Sekantin integraali

Trigonometrisen sekanttifunktion integrointi oli aiheena yhdelle "1700-luvun puolivälin ratkaisemattomista ongelmista", jonka James Gregory ratkaisi vuonna 1668 [1] . Vuonna 1599 Edward Wright estimoi integraalin numeerisilla menetelmillä - mitä me nykyään kutsumme Riemannin summiksi [2] . Hän löysi ratkaisun kartografian tarkoituksiin - nimittäin tarkkojen Mercator-projektioiden rakentamiseen [1] . 1640-luvulla Henry Bond, navigoinnin, maanmittauksen ja muiden matemaattisten tieteenalojen opettaja , vertasi Wrightin sekanttiintegraalien numeerisia taulukoita tangentin logaritmien taulukoihin ja päätteli hypoteettisesti [1] , että

\int \sec x\,dx=\ln \left|\operaattorinimi {tg} \left({\frac {x}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right) \right|+C.

Tämä hypoteesi on tullut laajalti tunnetuksi. Isaac Newton mainitsee hänet kirjeissään vuonna 1665 [3] [4] .

Vaikka Gregory todisti Bondin olettamuksen vuonna 1668 teoksessaan Exercitationes Geometricae , Isaac Barrow vuonna 1670 Geometrical Lectures -kirjassa ratkaisi ongelman tyylikkäämmällä menetelmällä. Hänen ratkaisunsa oli varhaisin murtolaajennuksen käyttö integraatiossa [1] . Nykyaikaisen merkintätavan mukaisesti Barrow'n ratkaisu alkaa näin:

\int \sec x\,dx=\int {\frac {dx}{\cos x}}=\int {\frac {\cos x\,dx}{\cos ^{2}x}} =\int {\frac {\cos x\,dx}{1-\sin ^{2}x}}=\int {\frac {dt}{1-t^{2}}}.

Tämä yksinkertaistaa ongelmaa löytää antiderivatiiviset rationaaliset funktiot käyttämällä fraktioiden laajennusta. Ongelman jatkoratkaisu on seuraava:

{\begin{aligned}\int {\frac {dt}{1-t^{2}}}&=\int {\frac {dt}{(1-t)(1+t))) =\int \left({\frac {1/2}{1+t}}+{\frac {1/2}{1-t}}\right)\,dt=\\[10pt]&={ \frac {1}{2}}\ln \left|1+t\right|-{\frac {1}{2}}\ln \left|1-t\right|+C={\frac {1 }{2}}\ln \left|{\frac {1+t}{1-t}}\right|+C.\end{aligned}}

Ja lopuksi käänteisen korvauksen suorittamisen jälkeen palaamme x -muuttujan funktioon . Lopuksi integraali voidaan kirjoittaa seuraavissa vastaavissa muodoissa: $t=\sin x,$

\int \sec x\,dx=\left\{{\begin{array}{l}{\dfrac {1}{2}}\ln \left|{\dfrac {1+\sin x} {1-\sin x}}\right|+C\\[15pt]\ln \left|\sec x+\operaattorinimi {tg} x\right|+C\\[15pt]\ln \left|\operaattorinimi { tg} \left({\dfrac {x}{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)\right|+C\\[15pt]\operaattorinimi {arsh} \left(\operaattorinnimi) {tg} x\oikea)+C=\operaattorinimi {arch} \left(\sec x\right)+C=\operaattorinimi {arth} \left(\sin x\right)+C\\[15pt]\end {array}}\right\}=\operaattorin nimi {lam} x+C.

Tässä Lambertian on merkitty Gudermannin funktion käänteiseksi funktioksi . Pallon Mercator-projektio tasolle kuvataan juuri tällä funktiolla, joka antaa projektiopisteen pystykoordinaatin y riippuvuuden prototyyppipisteen maantieteellisestä leveysasteesta x : y = lam x . $\operaattorinimi {lam} x$

Integraali voidaan ottaa myös käyttämällä universaalia trigonometristä substituutiota , mutta tässä tapauksessa ratkaisu näyttää hieman monimutkaisemmalta kuin yllä annettu.

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 4 V. Frederick Rickey ja Philip M. Tuchinsky, "An Application of Matheography to Mathematics: History of the Integral of the Secant", Mathematics Magazine , osa 53, numero 3, toukokuu 1980, sivut 162-166.
↑ Edward Wright , Tietyt virheet navigoinnissa, jotka syntyvät joko tavallisesta virheellisestä tekemisestä tai merestä Kartta, Kompassi, Crosse staffe ja Sunnen deklinaatiotaulukot ja kiinteät Starres havaittu ja korjattu , Valentine Simms, Lontoo, 1599.
↑ HW Turnbull, toimittaja, The Correspondence of Isaac Newton , Cambridge University Press, 1959-1960, osa 1, sivut 13-16 ja osa 2, sivut 99-100.
↑ D.T. Whiteside, toimittaja, The Mathematical Papers of Isaac Newton , Cambridge University Press, 1967, osa 1, sivut 466-467 ja 473-475.

Katso myös

sekantin

Linkit

Rickeyn ja Tuchinskyn paperi tämän integraalin historiasta