Projektiivinen raja

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 18. helmikuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 4 muokkausta .

Projektiivinen raja ( käänteisraja ) on matematiikan eri aloilla käytetty konstruktio, jonka avulla voit rakentaa uuden objektin samantyyppisten objektien perheestä (indeksoitu suunnatulla joukolla ) ja joukosta kartoituksia , . Yksi luokkateorian rajoista . $X$ $X_{i}$ $f_{{ij}}:X_{j}\to X_{i}$ $i\leqslant j$

Seuraavaa merkintää käytetään yleisesti projektitiiviselle rajalle:

X=\varprojlim X_{i}

X=\projlim X_{i}

Projektiivinen raja voidaan määrittää mielivaltaiseen kategoriaan . Kaksikonsepti on suora raja .

Historia

Projektiiviset rajat näkyvät Aleksandrovin teoksissa . [yksi]

Määritelmä

Algebralliset rakenteet

Algebrallisille järjestelmille projektiivinen raja määritellään seuraavasti. Olkoon suunnattu joukko (esimerkiksi joukko kokonaislukuja ), ja olkoon jokainen elementti liitetty jonkin kiinteän luokan algebralliseen järjestelmään (esim. Abelin ryhmät , tietyn renkaan moduulit ), ja jokainen pari siten, että , , liittyä homomorfismiin ja — identtiset kuvaukset mille tahansa ja mille tahansa . Tällöin suunnatun perheen projektiivisen rajan kantoaaltojoukko on suoratulon osajoukko , jonka elementtien kukin komponentti vastaa pienempien indeksien komponentteja: $minä$ $\leqslant$ $minä\minässä$ $X_{i}$ $(i,\;j)$ $i,\;j\in I$ $i\leqslant j$ $f_{{ij}}:X_{j}\to X_{i}$ $f_{{ii}}$ $minä\minässä$ $f_{{ik}}=f_{{ij}}\circ f_{{jk}}$ $i\leqslant j\leqslant k$ $minä$ $X$ $X_{i}$

\varprojlim X_{i}={\biggl \{}(x_{i})\in \prod _{i\in I}X_{i}\;{\bigg |}\;x_{i} =f_{ij}(x_{j})\ \forall i\leqslant j{\biggr \}}.

On olemassa kanonisia projektioita , jotka valitsevat kullekin suoran tuotteen :nnen komponentin . Näiden projektioiden tulee olla homomorfismeja, joiden perusteella on mahdollista palauttaa lisätty algebrallinen rakenne projektitiiviselle rajalle. $\pi_i\kaksoispiste X \ja X_i$ $i$ $minä\minässä$

Yleinen tapaus

Satunnaisessa kategoriassa projektitiivista rajaa voidaan kuvata käyttämällä sen universaalia ominaisuutta . Olkoon C -luokan esineiden ja morfismien perhe, joka täyttää samat vaatimukset kuin edellisessä alajaksossa. Silloin sitä kutsutaan järjestelmän projektiiviseksi rajaksi tai , jos seuraavat ehdot täyttyvät: $(X_{i},f_{{ij}})$ $X$ $(X_{i},f_{{ij}})$ $X=\varprojlim X_{i}$

on olemassa sellainen kartoitusperhe , että mille tahansa ; $\pi _{i}:X\to X_{i}$ $\pi _{i}=f_{{ij}}\circ \pi _{j}$ $i\leqslant j$
mille tahansa kuvausperheelle , mielivaltaiselle objektille , jonka yhtäläisyydet pätevät mihin tahansa , on ainutlaatuinen kuvaus , joka kaikille . $\psi _{i}:Y\to X_{i}$ $Y$ $\psi _{i}=f_{{ij}}\circ \psi _{j}$ $i\leqslant j$ $u:Y\-X$ $\psi _{i}=\pi _{i}\circ u$ $minä\minässä$

Yleisemmin projektiivinen raja on raja järjestelmän kategorisessa merkityksessä . $(X_{i},f_{{ij}})$

Esimerkkejä

Kokonaisluku -adic-luvut ovat projektitiivista rajaa sekvenssille , jonka luonnolliset kartoitukset ovat muotoa "ottavat jäännöksen" kohdassa . $s$ $\mathbb{Z } _{{p^{n}}}$ $\mathbb{Z } _{{p^{n}}}\to \mathbb{Z } _{{p^{m}}}$ $n\geqslant m$
Formaalisen potenssisarjan rengas kommutatiivisen renkaan yli on luonnollisilla luvuilla indeksoitujen renkaiden projektiiivinen raja . $\textstyle R[[t]]$ $R$ $\textstyle R[t]/t^{n}R[t]$ $\textstyle R[t]/t^{{n+j}}R[t]\to \textstyle R[t]/t^{n}R[t]$
Cantor-joukko on homeomorfinen kahden pisteen joukkojen tulojen projektitiiviselle rajalle ( diskreetillä topologialla ) ja projektiot muutaman ensimmäiseen koordinaatteihin kartoituksissa.
Profiniittiset ryhmät määritellään äärellisten (diskreettien) ryhmien projektitiivisiksi rajoiksi.
Topologisten avaruuksien luokassa projektitiiviset rajat annetaan vastaavan tukijoukon alkutopologialla

Muistiinpanot

↑ Aleksandrov P.S., “Ann. matematiikasta. ", 1928, v. 30, s. 101-87.

Kirjallisuus

McLane S. Luku 3. Universaalit rakenteet ja rajat // Categories for the working mathematician = Categories for the working mathematician / Per. englannista. toim. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Projektiivinen raja - artikkeli Encyclopedia of Mathematicsista . M. Sh. Tsalenko
Jan-Erik Roos. Käänteisten rajojen johdetut funktorit tarkasteltu uudelleen // J. London Math. Soc .. - 2006. - T. 73 , nro 1 . - S. 65-83 . - doi : 10.1112/S0024610705022416 .