Suljettu luokka Boolen funktioiden teoriassa on joukko logiikan algebran funktioita , joiden sulkeutuminen superpositioon nähden osuu yhteen itsensä kanssa: . Toisin sanoen mikä tahansa funktio, joka voidaan ilmaista kaavalla joukkofunktioita käyttämällä, sisältyy jälleen samaan joukkoon.
Vuonna 1941 Emil Post esitti täydellisen kuvauksen suljetusta luokkajärjestelmästä, jota kutsutaan myös Postihilaksi .
Kaikkien mahdollisten Boolen funktioiden joukko on suljettu.
Erityisen tärkeitä Boolen funktioiden teorialle ovat seuraavat suljetut luokat, joita kutsutaan esitäydellisiksi luokiksi :
Mikä tahansa suljettu Boolen funktioiden luokka, lukuun ottamatta , sisältyy kokonaan vähintään yhteen viidestä esitäydellisestä luokasta .
Muita tärkeitä suljettuja kursseja ovat:
Vuonna 1941 Emil Post osoitti, että mikä tahansa suljettu Boolen funktioiden luokka on rajallisen joukon edellä kuvattujen luokkien leikkauspiste, mikä antaa täydellisen kuvauksen kaksiarvoisen logiikan suljettujen luokkien rakenteesta. Post totesi myös, että mikä tahansa suljettu luokka voidaan generoida äärellisellä perusteella.
Joukkoa logiikan algebran funktioita kutsutaan täydelliseksi järjestelmäksi, jos tämän joukon sulkeminen osuu yhteen kaikkien funktioiden joukon kanssa. (Erityisesti kaksiarvoiselle logiikalle .) Toisin sanoen mikä tahansa logiikan algebran funktio pitäisi olla mahdollista ilmaista kaavalla käyttäen joukkofunktioita .
Postin kriteeri muodostaa välttämättömän ja riittävän ehdon Boolen funktiojärjestelmän täydellisyydelle:
Boolen funktiojärjestelmä on täydellinen silloin ja vain, jos se ei sisälly kokonaan mihinkään luokkiin , , , , .
Erityisesti, jos funktio ei sisälly mihinkään Postin luokkiin, se muodostaa täydellisen järjestelmän sellaisenaan. Esimerkki on Schaeffer-funktio ( konjunktion negaatio ).
Seuraavat täydelliset Boolen funktioiden järjestelmät tunnetaan laajalti:
Ensimmäistä järjestelmää käytetään esimerkiksi esittämään funktioita disjunktiivisten ja konjunktiivisten normaalimuotojen muodossa , toista käytetään esittämään niitä Zhegalkin-polynomien muodossa .
Vähemmän tunnetut muut täydelliset loogisten funktioiden järjestelmät:
Täydellistä funktiojärjestelmää kutsutaan perustaksi, jos se lakkaa olemasta täydellinen, kun jokin elementti suljetaan pois siitä. Ensimmäinen edellä mainituista kokonaisista järjestelmistä ei ole perusta, koska de Morganin lakien mukaan joko disjunktio tai konjunktio voidaan sulkea pois järjestelmästä ja palauttaa käyttämällä kahta muuta funktiota. Toinen järjestelmä on perusta - sen kaikki kolme elementtiä ovat välttämättömiä täydellisyyden kannalta. Boolen funktioiden enimmäismäärä pohjassa on 4.
Joskus puhutaan funktiojärjestelmästä, joka on täydellinen jossain suljetussa luokassa, ja vastaavasti tämän luokan perustasta. Järjestelmää voidaan kutsua esimerkiksi lineaaristen funktioiden luokan perustaksi.