Topologisen avaruuden loppu

Topologisen avaruuden loppu on karkeasti sanottuna sen "ihanteellisen rajansa" yhdistetty komponentti . Eli jokainen pää on tapa siirtyä kohti äärettömyyttä avaruudessa.

Pisteen lisääminen kumpaankin päähän johtaa alkuperäisen tilan tiivistymiseen , joka tunnetaan äärellisenä tiivistyksenä .

Määritelmä

Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon

K_{1}\subset K_{2}\subset \dots

on kasvava sarja X:n kompakteja osajoukkoja , joiden sisäosat peittävät X . Sitten X : llä on yksi pää jokaiselle sekvenssille

U_{1}\supset U_{2}\supset \dots

jossa jokainen U n on komplementin X \ K n yhdistetty komponentti .

On helppo todistaa, että päiden lukumäärä ei riipu tietystä kompaktien joukkojen sekvenssistä { K n }.

Esimerkkejä

Pienellä tilalla ei ole loppua.
Reaaliviivalla on kaksi päätä, ∞ ja −∞. $\scriptstyle \mathbb {R}$
Euklidisella avaruudella n > 1 on vain yksi pää. Tämä johtuu siitä , että mille tahansa kompaktille joukolle K on vain yksi rajoittamaton komponentti . $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$ $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}\setminus K$
- Lisäksi, jos M on kompakti jakoputkisto, jonka raja on , niin sen sisäosan päiden lukumäärä on yhtä suuri kuin M :n rajan yhdistettyjen komponenttien lukumäärä .
Origosta lähtevän n säteen liitolla on n päätä. ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{2))$
Äärettömällä täydellisellä binääripuulla on lukematon määrä päitä. Nämä päät voidaan nähdä äärettömän puun "kruununa". Äärillisessä tiivistyksessä päiden joukko on homeomorfinen Cantor-joukon kanssa .

Historia

Hans Freudenthal esitteli topologisen avaruuden lopun käsitteen vuonna 1931.

Muunnelmia ja yleistyksiä

Yllä annettu pään määritelmä koskee vain tiloja X , jotka voidaan tyhjentää tiivistyksellä. Se voidaan kuitenkin yleistää seuraavasti: olkoon X mikä tahansa topologinen avaruus, harkitse X :n kompaktien osajoukkojen suoraa järjestelmää { K } inkluusiokartoituksella. Tarkastellaan vastaavaa komplementtien { π 0 ( X \ K )} kytkettyjen komponenttien käänteistä järjestelmää. Sitten X : n päiden joukko määritellään tämän käänteisjärjestelmän käänteisrajaksi.

Linkit

Diestel, Reinhard & Kühn, Daniela (2003), Graafiteoreettiset versus graafien topologiset päät , Journal of Combinatorial Theory , Series B osa 87 (1): 197–206 , DOI 10.1016/S0095-8956(02-5003) .
Freudenthal, Hans (1931), Über die Enden topologischer Räume und Gruppen , Mathematische Zeitschrift (Springer Berlin / Heidelberg). — T. 33: 692-713, ISSN 0025-5874 , DOI 10.1007/BF01174375
Ross Geoghegan, Topologiset menetelmät ryhmäteoriassa , GTM-243 (2008), Springer ISBN 978-0-387-74611-1 .
Peter Scott, Terry Wall, Topologiset menetelmät ryhmäteoriassa , London Math. soc. Lecture Note Ser., 36, Cambridge Univ. Press (1979) 137-203.