Neliön neliöinti

Neliön neliöinti  on ongelma neliön jakamisessa äärelliseen määrään pienempiä neliöitä. Suppeammassa merkityksessä se on ongelma neliön jakamisesta äärelliseen määrään pareittain epätasaisia ​​neliöitä.

Vuosina 1936-1938 sen ratkaisi neljä Cambridgen yliopiston Trinity Collegen opiskelijaa [1] .

Kaikissa tämän ongelman ratkaisuissa olevilla neliöillä on pituudeltaan vertailukelpoiset sivut. [2]

Terminologia

• Pareittain epätasaisiin neliöihin jaettua neliötä kutsutaan täydelliseksi [1] .
• Yhdistelmäneliöihin jaetun neliön järjestys on sen muodostavien neliöiden lukumäärä.
• Neliön osiota, jonka neliöiden osajoukko ei muodosta suorakulmiota (yksittäisiä neliöitä lukuun ottamatta), kutsutaan yksinkertaiseksi .

Historia

• Kysymys mahdollisuudesta jakaa neliö epätasaisiin neliöihin kirjattiin Stanislav Ruzevichin Skotlannin kirjaan numerolla 59 [3] vuonna 1935.
• Ensimmäiset Brooksin, Smithin, Stonen ja Tuttin löytämät täydelliset neliöt olivat luokkaa 69.
• Vuonna 1939 R. Sprague löysi täydellisen neliön kertaluvun 55, se oli ensimmäinen julkaistu ratkaisu täydelliseen neliöön [4] .
• Myöhemmin T. H. Willcocks löysi täydellisen neliön kertaluvun 24, joka piti pitkään tilauksen pienuusennätystä.
• Vuonna 1978 hollantilainen matemaatikko A. J. W. Duijvestijn ( A. J. W. Duijvestijn ) löysi tietokoneen avulla neliön osion 21 neliöön, joiden joukossa ei ole yhtäläisiä (ks. kuva). Hän todisti myös seuraavat väitteet:
  • Ei ole olemassa täydellistä pienemmän järjestyksen neliötä.
  • Hänen löytämänsä osio on ainoa mahdollinen 21. kertaluvun osiolle.

Smith-kaavio

Avainrooli neliöintiongelman ratkaisemisessa oli Brooksin, Smithin, Stonen ja Tatin vuosina 1936-1938 tekemällä ehdotuksella [ 1] Smithin diagrammiksi kutsutun kaavion analysoimiseksi , joka määrittää sähköpiirin mihin tahansa osion osioon. neliö (tai suorakulmio) . Tämä mahdollisti hyvin kehittyneen sähköpiirien teorian soveltamisen neliöintiongelman ratkaisemiseen.

Voimme ajatella, että suorakulmio on johdin, joka on valmistettu kalvosta, jolla on jatkuva resistanssi. Jos virta on kytketty pohjaa pitkin, suorakulmion vastus on suoraan verrannollinen korkeuteen ja kääntäen verrannollinen suorakulmion leveyteen. Siksi voimme olettaa, että minkä tahansa neliön vastus on yksikkö.

Jokainen vaakasuora segmentti neliön osiointisuunnitelmassa vastaa tämän piirin "päätettä" ja jokainen osituksen neliö vastaa johdinta, joka yhdistää kaksi "liitintä". Johtimen läpi kulkevan virran voimakkuus on yhtä suuri kuin vastaavan neliön sivun pituus. Koska voimme olettaa, että jokaisen neliön vastus on yhtä suuri kuin yksi, tällainen sähköpiiri käyttäytyy kuin "todellinen"; erityisesti noudattaa Kirchhoffin sääntöjä virtapiirin virroista.

Neliöiden lukumäärä

	Järjestyksen ensisijaisten täydellisten neliöiden lukumäärä		Järjestyksen ensisijaisten täydellisten neliöiden lukumäärä
21	yksi	28	3001
22	kahdeksan	29	7901
23	12	kolmekymmentä	20 566
24	26	31	54 541
25	160	32	144 161
26	441	33	378 197 [5]
27	1152

Yksinkertaisten täydellisten neliöiden lukumäärä kertalukua n aina symmetriaan asti on annettu sekvenssissä A006983 OEIS :ssä [6] .

Vuonna 2013 neliöitä löytyi luokkaa 32 ( 144 161 ) [6] [5] .

Kesäkuussa 2014 Jim Williams sai kaikki 378 197 prime perfect -neliötä järjestyksessä 33 [5] .

Kuutioiden kuutiointi

"Kuution kuutioiminen", eli kuution jakaminen äärelliseen määrään pareittain epätasaisia ​​kuutioita, on mahdotonta. Todisteen tästä tosiasiasta antoivat Brooks, Smith, Stone ja Tutt.

Oletetaan, että kuution haluttu osio on olemassa.

Tarkastellaan yhtä kuution pinnoista; ilmeisesti, ilman yleisyyden menettämistä, voimme valita alapinnan.

Alapinnalla on epätasaisia ​​kuutioita, joiden alareunat jakavat pinnan epätasaisiin neliöihin.

Etsitään alapinnan osion pienin neliö. Ilmeisesti tämä neliö ei voi liittyä kuution reunaan, koska sitä rajoittavat suurempien neliöiden sivut, joten sen on sijaittava jossain kasvojen sisällä.

Harkitse nyt tämän pienen kuution yläpintaa. Koska sen oletetaan olevan pienin kuutio kuution alapinnalla, sitä ympäröivät korkeammat kuutiot. Siksi yksikään viereinen kuutio ei puutu sen yläpinnalle. Näin ollen tällä sivulla olevat pienemmät kuutiot jakavat taas tämän kuution yläpinnan epätasaisiksi neliöiksi, ja tarkasteltavan kuution yläpinnan osion pienin neliö ei taaskaan voi kuulua kuution reunaan ja sijaitsee kuution sisällä. kasvot.

Jatkamalla tätä päättelyprosessia pääsemme ristiriitaan, joka todistaa Lauseen [1] .

Hyperkuution hyperkuutio

On myös helppo todistaa lause "hyperkuution hyperkuution" mahdottomuudesta mille tahansa hyperkuutiolle , jonka dimensio on suurempi kuin 3. Todellakin, millä tahansa dimensiolla n , alkuperäisen hyperkuution jonkin ( n − 1)-ulotteisen fasetin vieressä  olevien osiohyperkuutioiden on jaettava tämä fasetti äärelliseksi määräksi pareittain eriarvoisia ( n  − 1)-ulotteisia hyperkuutioita. Kun n  = 4, "hyperkuutio" on mahdotonta, koska sen on synnytettävä alkuperäisen 4-ulotteisen hyperkuution 3-ulotteisten hyperpintojen "kuutiointi". Induktiolla n : llä voidaan päätellä, että "hyperkubaatio" on mahdotonta kaikille n  > 3:lle.

Linkit

• Video englanninkielisellä populaaritieteellisellä matemaattisella YouTube-kanavalla Numberphile. Arkistoitu kopio 12. elokuuta 2020 Wayback Machinessa

Kirjallisuus

• Gardner M. , Matemaattisia pulmia ja viihdettä . Per. englanniksi Yu. Danilova. Ed. "Onyx", Moskova, 1994, s. 305-326.
• Yaglom I. M. Kuinka leikata neliön muotoinen arkistokopio 27. tammikuuta 2021 Wayback Machine Mathematical Library -sarjassa M., Nauka, 1968—112 ​​s.
• Bouwkamp CJ, Duijvestijn AJW Yksinkertaisten täydellisen neliön tilausten luettelo 21 - 25 , Eindhoven Univ. Tekniikka, Dept. of Math., raportti 92-WSK-03, marraskuu 1992.
• Bouwkamp CJ, Duijvestijn AJW Album of Simple Perfect Squared Squares of order 26 , Eindhovenin teknillinen yliopisto, matematiikan ja tietojenkäsittelytieteen tiedekunta, EUT:n raportti 94-WSK-02, joulukuu 1994.
• Brooks, R.L., Smith CAB, Stone, A.H., Tutte, W.T. The Dissection of Rectangles into Squares , Duke Math. J. 7, 312-340, 1940
• Gardner Martin , Neliön neliöinti , teoksessa The 2nd Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions.
• Meschkowski H. Ratkaisemattomia ja ratkaisemattomia ongelmia geometriassa, Oliver ja Boyd, 1966, Edinburgh, pp. 9-102.
• Stein S. Mathematics: The Man-Made Universe, (2. painos) Freeman and Co., 1969, San Francisco, s. 92-124.
• Tutte W. Squaring the Square, Canadian Journal of Mathematics, 1950, s. 197-209.
• Tutte W. The Quest of the Perfect Square, The American Mathematical Monthly , 1965, Voi. 72, nro. 2, s. 29-35.

Muistiinpanot

1. ↑ 1 2 3 4 Brooks, R.L.; Smith, CAB; Stone, A.H.; ja Tutte, W.T. The Dissection of Rectangles into Squares , Duke Math. J. 7, 312-340, 1940.
2. ↑ Gardner, M. , Math Puzzles and Fun . Per. englanniksi Yu. Danilova. Ed. "Onyx", Moskova, 1994, s. 305-326. . Haettu 12. elokuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 17. tammikuuta 2021. (määrätön)
3. ↑ Skotlantilainen kirja  (määrittelemätön) / Stan Ulam. – 1958.
4. ↑ 5. Kohti kombinatoristen pelien teoriaa . American Mathematical Society . Haettu 30. kesäkuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 29. elokuuta 2017.  (määrätön) .
5. ↑ 1 2 3 Stuart Anderson. Simple Perfect Squared Squares (SPSSs); Tilaukset 21-33 ja suuremmat tilaukset . Haettu 30. marraskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 8. joulukuuta 2015.  (määrätön) .
6. ↑ 1 2 OEIS - sekvenssi A006983 = Yksinkertaisten täydellisten neliöiden lukumäärä kertalukua n symmetriaan asti .

Linkit

• Ross Honsberger. Neliön neliö . Waterloon yliopiston matematiikan tiedekunta. Arkistoitu alkuperäisestä 16. lokakuuta 2015. (määrätön)
• Re: Neliön (tai suorakulmion) leikkaus epätasa-arvoisiksi neliöiksi . sci.math, rec.puzzles (11. huhtikuuta 1998). Arkistoitu alkuperäisestä 19. huhtikuuta 2003. (määrätön)
• Neliön neliö . Byron Schmuland. Haettu 26. helmikuuta 2005. Arkistoitu alkuperäisestä 24. syyskuuta 2015. (määrätön)
• Karl Scherer. Neliö Suorakulmio (linkki ei saatavilla) . Arkistoitu alkuperäisestä 21. elokuuta 2014. (määrätön) 
• Karl Scherer. Square The Square (linkki ei saatavilla) . Arkistoitu alkuperäisestä 19. elokuuta 2014. (määrätön) 

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Britannica (verkossa)