalimerkintä _	suhteellinen koko
yksitoista	83 711	/55 440	~1,50994	1,50994
12	86 021	/55 440	~1,55161	1,55161
13	1 145 993	/720 720	~1,59007	1.59007
neljätoista	1 171 733	/720 720	~1,62578	1,62578
viisitoista	1 195 757	/720 720	~1,65911	1,65911
16	2436559	/1 441 440	~1,69036	1,69036
17	42 142 223	/24 504 480	~1,71978	1,71978
kahdeksantoista	14 274 301	/8 168 160	~1,74755	1,74755
19	275 295 799	/155 195 040	~1,77387	1,77387
kaksikymmentä	55 835 135	/31 039 008	~1,79887	1,79887

N	Suurin ylitys
N	murto-osa		desimaalimerkintä _	suhteellinen koko
21	18 858 053	/10 346 336	~1,82268	1,82268
22	19 093 197	/10 346 336	~1,84541	1,84541
23	444 316 699	/237 965 728	~1,86715	1,86715
24	1 347 822 955	/713 897 184	~1,88798	1,88798
25	34 052 522 467	/17 847 429 600	~1,90798	1,90798
26	34 395 742 267	/17 847 429 600	~1,92721	1,92721
27	312 536 252 003	/160 626 866 400	~1,94573	1,94573
28	315 404 588 903	/160 626 866 400	~1,96359	1,96359
29	9 227 046 511 387	/4 658 179 125 600	~1,98083	1,98083
kolmekymmentä	9 304 682 830 147	/4 658 179 125 600	~1,99749	1,99749

Useilla lohkoilla millä tahansa tasolla

Tason lisälohkoja voidaan käyttää vastapainona ja ne antavat enemmän ulokkeita kuin vaihtoehto, jossa tasossa on yksi lohko. Jopa kolmen lohkon tapauksessa kahden tasapainotetun lohkon pinoaminen toisen lohkon päälle voi antaa yhden lohkon ylityksen, kun taas yksinkertaisessa ideaalisessa tapauksessa ei enempää . Vuonna 2007 Mike Paterson ym. osoittivat [1] , että suurin ylitys, joka voidaan saavuttaa useilla lohkoilla tasolla, on asymptoottisesti yhtä suuri kuin , eli verrannollinen lohkojen lukumäärän kuutiojuureen, toisin kuin yksinkertaisessa tapauksessa, jossa ylitys on verrannollinen lohkojen lukumäärän logaritmiin. ${\frac {11}{12}}$ $c{\sqrt[{3}]{N}}$

Katso myös

Patersonin madot

Muistiinpanot

↑ 12 Paterson et al, 2009 .
↑ Tässä — lohkon numero; numerointi suoritetaan ylhäältä alkaen. $i$

Linkit

Weisstein , Eric W. Kirjan pinoamisongelma Wolfram MathWorldissä .
Äärettömän sillan rakentaminen . PBS Infinite Series (4. toukokuuta 2017). Haettu: 3.9.2018. (määrätön)
Mike Paterson, Yuval Peres, Mikkel Thorup, Peter Winkler ja Uri Zwick. Suurin ylitys // American Mathematical Monthly. - 2009. - Vol. 116.—s. 763–787.