Lopeta laajennus

Äärillinen laajennus on kentän laajennus siten, että se on äärellisulotteinen vektoriavaruuden suhteen . Vektoriavaruuden ulottuvuutta kutsutaan laajennusasteeksi ja sitä merkitään . $E\ järkyttynyt K$ $E$ $K$ $E$ $K$ $[E:K]$

Lopeta laajennuksen ominaisuudet

Äärillinen laajennus on aina algebrallinen . Todellakin, anna , koska minkä tahansa elementin elementtijoukko ei voi olla lineaarisesti riippumaton, niin siellä on polynomi yli asteen, joka ei ole suurempi kuin , Sellainen, että on sen juuri. $[E:K]=n$ $\alpha \in E$ $n+1$ $1,\alpha ,\alpha ^{2},...\alpha ^{n}$ $K$ $n$ $\alpha$

Yksinkertainen algebrallinen laajennus on äärellinen. Jos pelkistymättömällä polynomilla on aste , niin . $E=K(\alpha )$ $\alpha$ $K$ $n$ $[E:K]=n$

Peltotornissa kenttä on äärellinen jos ja vain jos äärettömästi yli ja äärettömästi yli . Tämä seuraa helposti vektoriavaruuksien perusominaisuuksista. Tässä tapauksessa if on perusta yli ja on perusta yli sitten on perusta over , joten . $F\supset E\supset K$ $F$ $K$ $F$ $E$ $E$ $K$ $e_{1},...e_{n}$ $E$ $K$ $f_{1},...f_{m}$ $F$ $E$ $f_{1}e_{1},f_{1}e_{2},...f_{1}e_{n},f_{2}e_{1},...f_{m}e_{1} ,...f_{m}e_{n}$ $F$ $K$ $[F:E][E:K]=[F:K]$

Äärillinen laajennus E generoidaan äärellisesti . Voimme ottaa minkä tahansa perustan elementtejä generoiviksi elementeiksi . Sitä vastoin mikä tahansa äärellisesti generoitu algebrallinen laajennus on äärellinen. Todellakin ,. Algebralliset elementit pysyvät sellaisina suuremmassa kentässä . Seuraavaksi sovellamme lauseita yksinkertaisten algebrallisten laajennusten äärellisyydestä ja äärellisten laajennusten tornista. $E=K(e_{1},...e_{n})$ $K(\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n})=K(\alpha _{1})(\alpha _{2})...(\alpha _{n})$ $\alpha_i$ $K$ $K(\alpha _{1})...(\alpha _{{i-1}})$

Jos tietysti, niin minkä tahansa laajennuksen tapauksessa (jos ja sisältyvät johonkin kenttään) kenttien yhdistelmä on äärellinen laajennus ). $E\ järkyttynyt K$ $F\supset K$ $F$ $E$ $EF$ $F$

Kirjallisuus

Van der Waerden B. L. Algebra - M:, Nauka, 1975
Zarissky O., Samuel P. Kommutatiivinen algebra v.1 - M:, IL, 1963
Leng S. Algebra - M:, Mir, 1967