Vertailukelpoiset määrät

Suhteelliset suuret on historiallinen termi, joka ilmaisee suureita, joille on olemassa yhteinen mitta . Tavallinen suureiden mitta on suure, joka on kokonaisluku , jonka jokainen niistä sisältää [1] . Jos tällaista mittaa ei ole olemassa, niin tällaisia ​​määriä kutsutaan suhteettomiksi .

Oletetaan, että yhteinen mitta sisältyy suureisiin a ja b m ja vastaavasti n kertaa. Lukua m / n kutsutaan näiden vertailukelpoisten suureiden suhteeksi . Kahden vertailukelpoisen suuren suhde ilmaistaan ​​rationaalisella luvulla ja incommensurable- irrational . Siksi sanomme myös, että luku a on luvun b rationaalinen kerrannainen .

Esimerkki suhteettomista suureista on neliön ja sen sivun diagonaali, koska niiden suhdetta ( ) ei voida esittää tarkasti millään rationaalisella luvulla.

Mikä tahansa rationaalisten lukujen pari (ja mikä tahansa äärellinen joukko) on vertailukelpoinen. Irrationaaliset luvut voivat olla suhteellisia (esimerkiksi ja , joiden suhde on 3), mutta ne voivat olla myös suhteettomia.

Historia

Pythagoralaiset (6. vuosisata eKr.) olivat varmoja siitä, että " lukujen elementit ovat kaiken elementtejä... ja että koko maailma kokonaisuutena on harmoniaa ja numeroa " [2] . Samaan aikaan he tunnustivat vain luonnolliset luvut numeroiksi ; ja he pitivät murtolukuja luonnollisten lukujen suhteina ( suhteet ) eivätkä pitäneet lukuja, koska yksikköä pidettiin jakamattomana.

Ensimmäinen halkeama pythagoralaisessa maailmanmallissa oli heidän oma todisteensa irrationaalisuudesta , muotoiltuna geometrisesti neliön lävistäjän ja sen sivun suhteettomuudeksi (5. vuosisata eKr.). Mahdottomuus ilmaista janan pituutta joko luonnollisella luvulla tai luonnollisten lukujen suhteella asetti kyseenalaiseksi pythagoralaisuuden pääperiaatteen. Jopa Aristoteles, joka ei jakanut heidän näkemyksiään, ilmaisi hämmästyksensä siitä, että on asioita, joita "ei voida mitata pienimmällä mitalla" [3] .

Lahjakas pythagoralainen Theaetetus yritti pelastaa tilanteen . Hän (ja myöhemmin Eudoxus ) ehdotti uutta "geometrisen suuren" käsitettä, joka muotoiltiin nyt geometrisella kielellä, eikä suhteellisuusongelmia ollut. Eudoxuksen teoria on esitetty Eukleideen elementtien V kirjassa . Sen lisäksi, että neliön lävistäjä sen sivun kanssa oli epäyhtenäinen, Euklides totesi monien muiden suureiden parien suhteettomuuden:

• säännöllisen viisikulmion sivut ja sen ympärillä olevan rajatun ympyrän säde;
• säännöllisen kymmenkulmion sivut ja sen ympärillä olevan rajatun ympyrän säde;
• säännöllisen monitahoisen ( tetraedri , kuutio , oktaedri , ikosaedri , dodekaedri ) reunat ja tämän monitahoisen pallon ympärillä kuvatun pallon säde [4] .

Muinaisten tiedemiesten seuraajat - intialaiset ja islamilaiset matemaatikot - hylkäsivät pythagoralaiset ennakkoluulot ja pitivät kaikkia mitattavia määriä lukuina. Euroopassa tämän lähestymistavan julisti Newton teoksessa " Universal Aithmetic " (1707):

Numerolla emme ymmärrä niinkään yksikköjoukkoa kuin jonkin suuren abstraktia suhdetta toiseen samanlaiseen suureen, joka otetaan yksikkönä.

Tämä lähestymistapa tasoittaa täysin suhteellisten ja suhteettomia määriä (eli rationaalisia ja irrationaalisia lukuja ) koskevat oikeudet.

Katso myös

• Archimedesin aksiooma
• Eukleideen algoritmi
• Mitaton numero
• Geometrinen rakenne

Muistiinpanot

1. ↑ Summittaiset ja incommensurable suuret // Mathematical Encyclopedia (5 osassa). - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1985. - T. 5. - S. 73.
2. ↑ Aristoteles . Metafysiikka. Käännös ja muistiinpanot A. V. Kubitsky. M.-L., 1934, s. 26-27.
3. ↑ Aristoteles . Metafysiikka. Käännös ja muistiinpanot A. V. Kubitsky. M.-L., 1934, s. 22.
4. ↑ Andronov I. K. Reaali- ja kompleksilukujen matematiikka. - Enlightenment, 1975. - S. 9-10. — 158 s.