Dolbeault-kohomologia

Dolbeault-kohomologia on de Rham -kohomologian analogi monimutkaisille monimutkaisille putkille . Nimetty Pierre Dolbon mukaan .

Olkoon M monimutkainen monisto. Sitten Dolbeault-kohomologiaryhmät riippuvat kokonaislukuparista p ja q ja ne rakennetaan monimutkaisista differentiaalisista astemuodoista ( p , q ). $H^{p,q}(M,\mathbb {C} )$

Kohomologiaryhmien rakentaminen

Olkoon Ω p , q monimutkaisten asteen ( p , q ) differentiaalimuotojen vektorinippu

{\bar {\partial }}:\Gamma (\Omega ^{p,q})\to \Gamma (\Omega ^{p,q+1})

on Dolbeault-operaattori . Muista tuo

{\bar {\partial }}^{2}=0.

Tätä operaattoria voidaan käyttää kohemologian määrittämiseen. Määrittele erityisesti kohomologia osamääräavaruudeksi

H^{p,q}(M,\mathbb {C} )=\ker \left({\bar {\partial )):\Gamma (\Omega ^{p,q},M)\to \Gamma (\Omega ^{p,q+1},M)\oikea)/{\bar {\partial }}\Gamma (\Omega ^{p,q-1}).

Dolbeaultin lause

Dolbeaultin lause on de Rhamin lauseen monimutkainen analogi . Siinä todetaan, että Dolbeault-kohomologia on isomorfinen holomorfisten differentiaalimuotojen lyhteen kohomologian kanssa . Tuo on

H^{p,q}(M)\cong H^{q}(M,\Omega ^{p})

missä on holomorfisten p -muotojen nippu M . $\Omega ^{p}$

Kirjallisuus

Griffiths F., Harris J. Algebrallisen geometrian periaatteet: Per. englannista. - M . : Mir, 1982.
Dolbeault, Pierre (1953). Sur la cohomologie des varietes analytiques komplekseja. Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 236 : 175-277.