Rationaalisten toimintojen integrointi

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 1. kesäkuuta 2019 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 19 muokkausta .

Rationaalisten funktioiden integrointi on operaatiota, jossa otetaan rationaalisen funktion määrittelemätön integraali . Tiedetään, että rationaalisen funktion antiderivaata ilmaistaan rationaalisten funktioiden, luonnollisten logaritmien ja arktangenttien summana . [1] Tyypillisesti tällainen integrointi suoritetaan jakamalla murto-osa yksinkertaisimmiksi , mutta joskus voidaan käyttää muita menetelmiä, esimerkiksi Ostrogradsky-menetelmää .

Jaottelu yksinkertaisimpiin

Tunnetuin tapa integroida rationaalinen funktio on jakaa murto yksinkertaisiksi . Isaac Barrow käytti sitä ensin sekantin integraalin laskemiseen . [2]

Algebrasta tiedetään, että mikä tahansa rationaalinen funktio voidaan esittää polynomin ja rajallisen määrän tietyn tyyppisten murtolukujen summana, joita kutsutaan yksinkertaisiksi. Reaalilukujen yksinkertaisin murto-osa on toinen seuraavista kahdesta tyypistä:

${\displaystyle {\frac {A}{(x-x_{0})^{k))))$
${\displaystyle {\frac {Bx+C}{(x^{2}+px+q)^{k))))$ , jossa on neliötrinomi negatiivisella diskriminantilla . $x^{2}+px+q$

Jokainen näistä fraktioista integroidaan sitten erikseen. Näin ollen murto-osan hajottaminen yksinkertaisimmiksi vähentää mielivaltaisen rationaalisen funktion integrointiongelman yksinkertaisimpien murto-osien integrointiin. [3]

Murto-osan hajoaminen yksinkertaisimmiksi muodostetaan seuraavasti. Vaaditaan murto-osan laajennus . Yleisyyden menettämättä voidaan olettaa, että murto-osa on redusoitumaton ja nimittäjällä on korkein kerroin (jos näin ei ole, vähennämme murto-osaa ja lisäämme osoittajaan nimittäjän suurimman kertoimen). Oikea murto-osa yksinkertaisimmiksi hajotuksessaan sisältää vain oikeiden murto-osien summan, kun taas väärä murto-osa sisältää myös polynomin. Väärän murto-osan tapaus on kuitenkin yksinkertaisesti pelkistetty oikeaksi. Käytä tätä varten tekniikkaa, jota kutsutaan kokonaislukuosan valinnaksi: murto-osan osoittaja jaetaan jäännökseen nimittäjällä; jakamisen tuloksena saatu epätäydellinen osamäärä ja jäännös mahdollistavat alkuperäisen murtoluvun esittämisen muodossa . Murto-osa on jo säännöllinen ja se voidaan jakaa pelkän yksinkertaisimpien murto-osien summaksi. Jos murtoluku oli alun perin oikea, tämä vaihe ei ole välttämätön. ${\frac {P(x)}{Q(x)))$ $yksi$ $G(x)$ $R(x)$ ${\frac {P(x)}{Q(x)}}=G(x)+{\frac {R(x)}{Q(x)))$ ${\frac {R(x)}{Q(x)))$ ${\frac {P(x)}{Q(x)))$

Oikean murtoluvun laajennuksella voi olla vain tietyn tyypin yksinkertaisimmat ehdot, mikä riippuu vain polynomista . Kuten tiedetään, mikä tahansa pelkistetty polynomi reaalilukuihin nähden voidaan hajottaa pelkistetyistä lineaarisista binomiaaleista ja pelkistetyistä neliötrinomeista negatiivisilla erottelijoilla. Laajennetaan murto-osan nimittäjä seuraavaksi tuloksi: $Q(x)$

Q(x)=(x-x_{1})^{k_{1}}...(x-x_{l})^{k_{l}}(x^{2}+p_{ 1}x+q_{1})^{m_{1}}...(x^{2}+p_{n}x+q_{n})^{m_{n}}

(tässä ja ovat vastaavien tekijöiden kertoimet, eli kuinka monta kertaa tekijä tulee tuotteeseen).

k_j

m_{j}

Kaikki laajennuksen yksinkertaisimmat murtoluvut sisältävät yhden näistä tekijöistä asteen nimittäjässä, ja tämä aste on pienempi tai yhtä suuri kuin vastaavan tekijän monikerta. Esimerkiksi: jos laajennus sisältää kertoimen , niin laajennus yksinkertaisiin murtolukuihin sisältää summan $Q(x)$ ${\näyttötyyli (x-x0)^{k))$

{\frac {A_{1}}{x-x0}}+{\frac {A_{2}}{(x-x0)^{2}}}+{\frac {A_{3}} {(x-x_{0})^{3}}}+...+{\frac {A_{k}}{(x-x_{0})^{k}}}

Vastaavasti, jos laajennus sisältää kertoimen , niin laajennus yksinkertaisiin murtolukuihin sisältää summan $Q(x)$ ${\näyttötyyli (x^{2}+px+q)^{m))$

{\frac {B_{1}x+C_{1}}{x^{2}+px+q}}+{\frac {B_{2}x+C_{2}}{(x^ {2}+px+q)^{2}}}+...+{\frac {B_{m}x+C_{m}}{(x^{2}+px+q)^{m} }}

Yleinen muoto oikean murtoluvun hajottamiseksi yksinkertaisimmiksi on kaikkien tällaisten summien summa jokaiselle polynomin hajotuksen tekijälle . Näin ollen yleinen näkemys hajoamisesta yksinkertaisimpiin $Q(x)$

{\frac {R(x)}{Q(x)}}=\sum _{j=1}^{l}\sum _{i=1}^{k_{j}}{\frac {A_{ji}}{(x-x_{j})^{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{m_{j}}{ \frac {B_{ji}x+C_{ji}}{(x^{2}+p_{j}x+q_{j})^{i}}}

Tässä tapauksessa jotkut termit voivat olla yhtä suuria kuin nolla.

Murto-osan hajoamisen yleistä muotoa tarvitaan tunnetuimmassa menetelmässä murto-osan hajottamiseksi yksinkertaisimpiin - määrittelemättömien kertoimien menetelmään . Sen ydin on yhtälöiden laatiminen tuntemattomille laajennuskertoimille. Oikean murtoluvun yhtäläisyys ja sen laajentaminen yksinkertaisiksi jakeiksi, joilla on epämääräisiä kertoimia, kirjoitetaan. Sitten jollain tavalla laaditaan yhtälöt näille kertoimille ja yhtälöjärjestelmä ratkaistaan. [neljä]

Ilmeisin tapa kirjoittaa yhtälöitä on kertoa molemmat puolet polynomilla ja tasata kertoimet samoilla potenssilla . Yksinkertaisiksi murtoluvuiksi laajentamisen menettelytapa on helpoin kuvata esimerkein. $Q(x)$ $x$

Esimerkki 1. Kertoimien yhtälöinti samoilla potenssilla

${\frac {1}{(x-1)^{2}(x-2)))$ .
Kirjoitamme muistiin sen hajoamisen yleisen muodon yksinkertaisimpiin määrittämättömiin kertoimiin.

{\frac {1}{(x-1)^{2}(x-2)}}={\frac {A}{x-1}}+{\frac {B}{(x- 1)^{2}}}+{\frac {C}{x-2}}

Kerro $Q(x)$

{\displaystyle 1=A(x-1)(x-2)+B(x-2)+C(x-1)^{2))

Kiinnikkeiden avaaminen

1=Ax^{2}-2Ax-Ax+2A+Bx-2B+Cx^{2}-2Cx+C

1=Ax^{2}+Cx^{2}-3Ax+Bx-2Cx+2A-2B+C

1=(A+C)x^{2}+(-3A+B-2C)x+(2A-2B+C)

Yhdistämme kertoimet samoilla tehoilla:

{\begin{cases}A+C=0,\\-3A+B-2C=0,\\2A-2B+C=1;\end{cases))

Meillä on yhtälöjärjestelmä. Me ratkaisemme sen. Ensimmäisestä yhtälöstä:

A=-C

Korvaa toisessa ja kolmannessa

{\begin{cases}3C+B-2C=0,\\-2C-2B+C=1;\end{cases))

{\begin{cases}C+B=0,\\-C-2B=1;\end{cases))

Yhtälöiden lisääminen

-B=1

B=-1

Viimeisen järjestelmän ensimmäisestä yhtälöstä:

C=-B=1

Alussa saadusta suhteesta eteenpäin $A$

A=-C=-1

Kaikki laajenemiskertoimet löytyvät.

{\frac {1}{(x-1)^{2}(x-2)}}=-{\frac {1}{x-1}}-{\frac {1}{(x -1)^{2))}+{\frac {1}{x-2))

Esimerkki 2. Nimittäjän juurien korvaaminen

Yhtälöt, jotka saadaan yksinkertaisesti samastamalla kertoimet samoilla tehoilla, ovat usein melko monimutkaisia. Yksinkertaisempien yhtälöiden saamiseksi käytetään usein substituutioita tiettyjen arvojen sijasta. $x$

{\frac {1}{(x-1)^{3}(x-2)}}={\frac {A}{x-1}}+{\frac {B}{(x- 1)^{2))}+{\frac {C}{(x-1)^{3}}}+{\frac {D}{x-2}}

Kerro $Q(x)$

1=A(x-1)^{2}(x-2)+B(x-1)(x-2)+C(x-2)+D(x-1)^{3}

On kätevintä korvata arvot, jotka mitätöivät ehdot. Korvataan 1.

1=-C

C=-1

Korvataan 2.

{\näyttötyyli 1=D}

Kun nimittäjän juuret korvataan, on erittäin helppoa löytää nimittäjän suurimman asteen murto-osien kertoimet. Jos yhtäläisimme kertoimet yhtäläisillä potenssilla, yhtälöt olisivat paljon monimutkaisempia. Kuitenkin, kuten esimerkistä voidaan nähdä, jäljellä olevien kertoimien löytämiseksi on käytettävä muita menetelmiä.

Voit löytää kertoimen nimittäjän ensimmäisellä potenssilla käyttämällä äärettömyyden korvausta.

{\frac {1}{(x-1)^{3}(x-2)}}={\frac {A}{x-1}}+{\frac {B}{(x- 1)^{2}}}-{\frac {1}{(x-1)^{3}}}+{\frac {1}{x-2}}

Kerro molemmat puolet $x-1$

{\frac {1}{(x-1)^{2}(x-2)}}=A+{\frac {B}{x-1}}-{\frac {1}{(x -1)^{2))}+{\frac {x-1}{x-2))

Korvaa ääretön. Tässä äärettömyyden korvaaminen ymmärretään rajana, koska se pyrkii äärettömyyteen, eli $x$

{\frac {F(x)}{H(x)}}{\Bigg |}_{x=\infty }=\lim _{x\to \infty }{\frac {F(x) }{H(x)}}

Toisaalta raja, jossa argumentti pyrkii äärettömyyteen, määritetään hyvin yksinkertaisesti: jos osoittajan aste on suurempi kuin nimittäjän aste, niin raja on , jos pienempi, niin raja on 0, jos yhtä suuri, niin raja on yhtä suuri kuin kertoimien suhde suuremmilla tehoilla. $\infty$

Palataanpa esimerkkiimme. Korvaa ääretön.

0=A+1

A=-1

Jäljelle jäävä kerroin voidaan löytää vertaamalla kerroin samalla asteella sisältäen . On helpointa rinnastaa vapaat ehdot, koska ne voidaan laskea välittömästi ilman pitkää sulkujen avaamista. $x$ $B$

{\displaystyle 1=-(x-1)^{2}(x-2)+B(x-1)(x-2)-1(x-2)+(x-1)^{3))

Yhdistä vapaat ehdot.

1=2+2B+2-1

2B=-2

B=-1

Kaikki kertoimet löytyvät.

{\frac {1}{(x-1)^{3}(x-2)}}=-{\frac {1}{x-1}}-{\frac {1}{(x -1)^{2))}-{\frac {1}{(x-1)^{3))}+{\frac {1}{x-2))

Viimeinen temppu on myös varsin kätevä käytännössä: johtava ja vapaa termi saadaan helposti avaamatta sulkeita, joten tätä temppua käytetään korvausten kanssa.

Esimerkki 3. Nimittäjän kompleksisten juurien korvaaminen

Negatiivisten polynomien juuret eivät ole todellisia. Mikään ei kuitenkaan estä meitä korvaamasta yhtälössä kompleksista juuria.

{\frac {1}{(x-1)(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {A}{x-1}}+{\frac {Bx+ C }{(x^{2}+1)}}+{\frac {Dx+E}{(x^{2}+1)^{2}}}

Kerro nimittäjällä.

1=A(x^{2}+1)^{2}+(Bx+C)(x^{2}+1)(x-1)+(Dx+E)(x-1)

Korvaava . $yksi$

1=4A

A={\frac {1}{4}}

Korvataan . $i$

1=(Di+E)(i-1)

Ja nyt rinnastamme reaali- ja imaginaariosat saadaksemme yhtälön reaalilukujen kanssa.

1=-D-Di+Ei-E

{\begin{cases}1=-DE\\0=-D+E\end{cases))

-2D=1

D=-{\frac {1}{2))

E=D=-{\frac {1}{2}}

Konjugaattijuuren korvaaminen reaali- ja imaginaariosan yhtälön jälkeen antaa samat yhtälöt, joten jäljellä olevia kertoimia ei ole järkevää löytää. $-i$

Löydämme kertoimen vertaamalla vapaita termejä. $C$

1={\frac {1}{4}}-C+{\frac {1}{2}}

C=-{\frac {1}{4}}

Löydämme kertoimen korvaamalla äärettömän. $B$

{\frac {1}{(x-1)(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {\displaystyle {\frac {1}{4}}}{x -1))+{\frac {Bx-\displaystyle {\frac {1}{4))}{(x^{2}+1)))+{\frac {-\displaystyle {\frac {1} {2}}x-\displaystyle {\frac {1}{2}}}{(x^{2}+1)^{2}}}

Kerromme luvulla . $x-1$

{\displaystyle {\frac {1}{(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {1}{4}}+{\frac {\left(Bx-\displaystyle {\ frac {1}{4}}\right)(x-1)}{(x^{2}+1)}}+{\frac {\left(-\displaystyle {\frac {1}{2}} x-\displaystyle {\frac {1}{2}}\right)(x-1)}{(x^{2}+1)^{2))))

Korvaa ääretön.

0={\frac {1}{4}}+B

B=-{\frac {1}{4}}

Kaikki kertoimet löytyvät.

{\frac {1}{(x-1)(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {\displaystyle {\frac {1}{4}}}{x -1))+{\frac {-\displaystyle {\frac {1}{4}}x-\displaystyle {\frac {1}{4}}}{(x^{2}+1)))+ {\frac {-\displaystyle {\frac {1}{2}}x-\displaystyle {\frac {1}{2}}}{(x^{2}+1)^{2}}}

Yleensä voit korvata mitä tahansa arvoa, ei välttämättä nimittäjän tai äärettömän juuria. Erityisen vaikeissa tapauksissa tämä voi olla helpompaa kuin kertoimien laskeminen ja tasaaminen samoilla tehoilla . $x$

Esimerkki 4. Hajotus yksinkertaisilla muunnoksilla

Joskus hajoaminen yksinkertaisimpiin voidaan saada yksinkertaisesti muuntamalla lausekkeita. ${\frac {x^{2}-1}{x(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {x^{2}-(x^{2}+ 1)+x^{2}}{x(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {2x}{(x^{2}+1)^{2}}}- {\frac {1}{x(x^{2}+1)}}={\frac {2x}{(x^{2}+1)^{2}}}-{\frac {(x^ {2}+1)-x^{2}}{x(x^{2}+1)}}={\frac {2x}{(x^{2}+1)^{2}}}- {\frac {1}{x}}+{\frac {x}{x^{2}+1}}$

Esimerkki 5: Heaviside Cover -menetelmä ja jäännösmenetelmä

Kertoimien laskemiseksi murtoluvuille, joiden nimittäjässä on lineaarinen binomi, on olemassa suora kaava. Olkoon pelkistymättömiksi tekijöiksi hajoamisessa lineaarinen tekijä ja sen monikertaisuus. Jaottelu yksinkertaisimpiin termeihin sisältää muotoa , jossa . Sitten: $Q(x)$ $xa$ $m$ ${\frac {B_{j}}{(xa)^{k}}}$ $1\leq k\leq m$

B_{k}={\frac {1}{(mk)!}}\left({\frac {P(x)(xa)^{m}}{Q(x)))\oikea) ^{(mk)}{\Bigg |}_{x=a}

[5]

Tämä viittaa korvaamiseen murtoluvun pienentämisen jälkeen, koska yksinkertainen korvaaminen osoittajassa ja nimittäjässä antaa jaon luvulla . $a$ $0$

Otetaan esimerkki.

{\frac {x}{(x+1)^{2}(x-4)))

Otamme huomioon kertoimen at ${\frac {1}{(x-4)))$

{\frac {4}{(4+1)^{2}}}={\frac {4}{25}}

Otamme huomioon kertoimen at ${\displaystyle {\frac {1}{(x+1)^{2))))$

{\frac {-1}{-1-4}}={\frac {1}{5}}

Otamme huomioon kertoimen at ${\frac {1}{x+1}}$

\left({\frac {x}{x-4}}\right)'={\frac {(x-4)-x}{(x-4)^{2}}}={\ frac {-4}{(x-4)^{2}}}

{\frac {-4}{{-1-4}^{2}}}=-{\frac {4}{25}}

Kaikki kertoimet löytyvät.

{\frac {x}{(x+1)^{2}(x-4)}}={\frac {\displaystyle {\frac {4}{25}}}{(x-4) ))+{\frac {\displaystyle {\frac {1}{5}}}{(x+1)^{2}}}-{\frac {\displaystyle {\frac {4}{25}}} {x+1}}

Suora kaava antaa erittäin yksinkertaisen tavan laskea murto-osien kertoimet lineaarisen binomin ensimmäisellä potenssilla, ja yksinkertaisimmille murtoluvuille voit löytää laajennuksen melkein sanallisesti. Siksi tapaus eristetään erikseen. Kun laskemme kertoimen kohdassa, korvaamme siihen nimittäjässä olevan tekijän peittävän arvon . Siksi tätä menetelmää kutsutaan Heavisiden "cover"-menetelmäksi. $k = m$ ${\displaystyle {\frac {1}{(xa)^{m))))$ $a$ ${\näyttötyyli (xa)^{m))$

Kertoimien laskentamenetelmää yleisellä kaavalla kutsutaan joskus myös jäännösmenetelmäksi, koska kompleksiset jäännökset lasketaan käyttämällä samanlaista kaavaa.

Siten ongelma rajoittui yksinkertaisten murtolukujen integrointiin.

Taulukkointegraalit

On tapana muistaa useita rationaalisten funktioiden integraaleja, jotta monimutkaisempia voidaan edelleen pelkistää niihin. [6]

$\int {x^{\alpha }}dx={\frac {1}{\alpha +1}}x^{\alpha +1}+C$ , jos $\alpha \neq -1$
$\int {\frac {1}{x}}dx=\ln |x|+C$
$\int {\frac {1}{x^{2}+a^{2}}}dx={\frac {1}{a}}\operaattorinimi {arctg} {\frac {x}{a }}+C$ , jos $a\neq 0$
$\int {\frac {1}{x^{2}-a^{2}}}dx={\frac {1}{2a}}\ln {\left|{\frac {xa}{ x+a}}\right|}+C$ , jos $a\neq 0$
$\int {\frac {1}{a^{2}-x^{2}}}dx={\frac {1}{2a}}\ln {\left|{\frac {a+x }{ax}}\right|}+C$ , jos $a\neq 0$

Kahta viimeistä integraalia kutsutaan korkeiksi logaritmeiksi, eikä niiden muistaminen ole välttämätöntä, koska niitä voidaan pienentää laajentamalla murto yksinkertaisimmille toiselle integraalille. Polynomin integraali, joka ilmestyy laajennuksen jälkeen yksinkertaisimpiin virheisiin murtolukuihin, voidaan laskea välittömästi ensimmäisellä kaavalla.

Muodon murto-osien integrointi ${\displaystyle {\frac {1}{(ax+b)^{k))))$

Tällaisia murtolukuja voidaan integroida yksinkertaisesti asettamalla lineaarinen binomiaali differentiaalin alle. [7]

\int {{\frac {1}{(ax+b)^{k}}}dx}={\frac {1}{a}}\int {{\frac {1}{(ax+ b) )^{k}}}d(ax+b)}

Arvosta riippuen pienensimme integraalin tapaukseksi 1 tai 2. $k$

Jos , niin $k = 1$

{\frac {1}{a}}\int {{\frac {1}{ax+b}}d(ax+b)}={\frac {1}{a}}\ln {| ax+b|}+C

Jos , niin $k>1$

{\frac {1}{a}}\int {{\frac {1}{(ax+b)^{k}}}d(ax+b)}={\frac {1}{a (-k+1)(ax+b)^{k-1}}}+C

Muodon murto-osien integrointi ${\frac {ax+b}{rx^{2}+px+q))$

Tarkastellaanpa ensin muodon murto-osaa . ${\frac {1}{rx^{2}+px+q))$

\int {\frac {1}{rx^{2}+px+q}}dx

Tällaisten murtolukujen integroimiseksi käytetään nimittäjän täyden neliön valintaa. [8] Lisätään joukkoon sellainen, että muodostuu summan neliö. Muunnetaan tuloksena oleva lauseke lineaarisen binomiaalin neliöksi. Vähennämme lisätyn luvun, jotta lauseke ei muutu. Neliömäisen trinomin esityksen saamme muodossa . Tuomme tuloksena olevan lineaarisen binomiaalin differentiaalin alle: $rx^{2}+px$ $q$ ${\näyttötyyli (cx+d)^{2}+e}$

\int {\frac {1}{rx^{2}+px+q}}dx=\int {\frac {1}{(cx+d)^{2}+e}}dx={ \frac {1}{c}}\int {\frac {1}{(cx+d)^{2}+e}}d(cx+d)

Olemme vähentäneet integraalin taulukkomuotoiseksi; tietyn taulukon integraali määräytyy merkillä . Jos , niin merkitsemme : $e$ $e>0$ $h={\sqrt {e))$

{\frac {1}{c}}\int {\frac {1}{(cx+d)^{2}+e}}d(cx+d)={\frac {1}{c }}\int {\frac {1}{(cx+d)^{2}+h^{2}}}d(cx+d)={\frac {1}{ch}}\operaattorin nimi {arctg} {\frac {cx+d}{h}}+C

Jos , niin merkitsemme : $e<0$ $h={\sqrt {-e))$

{\frac {1}{c}}\int {\frac {1}{(cx+d)^{2}+e}}d(cx+d)={\frac {1}{c }}\int {\frac {1}{(cx+d)^{2}-h^{2}}}d(cx+d)={\frac {1}{2ch}}\ln {\left |{\frac {cx+dh}{cx+d+h}}\right|}+C

Jos , niin: $e=0$

{\frac {1}{c}}\int {\frac {1}{(cx+d)^{2}}}d(cx+d)=-{\frac {1}{c} }\int {\frac {1}{cx+d}}+C

Esimerkki

\int {\frac {1}{x^{2}+3x+5}}dx

Valitaan täysi neliö. Jotta saat neliön, sinun on lisättävä . Sitten . Jotta tämä lauseke olisi yhtä suuri kuin nimittäjä, sinun on lisättävä . $x^{2}+3x$ ${\frac {9}{4))$ $x^{2}+3x+{\frac {9}{4}}=\left(x+{\frac {3}{2}}\right)^{2}$ ${\frac {11}{4))$

x^{2}+3x-5=x^{2}+3x+{\frac {9}{4}}+{\frac {11}{4}}=\left(x+{\frac { 3}{2}}\oikea)^{2}+{\frac {11}{4}}

Koko neliö on korostettuna. Tuodaan nyt saatu binomi differentiaalin alle.

\int {\frac {1}{x^{2}+3x+5}}dx=\int {\dfrac {d\left(x+{\dfrac {3}{2}}\right)} {\left(x+{\dfrac {3}{2}}\right)^{2}+{\dfrac {11}{4}}}={\frac {2}{\sqrt {11}}} \operaattorin nimi {arctg} {\frac {2x+3}{\sqrt {11}}}+C

Muodon murto-osien integroimiseksi osoittajaan, nimittäjän derivaatta erotetaan. [8] Otetaan nimittäjän derivaatta, kerrotaan jollakin luvulla niin, että saadaan when ja sitten lisätään arvo, jolloin saadaan b. ${\frac {ax+b}{rx^{2}+px+q))$ $x$ $a$

Osoittajan derivaatta on . Kerrotaan se sellaisella luvulla, että x:llä saamme . $2rx+p$ $a$

s(2rx+p)=ax+p

Sitten lisäämme sellaisen luvun, että tämä lauseke on yhtä suuri kuin osoittaja.

s\left(2rx+p\right)+h=ax+b

Tässä muodossa kirjoitamme osoittajan integraaliin.

\int {\frac {s(2rx+p)+h}{rx^{2}+px+q}}dx=\int {\frac {s(2rx+p)}{rx^{2 }+px+q}}dx+\int {\frac {h}{rx^{2}+px+q}}dx

Toista integraalia on jo käsitelty edellisessä kappaleessa. Jäljelle jää ottaa ensimmäinen. Koska osoittaja sisältää nimittäjän derivaatan, voimme helposti tuoda nimittäjän differentiaalin alle.

\int {\frac {s(2rx+p)}{rx^{2}+px+q}}dx=s\int {\frac {1}{rx^{2}+px+q} }d(rx^{2}+px+q)=s\ln {|rx^{2}+px+q|}

Esimerkki

\int {\frac {7x-4}{x^{2}+3x+5}}dx

Osoittajassa on korostettava nimittäjän derivaatta. Otetaan nimittäjän derivaatta.

(x^{2}+3x+5)'=2x+3

Nyt meidän on kerrottava se numerolla ja lisättävä toinen luku, jotta se saadaan osoittajaan. Jotta kerroin at olisi yhtä suuri, on kerrottava . $x$ $7$ ${\frac {7}{2))$

{\frac {7}{2}}(2x+3)=7x+{\frac {21}{2}}

Saadaksesi ilmaisen jäsenen sinun on vähennettävä . $-4$ ${\frac {29}{2}}$

7x-4={\frac {7}{2}}(2x+3)-{\frac {29}{2}}

Kirjoitamme tämän osoittajaan ja jaamme kahdella integraalilla.

\int {\frac {{\dfrac {7}{2}}(2x+3)-{\dfrac {29}{2}}}{x^{2}+3x+5}}dx= \int {\frac {{\dfrac {7}{2}}(2x+3)}{x^{2}+3x+5}}dx-\int {\frac {\dfrac {29}{2} }{x^{2}+3x+5}}dx

Toinen integraali otetaan edellisessä kappaleessa kuvatulla tavalla. Otimme sen edellisessä esimerkissä.

\int {\frac {\dfrac {29}{2}}{x^{2}+3x+5}}dx={\frac {29}{\sqrt {11}}}\operaattorin nimi {arctg } {\frac {2x+3}{\sqrt {11}}}+C

Ensimmäisessä integraalissa laitamme nimittäjä differentiaalin alle. Koska meillä on osoittajassa nimittäjän johdannainen, se yksinkertaisesti katoaa.

\int {\frac {{\dfrac {7}{2}}(2x+3)}{x^{2}+3x+5}}dx={\frac {7}{2}}\ int {\frac {d(x^{2}+3x+5)}{x^{2}+3x+5}}={\frac {7}{2}}\ln {|x^{2} +3x+5|}+C

\int {\frac {7x-4}{x^{2}+3x+5}}dx={\frac {7}{2}}\ln {|x^{2}+3x+5 |}-{\frac {29}{\sqrt {11}}}}\operaattorinimi {arctg} {{\frac {2x+3}{\sqrt {11}}}+C

Kuvattu integrointimenetelmä toimii mille tahansa murtoluvulle, jonka nimittäjässä on neliötrinomi, eikä vain negatiivisen erottimen kanssa. Olemme siis tarkastelleet kahta integrointimenetelmää murtoluvuille, joissa on binomi ja positiivinen diskriminantti.

Muodon murto-osien integrointi ${\displaystyle {\frac {ax+b}{(rx^{2}+px+q)^{m))))$

Murtoluku integroidaan myös korostamalla osoittajassa nimittäjän derivaatta. ${\displaystyle {\frac {ax+b}{(rx^{2}+px+q)^{m))))$

\int {\frac {s(rx^{2}+px+q)'+g}{(rx^{2}+px+q)^{m))}dx=s\int {\ frac {d(rx^{2}+px+q)}{(rx^{2}+px+q)^{m))}+g\int {\frac {1}{(rx^{2} +px+q)^{m}}}dx

Vasen integraali on taulukkomuotoinen:

\int {\frac {d(rx^{2}+px+q)}{(rx^{2}+px+q)^{m))}={\frac {1}{(- m+1)(rx^{2}+px+q)^{m-1}}}

Oikea integraali on monimutkaisin tässä käsitellyistä. Valitse heti nimittäjästä täysi neliö. Ongelma rajoittuu seuraavan integraalin ottamiseksi:

\int {\frac {1}{((cx+d)^{2}+e)^{m))}\,dx

Harkitse kahta tapaa ottaa se.

Toistuvuussuhde

Merkitään . Sillä voit tehdä toistumissuhteen. Otamme integraalin osittain: $I_{k}=\int {\frac {1}{((cx+d)^{2}+e)^{k))}\,dx$ $minä_{k}$

I_{k}=\int {\frac {1}{((cx+d)^{2}+e)^{k))}\,dx={\frac {1}{c)) \int {\frac {1}{((cx+d)^{2}+e)^{k))}\,d(cx+d)={\frac {cx+d}{c((cx) +d)^{2}+e)^{k))}-{\frac {1}{c}}\int (cx+d)\,d\left({\frac {1}{((cx) +d)^{2}+e)^{k}}}\right)={\frac {cx+d}{c((cx+d)^{2}+e)^{k}}}+ 2k\int {\frac {(cx+d)^{2}}{((cx+d)^{2}+e)^{k+1}}}\,dx=

={\frac {cx+d}{c((cx+d)^{2}+e)^{k))}+2k\int {\frac {(cx+d)^{2} +ee}{((cx+d)^{2}+e)^{k+1))}\,dx={\frac {cx+d}{c((cx+d)^{2}+ e)^{k))}+2k\int {\frac {1}{((cx+d)^{2}+e)^{k))}\,dx-2kh^{2}\int { \frac {1}{((cx+d)^{2}+e)^{k+1}}}\,dx={\frac {cx+d}{c((cx+d)^{2 }+e)^{k}}}+2kI_{k}-2kh^{2}I_{k+1}

Sitten

I_{k+1}={\frac {1}{2ke}}\left({\frac {cx+d}{c((cx+d)^{2}+e)^{k} }}+\vasen(2k-1\oikea)I_{k}\oikea)

Integraali voidaan ottaa kuten edellisessä kappaleessa on esitetty. Sitten saatua rekursiivista kaavaa käyttämällä integraalit otetaan peräkkäin ja niin edelleen haluttuun integraaliin asti. Tämä menetelmä on erityisen kätevä integroitaessa murtolukuja hajotuksen jälkeen yksinkertaisiksi, koska se antaa välittömästi integraalit kaikille . [9] $I_1$ $I_{2},I_{3},\ldots$ $k\leq m$

Esimerkki

\int {\frac {1}{((x-1)^{2}+4)^{4))}\,dx

Otamme peräkkäiset integraalit.

I_{1}=\int {\frac {1}{(x-1)^{2}+4}}\,dx=\int {\frac {1}{(x-1)^{ 2}+4}}\,d(x-1)={\frac {1}{2}}\operaattorinimi {arctg} {\frac {x-1}{2}}

I_{2}={\frac {1}{8}}\left({\frac {x-1}{(x-1)^{2}+4}}+{\frac {1} {2}}\operaattorinnimi {arctg} {\frac {x-1}{2}}\right)={\frac {1}{8}}{\frac {x-1}{(x-1)^ {2}+4}}+{\frac {1}{16}}\operaattorin nimi {arctg} {\frac {x-1}{2}}

I_{3}={\frac {1}{16}}\left({\frac {x-1}{((x-1)^{2}+4)^{2}}}+ {\frac {3}{8}}{\frac {x-1}{(x-1)^{2}+4}}+{\frac {3}{16}}\operaattorin nimi {arctg} {\ frac {x-1}{2}}\right)={\frac {1}{16}}{\frac {x-1}{((x-1)^{2}+4)^{2} ))+{\frac {3}{128}}{\frac {x-1}{(x-1)^{2}+4}}+{\frac {3}{256}}\operaattorinimi {arctg } {\frac {x-1}{2))

I_{4}={\frac {1}{24}}\left({\frac {x-1}{((x-1)^{2}+4)^{3}}}+ {\frac {5}{16}}{\frac {x-1}{((x-1)^{2}+4)^{2}}}+{\frac {15}{128}}{ \frac {x-1}{(x-1)^{2}+4}}+{\frac {15}{256}}\operaattorinimi {arctg} {\frac {x-1}{2}}\ oikea)={\frac {1}{24}}{\frac {x-1}{((x-1)^{2}+4)^{3}}}+{\frac {5}{384 }}{\frac {x-1}{((x-1)^{2}+4)^{2}}}+{\frac {15}{3072}}{\frac {x-1}{ (x-1)^{2}+4}}+{\frac {15}{6144}}\operaattorinimi {arctg} {\frac {x-1}{2}}

Tulos:

\int {\frac {1}{((x-1)^{2}+4)^{4}}}\,dx={\frac {1}{24}}{\frac {x -1}{((x-1)^{2}+4)^{3}}}+{\frac {5}{384}}{\frac {x-1}{((x-1)^ {2}+4)^{2}}}+{\frac {15}{3072}}{\frac {x-1}{(x-1)^{2}+4}}+{\frac { 15}{6144}}\operaattorin nimi {arctg} {\frac {x-1}{2}}+C

Koska tällaiset integraalit ovat melko harvinaisia, yleensä tätä rekursiivista kaavaa ei muisteta, vaan se yksinkertaisesti päätetään joka kerta. Huomaa, että kaava ei aseta merkille mitään rajoituksia . Tätä toistuvuusrelaatiota voidaan siis käyttää myös, jos nimittäjässä olevalla neliötrinomilla on positiivinen diskriminantti. $e$

Trigonometrinen substituutio

Tällaisten jakeiden integrointi on mahdollista myös käyttämällä trigonometristä substituutiota. Harkitse ensin lomakkeen murto-osaa

{\displaystyle {\frac {1}{((cx+d)^{2}+h^{2})^{m))))

Tässä on tärkeä ero toistuvaan kaavaan: se ei riipunut erottajan merkistä ja toimi joka tapauksessa samalla tavalla; tässä oletetaan heti, että nimittäjän diskriminantti on negatiivinen ja siksi, kun olet valinnut täyden neliön, voimme esittää sen positiivisen luvun neliönä . Otetaan se summasta pois. $e$ $h^{2}$ $h^{2}$

{\frac {1}{h^{2m}\left({\dfrac {(cx+d)^{2}}{h^{2}}}+1\oikea)^{m}} }

Tehdään vaihto . Sitten . ${\frac {cx+d}{h}}=\operaattorinimi {tg} {\varphi }$ $dx={\frac {h}{c\cos ^{2}\varphi }}$

\int {\frac {1}{h^{2m}\left({\dfrac {(cx+d)^{2}}{h^{2}}}+1\oikea)^{m ))}dx={\frac {h}{c}}\int {\frac {1}{h^{2m}(\operaattorinimi {tg} ^{2}{\varphi }+1)^{m} \cos ^{2}\varphi }}d\varphi ={\frac {1}{ch^{2m-1}}}\int {\frac {cos^{2m}x}{\cos ^{2} \varphi }}d\varphi ={\frac {1}{ch^{2m-1}}}\int \cos ^{2m-2}\varphi d\varphi

Tämä integraali saadaan melko helposti soveltamalla peräkkäin kaavoja, joilla kosinin astetta lasketaan aste ja laitetaan kosini differentiaalin alle parittoman asteen tapauksessa. Tuloksena saadaan lineaarinen siniasteiden yhdistelmä tasaisesta kulmasta.

Seuraavaksi sinun on suoritettava käänteinen vaihto. Kauniiden ilmaisujen saamiseksi käytetään seuraavaa temppua. Lauseke muistuttaa Pythagoraan lausetta. Jos tarkastelemme , jalat ja - hypotenuusa, lauseke saa merkityksen jalan ja hypotenuusan välisen kulman tangenttina , koska tämä on vastakkaisen jalan suhde viereiseen. Vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan, mutta viereisen ja hypotenuusan suhde. Voidaan helposti varmistaa, että näin on todellakin. Nämä huomiot ovat kätevä tapa muistaa nämä kaavat, mutta on muistettava, että tämä ei ole muodollinen perustelu. ${\näyttötyyli (cx+d)^{2}+h^{2}=rx^{2}+px+q}$ $cx+d$ $h$ ${\sqrt {rx^{2}+px+q))$ ${\frac {cx+d}{h}}=\operaattorinimi {tg} {\varphi }$ $h$ ${\displaystyle \sin \varphi ={\frac {cx+d}{\sqrt {rx^{2}+px+q))))$ ${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {h}{\sqrt {rx^{2}+px+q))))$

Sinien ja kosinien kaavat ovat helposti muistettavissa: sini on lineaarisen binomilin jako täydestä neliöstä neliötrinomin juurella ja kosini on vakion (tarkemmin sanoen sen juuren) jako, joka lisätään täyteen neliöön. [kymmenen]

Esimerkki

\int {\frac {1}{(x^{2}+3x+5)^{4}}}dx=\int {\dfrac {1}{\left(\left(x+{\dfrac) {3}{2}}\oikea)^{2}+{\dfrac {11}{4}}\oikea)^{4}}}dx={\frac {256}{14641}}\int {\ dfrac {1}{\left(\left({\dfrac {2}{\sqrt {11}}}x+{\dfrac {3}{\sqrt {11}}}\oikea)^{2}+1\ oikea)^{4}}}dx

Teemme vaihdon.

{\dfrac {2}{\sqrt {11}}}x+{\dfrac {3}{\sqrt {11}}}=\operaattorinimi {tg} {\varphi },\quad dx={\frac {\sqrt {11}}{2\cos ^{2}\varphi }}d\varphi

{\frac {256}{14641}}\int {\dfrac {1}{\left(\left({\dfrac {2}{\sqrt {11))}x+{\dfrac {3}{ \sqrt {11}}}\right)^{2}+1\right)^{4}}}dx={\frac {128}{1331{\sqrt {11}}}}\int {\frac { 1}{(\operaattorinnimi {tg} ^{2}{\varphi }+1)^{4}\cos ^{2}\varphi }}d\varphi ={\frac {128}{1331{\sqrt { 11}}}}\int \cos ^{6}\varphi d\varphi

Jotta vakioita ei kuljetettaisi, otamme kosinin integraalin kuudenteen erikseen.

\int \cos ^{6}\varphi \,d\varphi ={\frac {1}{8}}\int \left(1+\cos {2\varphi }\right)^{3} \,d\varphi ={\frac {1}{8}}\int \left(1+3\cos {2\varphi }+3\cos ^{2}{2\varphi }+\cos ^{3 }{2\varphi }\right)\,d\varphi ={\frac {1}{8}}\int \left(1+3\cos {2\varphi }+{\frac {3}{2} }+{\frac {3}{2}}\cos {4\varphi }+\cos ^{3}{2\varphi }\right)\,d\varphi =

={\frac {1}{8}}\left({\frac {5}{2}}\varphi +{\frac {3}{2}}\sin {2\varphi }+{\ frac {3}{8}}\sin {4\varphi }+\int \cos ^{3}{2\varphi }d\varphi \right)

\int \cos ^{3}{2\varphi }\,d\varphi ={\frac {1}{2}}\int \cos ^{2}{2\varphi }\,d\sin {2\varphi }={\frac {1}{2}}\int (1-\sin ^{2}\varphi )d\sin {2\varphi }={\frac {1}{2}}\ sin 2\varphi -{\frac {\sin ^{3}2\varphi }{6}}+C

Lopulta

\int \cos ^{6}\varphi d\varphi ={\frac {1}{8}}\left({\frac {5}{2}}\varphi +2\sin {2\varphi }+{\frac {3}{8}}\sin {4\varphi }-{\frac {1}{6}}\sin ^{3}{2\varphi }\right)+C

Seuraava askel on ilmaista sinit tangenttien avulla. Muista temppu jalan ja hypotenuusan kanssa. Tässä vastakkainen jalka , viereinen - , hypotenuusa - . Sitten: $x+{\frac {3}{2}}$ ${\frac {\sqrt {11}}{2}}$ ${\sqrt {x^{2}+3x+5}}$

{\displaystyle \sin \varphi ={\frac {x+{\dfrac {3}{2))}{\sqrt {x^{2}+3x+5))))

\cos \varphi ={\frac {\dfrac {\sqrt {11}}{2}}{\sqrt {x^{2}+3x+5}}}

Tästä päästään vihdoin

\sin {2\varphi }=2\sin \varphi \cos \varphi ={\frac {{\sqrt {11}}\left(x+{\dfrac {3}{2}}\right)} {x^{2}+3x+5}}

\sin {4\varphi }=2\sin {2\varphi }\cos {2\varphi }=2\sin {2\varphi }(\cos ^{2}\varphi -\sin ^{2 }\varphi )={\frac {{\sqrt {11}}\left(x+{\dfrac {3}{2}}\right)}{x^{2}+3x+5}}{\frac { {\dfrac {11}{4}}-\left(x+{\dfrac {3}{2}}\right)^{2}}{x^{2}+3x+5}}={\frac { {\sqrt {11}}\left(x+{\dfrac {3}{2}}\right)(-2x^{2}-6x+1)}{(x^{2}+3x+5)^ {2}}}

Tällä tavalla,

\int {\frac {1}{(x^{2}+3x+5)^{4))}dx={\frac {16}{1331{\sqrt {11))))\left ({\frac {5}{2}}\operaattorinimi {arctg} {\frac {2x+3}{\sqrt {11}}}+{\frac {2{\sqrt {11}}\left(x+{ \dfrac {3}{2}}\right)}{x^{2}+3x+5}}+{\frac {{\dfrac {3{\sqrt {11}}}{8}}\left( x+{\dfrac {3}{2}}\oikea)(-2x^{2}-6x+1)}{(x^{2}+3x+5)^{2}}}-{\dfrac { {\dfrac {11{\sqrt {11}}}{6}}\left(x+{\dfrac {3}{2}}\right)^{3}}{(x^{2}+3x+5 )^{3}}}\oikea)+C

Tästä menetelmästä on olemassa muunnelma trinomeille, joissa on positiivinen diskriminantti.

{\displaystyle {\frac {1}{(h^{2}-(cx+d)^{2})^{m))))

Tällaisessa tilanteessa voidaan tehdä hyperbolinen korvaus.

{\frac {cx+d}{h}}=\operaattorinimi {th} {\varphi }

Sitten, samalla tavalla, saavutetaan hyperbolisen kosinin integraali parilliseen asteeseen ja integroidaan se samalla tavalla. Lopullinen lauseke koostuu hyperbolisista sinistä ja lineaarisista termeistä. Lineaarisissa termeissä teemme käänteisen substituution

\varphi ={\frac {1}{2}}\ln {\left|{\frac {h+cx+d}{h-cx-d}}\right|}

Hyperbolisten sinien ilmaisemiseksi käytämme samanlaista tekniikkaa:

\operaattorinnimi {sh} {\varphi }={\frac {cx+d}{\sqrt {h^{2}-(cx+d)^{2))))

\operatorname {ch} {\varphi }={\frac {h}{\sqrt {h^{2}-(cx+d)^{2))))

Itse asiassa trigonometriset ja hyperboliset korvaukset voivat olla erilaisia. Negatiivisen syrjinnän tapauksessa seuraavat korvaukset ovat mahdollisia:

\operaattorinnimi {tg} {\varphi },\ \operaattorinimi {ctg} {\varphi },\ \operaattorinimi {sh} {\varphi },\ \operaattorinnimi {csch} {\varphi }={\frac { cx+d}{h}}

Positiiviselle tapaukselle:

\sin {\varphi },\ \cos {\varphi },\ \operatorname {sec} {\varphi },\ \operatorname {cosec} {\varphi },\ \operatorname {th} {\varphi } ,\ \operaattorinnimi {cth} {\varphi },\ \operaattorinnimi {ch} {\varphi },\ \operaattorinnimi {sch} {\varphi }={\frac {cx+d}{h))

Kätevimmät substituutiot ovat tässä tangentit ja kotangentit, koska ne johtavat integraalin jossain määrin sinin tai kosinin integraaliin, mikä otetaan yksinkertaisesti. Loput substituutiot johtavat paljon monimutkaisempiin integraaleihin.

Monimutkainen jaottelu yksinkertaisimpiin

Jos murto-osien kertoimissa sallitaan kompleksiluvut, hajoaminen yksinkertaisimpiin yksinkertaistuu huomattavasti. Kompleksiluvuissa oikea murto-osa voidaan jakaa pelkän muodon murto-osien summaksi . Murtolukuja, joissa on neliönimittäjä, ei pidetä yksinkertaisina. [yksitoista] ${\displaystyle {\frac {A}{(xa)^{k))))$

Monimutkaisen laajennuksen avulla voit integroida murto-osan melkein sanallisesti. Kaikki murto-osan todellisen laajentamisen menetelmät toimivat myös monimutkaisen laajentamisen kanssa. Haittapuolena on, että lopullinen integraali sisältää logaritmeja ja murtolukuja, joissa on kompleksilukuja, ja tämän lausekkeen pelkistäminen lausekkeeksi, joka sisältää vain reaalilukuja, vaatii lisämuunnoksia.

Esimerkki 1. Logaritmilla

\int {\frac {1}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)}}dx

Rakennamme monimutkaisen hajotuksen yksinkertaisimpiin. Haemme kertoimia Heaviside-peitemenetelmällä. klo ${\displaystyle {\frac {1}{(x-1)^{2))))$

{\frac {1}{1+1}}={\frac {1}{2}}

klo ${\frac {1}{(xi)))$

{\frac {1}{2i(i-1)^{2}}}={\frac {1}{2i(-2i)))={\frac {1}{4}}

klo ${\frac {1}{(x+i)))$

{\frac {1}{-2i(-i-1)^{2}}}={\frac {1}{-2i(2i)))={\frac {1}{4}}

Kun löydämme äärettömyyden korvauksen ${\frac {1}{x-1}}$

{\frac {1}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)}}={\frac {\dfrac {1}{2}}{(x-1) ^{2))}+{\frac {\dfrac {1}{4}}{xi}}+{\frac {\dfrac {1}{4}}{x+i}}+{\frac {A }{x-1}}

Kerro ja korvaa äärettömyys. $x-1$

0={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}+A

A=-{\frac {1}{2}}

Seuraavaksi integroimme.

\int {\frac {1}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)}}\,dx=-{\frac {1}{2(x-1) ))+{\frac {1}{4}}\ln {(xi)}+{\frac {1}{4}}\ln {(x+i)}-{\frac {1}{2} }\ln {|x-1|}+C

Nyt meidän on päästävä eroon logaritmien sisällä olevista monimutkaisista arvoista. Tätä varten lisäämme funktioita konjugaattiarvoilla.

{\frac {1}{4}}\ln {(xi)}+{\frac {1}{4}}\ln {(x+i)}={\frac {1}{4} }\ln(x^{2}+1)

Integraali löytyy.

\int {\frac {1}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)}}dx=-{\frac {1}{2(x-1))) +{\frac {1}{4}}\ln(x^{2}+1)-{\frac {1}{2}}\ln {|x-1|}+C

Esimerkki 2. Arktangentilla

\int {x+6 \over x^{2}-8x+25}\,dx=\int {x+6 \over {(x-4+3i)(x-4-3i))) \,dx

Löydämme hajoamisen yksinkertaisimpiin

\int {\frac {x+6}{x^{2}-8x+25}}\,dx=\left({\frac {1}{2}}+{\frac {5}{ 3}}i\oikea)\int {\frac {1}{x-4+3i}}\,dx+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {5}{3}} i\right)\int {\frac {1}{x-4+3i}}\,dx

Ilmeisen integraation jälkeen meillä on:

\left({\frac {1}{2}}+{\frac {5}{3}}i\right)\ln(x-4+3i)+\left({\frac {1} {2}}-{\frac {5}{3}}i\oikea)\ln(x-4-3i)+C

Ryhmittelemme todelliset ja kuvitteelliset termit erikseen:

{\frac {1}{2}}\left(\ln(x-4+3i)+\ln(x-4-3i)\right)+{\frac {5}{3}}i \left(\ln(x-4+3i)-\ln(x-4-3i)\right)+C

{\frac {1}{2}}\ln \left((x-4+3i)(x-4-3i)\right)+{\dfrac {5}{3}}i\ln { \dfrac {x-4+3i}{x-4-3i}}+C

{\frac {1}{2}}\ln(x^{2}-8x+25)+{\frac {5}{3}}i\ln {\frac {1-i{\dfrac {x-4}{3}}}{1+i{\dfrac {x-4}{3}}}}+C

Kuten tiedät, kompleksisen muuttujan arctangentti ilmaistaan logaritmin avulla:

\operaattorinnimi {arctg} \,z={\frac {1}{2}}i\ln {\frac {1-i\,z}{1+i\,z}}

Tämä antaa meille mahdollisuuden kirjoittaa toinen termi uudelleen arctangentin kautta:

\int {x+6 \over x^{2}-8x+25}\,dx={\frac {1}{2}}\ln(x^{2}-8x+25)+{ \frac {10}{3}}\operaattorinimi {arctg} {\frac {x-4}{3}}+C

Kompleksisen muuttujan rationaalisen funktion integraalin löytämiseksi käytetään kompleksista yksinkertaistamista suoraan ilman lausekkeiden lisämuunnoksia. Kaikki taulukkointegraalit ovat tosia myös monimutkaisille funktioille, sillä ainoalla muutoksella moduulin arktangentti ja logaritmi korvataan vastaavasti kompleksisella moniarvologaritmilla ja kompleksisella moniarvoisella arktangentilla.

Yleinen näkymä rationaalisen funktion integraalista

Yllä olevista rationaalisen funktion integraalin menetelmistä voit tehdä yleiskuvan.

\int {\frac {P(x)}{\displaystyle \prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}}\displaystyle \prod _{ i=1}^{n}(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{m_{i))))\,dx={\frac {T(x)}{\ displaystyle \prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}-1}\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(x^{2} +p_{i}x+q_{i})^{m_{i}-1}}}+\sum _{i=1}^{l}{A_{i}\ln {|x-x_{i }|}}+\sum _{i=1}^{n}\left({B_{i}\ln(x^{2}+p_{i}x+q_{i})+C_{i} \operaattorin nimi {arctg} {\frac {x+r_{i}}{h}}}\right)

${\näyttötyyli x+r_{i))$ tässä on lineaarinen binomi, joka saadaan valitsemalla täysi neliö joukosta , eli . Molemmat murtoluvut ovat oikein. Yhtälön oikealla puolella olevaa murto-osaa kutsutaan integraalin rationaaliseksi tai algebralliseksi osaksi , kun taas logaritmien ja arktangenttien summaa kutsutaan transsendentaaliksi osaksi . [12] $x^{2}+p_{i}x+q_{i}$ ${\displaystyle x^{2}+p_{i}x+q_{i}=(x+r_{i})^{2}+h^{2))$

Tästä yleisnäkymästä on helppo nähdä, että murto-osan integraali, jolla ei ole useita juuria, on pelkkien arktangenttien ja logaritmien summa. Jos puolestaan on useita juuria, niin integraalin rationaalisessa osassa näiden juurien kertoimet pienenevät yhdellä.

Ostrogradsky-menetelmä

Jos logaritmien ja arktangenttien summa esitetään jonkin oikean murtoluvun integraalina ilman useita juuria (tämä murtoluku voidaan määrittää yksinkertaisesti ottamalla derivaatta), saadaan seuraava kaava.

\int {\frac {P(x)}{\displaystyle \prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}}\displaystyle \prod _{ i=1}^{n}(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{m_{i))))\,dx={\frac {T(x)}{\ displaystyle \prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}-1}\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(x^{2} +p_{i}x+q_{i})^{m_{i}-1))}+\int {\frac {H(x)}{\displaystyle \prod _{i=1}^{l} (x-x_{i})\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(x^{2}+p_{i}x+q_{i})}}\,dx

kutsutaan Ostrogradsky-kaavaksi . Toinen menetelmä rationaalisten funktioiden integroimiseksi perustuu tähän kaavaan - Ostrogradsky-menetelmään . Sen avulla voit vähentää ongelman integroimalla rationaalinen murto-osa nimittäjällä ilman useita redusoitumattomia tekijöitä, mikä on paljon yksinkertaisempaa.

Menetelmän ydin on seuraava. Oletetaan, että meidän on integroitava rationaalinen funktio. Kirjoitamme sille Ostrogradsky-kaavan (kuten yllä). Murtolukujen nimittäjät tunnemme kaavasta, osoittajilla on aste pienempiä kuin nimittäjillä. Tämä antaa meille mahdollisuuden kirjoittaa nimittäjiksi polynomeja, joissa on epämääräisiä kertoimia.

{\displaystyle T(x)=A_{s}x^{s}+\ldots +A_{1}x+A_{0))

{\displaystyle H(x)=B_{r}x^{r}+\ldots +B_{1}x+B_{0))

Nyt voimme löytää nämä kertoimet määrittelemättömien kertoimien menetelmällä. Erotetaan tämä tasa-arvo ja vähennetään se yhteiseksi nimittäjäksi. Sitten voimme rinnastaa osoittajat, yhtäläiset kertoimet yhtäläisillä tehoilla ja ratkaista järjestelmän. Tietenkin täällä voit käyttää kaikkia yksinkertaistuksia, joita käytettiin murtolukujen laajentamisessa, kuten juurisubstituutiot tai äärettömän substituutiot. Siten ongelma rajoittuu murto-osan integroimiseen nimittäjällä ilman kerrannaisia. Murto-osa, jolla on nimittäjä ilman useita juuria, on paljon helpompi integroida. Kaikki sen laajenemiskertoimet voidaan saada Heaviside-menetelmällä ja monimutkaisten juurien substituutioilla.

Esimerkki

\int {\frac {x}{(x-1)^{2}(x+1)^{3))}\,dx

Kirjataan ylös Ostrogradskyn kaava.

\int {\frac {x}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}\,dx={\frac {Ax^{2}+Bx+C} {(x-1)(x+1)^{2}}}+\int {\frac {Dx+E}{(x-1)(x+1)))\,dx

Erottaa.

{\frac {x}{(x-1)^{2}(x+1)^{3))}={\frac {(2Ax+B)(x-1)(x+1) ^{2}-(Ax^{2}+Bx+C)((x+1)^{2}+(x-1)\cdot 2(x+1))}{(x-1)^{ 2}(x+1)^{4))}+{\frac {Dx+E}{(x-1)(x+1)))

Toinen murto-osa voidaan pienentää $x+1$

{\frac {x}{(x-1)^{2}(x+1)^{3))}={\frac {(2Ax+B)(x-1)(x+1) -(Ax^{2}+Bx+C)((x+1)+(x-1)\cdot 2)}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}} +{\frac {Dx+E}{(x-1)(x+1)))

Tuo yhteinen nimittäjä

{\frac {x}{(x-1)^{2}(x+1)^{3))}={\frac {(2Ax+B)(x-1)(x+1) -(Ax^{2}+Bx+C)((x+1)+(x-1)\cdot 2)+(Dx+E)(x-1)(x+1)^{2}}{ (x-1)^{2}(x+1)^{3}}}

Yhdistä osoittajat.

{\näyttötyyli x=(2Ax+B)(x-1)(x+1)-(Ax^{2}+Bx+C)((x+1)+2(x-1))+(Dx+ E )(x-1)(x+1)^{2}}

Yhdistä kertoimet korkeimmalla tasolla.

0=D

Tämä antaa meille mahdollisuuden jatkossa taas käyttää kertoimien tasausta korkeimmalla tasolla.

{\näyttötyyli x=(2Ax+B)(x-1)(x+1)-(Ax^{2}+Bx+C)((x+1)+2(x-1))+E(x) -1)(x+1)^{2}}

Tässä on kaksi ilmeistä vaihtoa. Korvataan . $yksi$

{\näyttötyyli 1=-2(A+B+C)}

Korvataan . $-yksi$

-1=4(A-B+C)

Nyt vertaamme korkeammat ja pienemmät kertoimet.

0=2A-A-2A+E

0=-B-C+2C-E

Lisää.

0=-A-B+C

Saatiin 3 yhtälöä.

\displaystyle {\begin{cases}-{\dfrac {1}{2}}=A+B+C,\\-{\dfrac {1}{4}}=A-B+C,\ \0=-A-B+C;\end{cases}}

Vähennä toinen ensimmäisestä.

-{\frac {1}{4}}=2B

B=-{\frac {1}{8}}

Lisää nyt ensimmäinen ja kolmas.

-{\frac {1}{2}}=2C

C=-{\frac {1}{4}}

Viimeisestä yhtälöstä

A=BC=-{\frac {1}{8}}

E=A=-{\frac {1}{8}}

Tällä tavalla,

\int {\frac {x}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}\,dx=-{\frac {x^{2}+x+2 }{8(x-1)(x+1)^{2}}}-{\frac {1}{8}}\int {\frac {1}{(x-1)(x+1)} }\,dx

Viimeinen integraali on helppo ottaa:

\int {\frac {1}{(x-1)(x+1)}}\,dx=\int {\frac {1}{x^{2}-1}}\,dx= {\frac {1}{2}}\ln {\left|{\frac {1+x}{1-x}}\right|}+C

Lopulta

\int {\frac {x}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}\,dx=-{\frac {x^{2}+x+2 }{8(x-1)(x+1)^{2}}}-{\frac {1}{16}}\ln {\left|{\frac {1+x}{1-x}} \right|}+C

Ostrogradskyn menetelmä on kätevä suurelle määrälle useita juuria. Hän ei kuitenkaan yksinkertaista tehtävää suuresti, yhtälöjärjestelmä ei ole yhtä monimutkainen kuin tavallisella hajoamisella yksinkertaisimpiin.

Ostrogradskyn menetelmä mahdollistaa integraalin rationaalisen osan löytämisen pelkillä algebrallisilla operaatioilla, vaikka nimittäjän laajennusta ei tiedetä. Olkoon Ostrogradskyn kaava. Silloin ei ole mitään muuta kuin suurin yhteinen jakaja ja . Se voidaan laskea käyttämällä euklidelaista algoritmia . Polynomi saadaan jakamalla . Sitten yksinkertaisesti vertaamme nimittäjät ja ratkaisemme lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän. $\int {\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {T(x)}{Q_{1}(x)))+\int {\frac {H( x)}{Q_{2}(x)}}$ $Q_{1}(x)$ $Q(x)$ $Q'(x)$ $Q_{2}(x)$ $Q(x)$ $Q_{1}(x)$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Zorich, 2012 , s. 392.
↑ Rickey, 1980 .
↑ Fikhtengolts, 2003 , s. 48.
↑ Kudrjavtsev, 2003 , s. 501.
↑ Bauldry, 2018 , s. 429.
↑ Kudrjavtsev, 2003 , s. 459.
↑ Kudrjavtsev, 2003 , s. 504.
↑ 1 2 Fikhtengolts, 2003 , s. 41.
↑ Kudrjavtsev, 2003 , s. 505.
↑ Dawkins .
↑ Kudrjavtsev, 2003 , s. 503.
↑ Kudrjavtsev, 2003 , s. 509.

Linkit

Osittainen fraktiolaajennus

Kirjallisuus

Zorich V. A. Matemaattinen analyysi. Osa 1 . - 6. painos - M. : MTSNMO, 2012. - 702 s. (Venäjän kieli)
Kudrjavtsev L. D. Matemaattisen analyysin kurssi. 3 osassa. Volume 1. Useiden muuttujien funktioiden differentiaali- ja integraalilaskenta . - M . : Bustard, 2003. - 704 s. (Venäjän kieli)
Fikhtengol'ts G. M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi. 3 osassa. Osa 2 . - 8. painos - M . : FIZMATLIT, 2003. - 864 s. — ISBN 5-9221-0157-9 . (Venäjän kieli)
Rickey VF, Tuchinsky Ph. M. Maantieteen soveltaminen matematiikkaan: Sekantin integraalin historia // Mathematics Magazine : Journal. - 1980. - toukokuu ( osa 53 , nro 3 ) . — s. 162–166 .
Bauldry WC :n osittaiset murtoluvut laskennan kautta // Daniel Alpay -ongelmat , resurssit ja ongelmat matematiikan perustutkinto-opinnoissa: Journal. - 2018. - 9. toukokuuta ( nide 28 , painos 5 ). — s. 425–437 . — ISSN 1051-1970 . - doi : 10.1080/10511970.2017.1388312 .
Dawkins P. Quadrtics -integraalit . Haettu: 5.7.2021.