Isogeny

Isogenia  on algebrallisten ryhmien morfismi , joka on surjektiivinen ja jolla on äärellinen ydin.

Jos ryhmät ovat Abelin lajikkeita, niin mikä tahansa taustalla olevan algebrallisen muunnelman morfismi, joka on surjektiivinen äärellisillä kuiduilla, on automaattisesti isogenia, joka tarjoaa . Tällainen isogenia f antaa ryhmähomomorfismin lajikkeiden A ja B k - arvoisten pisteiden ryhmien [1] välillä mille tahansa kentälle k , jonka yli f on määritelty.

Termit "isogeny" ja "isogeeninen" ovat peräisin kreikan sanasta ισογενη-ς , joka tarkoittaa "tasa-arvoista jossain mielessä". Termin "isogeny" otti käyttöön Andre Weil , ennen sitä termin "isogeny" sijasta käytettiin hämmentävää termiä "isomorfismi".

Abelin lajikkeiden tapaus

Abelin lajikkeiden , kuten elliptisten käyrien , osalta tämä käsite voidaan ilmaista seuraavasti:

Olkoot E 1 ja E 2  samankokoisia Abelin lajikkeita kentän k yli . E 1 :n ja E2 :n välinen isogenia on monistojen tiheä  morfismi , joka säilyttää kantapisteet (eli f kuvaa yhden E1: een ja yhden E2 : een ) [ 2 ] .

Tämä vastaa yllä olevaa käsitettä, koska mikä tahansa tiheä morfismi [3] kahden saman ulottuvuuden Abelin muunnelman välillä on automaattisesti surjektiivinen ja siinä on äärellisiä kuituja, ja jos se säilyttää yksiköitä, se on ryhmähomomorfismi.

Kahta Abelin lajiketta E 1 ja E 2 kutsutaan isogeenisiksi , jos isogenia on olemassa . Tämä on ekvivalenssisuhde, joka on symmetrinen kaksoisisogenian olemassaolon vuoksi . Kuten edellä, mikä tahansa isogenia indusoi Abelin lajikkeiden k -arvoisten pisteiden ryhmien homomorfismin .

Muistiinpanot

  1. ↑ Jos X on esikaavio, niin morfismeja S :stä X :ään , eli :n elementtejä kutsutaan X:n S-arvoisiksi pisteiksi tai X: n S-rationaalisiksi pisteiksi ( Mumford, 1968 , s. 29).
  2. ↑ Kurnosov, 2016 , s. 69.
  3. ↑ Tiheä morfismi on morfismia, jolla on tiheä kuva ( Nica, 2010 , s. 2).

Kirjallisuus