Nollan tai yhden laki

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 1.11.2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Nollan tai ykkösen laki on todennäköisyysteorian väite, jonka mukaan minkä tahansa jäännöstapahtuman eli tapahtuman , jonka esiintymisen määräävät vain mielivaltaisesti kaukana olevat itsenäisten satunnaistapahtumien tai satunnaismuuttujien sarjan elementit, on todennäköisyys nolla tai yksi. Lain löysi Andrei Nikolajevitš Kolmogorov , joten se on joskus nimetty hänen mukaansa.

Sanamuoto

Olkoon annettu todennäköisyysavaruus ja määritelty sille riippumattomien satunnaismuuttujien sarja (ei välttämättä identtisesti jakautunut). Olkoon sen jäännösalgebra , ts . $(\Omega ,\;{\mathcal {F}),\;\mathbb {P} )$ $\{X_{n}\}_{{n=1}}^{\infty }$ ${\mathcal {F}}_{\infty }$ $\sigma$

{\mathcal {F}}_{\infty }=\sigma \left(\bigcap \limits _{{m=1}}^{\infty }\bigcup \limits _{{n\geqslant m}}{\ matemaattinen {F}}_{n}\oikea),

missä on satunnaismuuttujan luoma -algebra . $\mathcal{F}_n$ $\sigma$ $X_n$

Sitten jos , sitten tai . $A\in {\mathcal {F}}_{\infty }$ ${\mathbb {P}}(A)=0$ ${\mathbb {P}}(A)=1$

Toisin sanoen on jäännöstapahtuma, jos se on mitattavissa satunnaismuuttujien generoiman -algebran suhteen , mutta riippumatta näiden muuttujien äärellisistä osajoukoista. Lauseen mukaan tällaisen tapahtuman todennäköisyys on nolla tai yksi. $A$ $\sigma$ $\{X_{n}\}_{{n=1}}^{\infty }$

Esimerkki

Antaa olla sarja riippumattomia satunnaismuuttujia. Sitten sarja $\{X_{n}\}_{{n=1}}^{\infty }$

\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }X_{n}

suppenee tai hajoaa lähes varmasti , koska mikään sarjan ehtojen rajallinen osajoukko ei voi muuttaa sen lähentymistä. Jos sarjan kaikkia jäseniä pidetään positiivisina, tapahtuma "sarja konvergoi arvoon, joka on pienempi kuin 1" ei ole jäännös, koska se riippuu sarjan ensimmäisen termin arvosta. .

Katso myös

Linkit

Ito. Todennäköisyyspohjaiset prosessit. Issue I. 1960 s. 34 "§ 9. Nollan tai ykkösen laki"
4. Suurten lukujen laki. Borel-Cantelli-lemma. Nollan ja yhden laki. Riippumattomien satunnaismuuttujien summien konvergenssi. / A.V. Kolesnikov. LUETOJA TODENNÄKÖISYYSTEORIASTA