Zichermannin noppa

Zichermanin nopat [1] ovat ainoat 6-sivuiset nopat , jotka sisältävät vain luonnollisia lukuja ja joilla on sama todennäköisyysjakauma summille kuin tavalliset nopat.

Näiden luiden kasvot on numeroitu 1, 2, 2, 3, 3, 4 ja 1, 3, 4, 5, 6, 8.

Matematiikka

Yleinen harjoitus alkeiskombinatoriikassa on laskea, kuinka monta tapaa tietty arvo voidaan saada 6-sivuisella noppaparilla (tai kahden heiton summalla). Alla oleva taulukko näyttää tietyn numeron esiintymisten määrän : $n$

n	2	3	neljä	5	6	7	kahdeksan	9	kymmenen	yksitoista	12
pisaroiden määrä	yksi	2	3	neljä	5	6	5	neljä	3	2	yksi

Crazy Die on matemaattinen harjoitus alkeiskombinatiikassa , jossa sinun on muutettava kuusisivuisen noppaparin edessä olevia numeroita siten, että saadaan samat summapudotusnopeudet kuin tavallisessa numeroinnissa . Zichermanin luut ovat hulluja, ja uudelleennumerointi tapahtuu vain luonnollisilla luvuilla .

Alla olevassa taulukossa on lueteltu mahdolliset pudotussummat vakionopilla ja Zicherman-nopilla. Yksi Sicherman-kuutio on väritetty selvyyden vuoksi: 1 - 2 - 2 - 3 - 3 - 4 , ja toisen numerot jätetään mustaksi 1-3-4-5-6-8.

	2	3	neljä	5	6	7	kahdeksan	9	kymmenen	yksitoista	12
Tavallinen noppa	1+1	1+2 2+1	1+3 2+2 3+1	1+4 2+3 3+2 4+1	1+5 2+4 3+3 4+2 5+1	1+6 2+5 3+4 4+3 5+2 6+1	2+6 3+5 4+4 5+3 6+2	3+6 4+5 5+4 6+3	4+6 5+5 6+4	5+6 6+5	6+6
Sichermanin luut	1 +1	2 +1 2 +1	3 +1 3 + 1 1 + 3	1 +4 2 +3 2 +3 4 +1	1 +5 2 +4 2 +4 3 +3 3 +3	1 +6 2 +5 2 +5 3 +4 3 +4 4 +3	2 +6 2 +6 3 +5 3 +5 4 +4	1 +8 3 +6 3 +6 4 +5	2 +8 2 +8 4 +6	3 +8 3 +8	4 +8

Historia

Zichermanin nopat löysi George Zicherman Buffalosta ja julkaisi Martin Gardner vuonna 1978 Scientific American -lehdessä .

Numerot voidaan järjestää siten, että kaikkien vastakkaisten lukuparien yhteenlaskettu summa on 5 ensimmäisellä nollalla ja 9 toisella.

Myöhemmin, kirjeessään Zichermanille, Gardner mainitsi, että hänen tuntemansa taikuri oli ennakoinut Zichermanin löytöä. Zichermanin nopan yleistyksiä useampaan kuin kahteen noppaan ja muihin kasvojen määrään, katso Brolinen [2] , Galyanin ja Rusinin [3] , Brunsonin ja Swiftin [4] , Fowlerin ja Swiftin [5] artikkeleita .

Matemaattinen selitys

Olkoon kanoninen n -puolinen kuoppa n - sivuinen kasvo, jonka pinnat on merkitty kokonaisluvuilla [1,n], jolloin jokaisen luvun todennäköisyys on 1/ n . Otetaan kuutio (heksaedrinen) kanoniseksi luuksi. Tällaisen nopan heiton tuottava funktio on . Tämän polynomin tulo itsessään antaa generoivan funktion noppaparin heittämiseksi: . Tiedämme sen ympyräpolynomien teoriasta ${\displaystyle x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6))$ $x^{2}+2x^{3}+3x^{4}+4x^{5}+5x^{6}+6x^{7}+5x^{8}+4x^{9} +3x^{10}+2x^{11}+x^{12}$

x^{n}-1=\prod _{d\,\mid \,n}^{n}\Phi _{d}(x),\;

jossa d kulkee n:n jakajien yli ja on d : s ympyräpolynomi . Huomaa myös se $\Phi _{d}(x)$

{\frac {x^{n}-1}{x-1}}=\sum _{i=0}^{n-1}x^{i}=1+x+\cdots +x^ {n-1}

Näin saamme yksittäisen n - puoleisen kanonisen luun generoivan funktion

x+x^{2}+\cdots +x^{n}={\frac {x}{x-1}}\prod _{d\,\mid \,n}^{n}\ Phi _{d}(x)

$\Phi _{1}(x)=x-1$ on kutistumassa. Siten heksaedrisen kanonisen luun generoivan funktion tekijöihinjako on

x\,\Phi _{2}(x)\,\Phi _{3}(x)\,\Phi _{6}(x)=x\;(x+1)\;(x ^{2}+x+1)\;(x^{2}-x+1)

Kahden noppaa heittämisen generoiva funktio on yhtä suuri kuin tämän jaottelun kahden kopion tulos. Kuinka voimme hajottaa ne kahdeksi säännölliseksi luuksi, jotta kasvojen pisteet eivät ole perinteisiä? Tässä oikein tarkoittaa, että kertoimet ovat ei-negatiivisia ja summa on kuusi, joten jokaisella luulla on kuusi pintaa ja jokaisella sivulla on vähintään yksi piste (eli kunkin luun generoivan polynomin on oltava polynomi p(x) positiiviset kertoimet ja p(0 ) = 0 ja p(1) = 6). On vain yksi tällainen laajennus:

{\displaystyle x\;(x+1)\;(x^{2}+x+1)=x+2x^{2}+2x^{3}+x^{4))

x\;(x+1)\;(x^{2}+x+1)\;(x^{2}-x+1)^{2}=x+x^{3}+ x^{4}+x^{5}+x^{6}+x^{8}

Tämä antaa meille pisteiden jakautumisen Sicherman-noppaa - {1,2,2,3,3,4} ja {1,3,4,5,6,8}.

Tekniikka voidaan laajentaa luihin, joissa on mielivaltainen määrä kasvoja.

Katso myös

Kahden kuution kalenteri

Muistiinpanot

↑ Penrose Mosaicsista turvallisiin salakirjoihin, 1993 , s. 328.
↑ Broline, 1979 .
↑ Gallian, Rusin, 1979 .
↑ Brunson, Swift, 1997/8 .
↑ Fowler, Swift, 1999 .

Kirjallisuus

Gardner M. Luku 19. Zichermanin noppa, Kruskalin periaate ja muita mielenkiintoisia asioita // Penrose-laatoista luotettaviin salakirjoihin = Penrose-laatat trapdoor-salauksiin / Per. englannista. Yu. A. Danilova . - M .: Mir , 1993. - S. 328-348. — 416 s. — ISBN 5-03-001991-X .
D. Broline. Noppien kasvojen uudelleennumerointi // Mathematics Magazine. - Mathematics Magazine, 1979. - V. 52 , no. 5 . — S. 312–315 . - doi : 10.2307/2689786 . — .
BW Brunson, Randall J. Swift. Yhtä todennäköisiä summia // Matemaattinen spektri. – 1997/8. - T. 30 , no. 2 . - S. 34-36 .
Brian C. Fowler, Randall J. Swift. Nopan nimeäminen uudelleen // College Mathematics Journal. - The College Mathematics Journal, 1999. - V. 30 , no. 3 . — S. 204–208 . - doi : 10.2307/2687599 . — .
JA Gallian, DJ Rusin. Syklotomiset polynomit ja epästandardit nopat // Diskreetti matematiikka . - 1979. - T. 27 , no. 3 . — S. 245–259 . - doi : 10.1016/0012-365X(79)90161-4 .
Martin Gardner. Matemaattiset pelit. — Scientific American . - 1978. - T. 238. - S. 19-32. - doi : 10.1038/scientificamerican0278-19 .