Steinerin suunnittelu

Steiner-rakenne on tapa määrittää ei- degeneroitunut kartioleikkaus projektiivitasossa kentän yli . Sen ehdotti sveitsiläinen matemaatikko Jacob Steiner .

Rakentaminen

Olkoon kaksi lyijykynää viivoja pisteissä annetaan (kaikki rivit sisältävät ja vastaavasti) ja projektiivinen, mutta ei perspektiivikuvaus pisteistä . Sitten vastaavien suorien leikkauspisteet muodostavat rappeutumattoman projektiivisen kartioleikkauksen [1] [2] [3] [4] (kuva 1) ${\näyttötyyli B(U),B(V)}$ $U,V$ $U$ $V$ $\pi$ $B(U)$ $B(V)$

Kynästä nippuun -perspektiivikartoitus on bijektio , jossa vastaavat viivat leikkaavat kiinteällä linjalla, jota kutsutaan perspektiivikartoitusakseliksi (kuva 2). $\pi$ $B(U)$ $B(V)$ $a$ $\pi$

Projektiivinen kartoitus on yhdistelmä äärellisestä määrästä perspektiivikartoitusta.

Esimerkkejä yleisesti käytetyistä kentistä ovat reaaliluvut , rationaaliluvut ja kompleksiluvut . Konstruktio toimii myös äärellisillä kentillä antaen esimerkkejä äärellisistä projektiivitasoista. $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {C}$

Huomautus: Projektiivisten tasojen päälause sanoo, että projektiivinen kuvaus kentän yli projektiivitasossa määräytyy yksiselitteisesti kolmen viivan kuvilla. [5] Tämä tarkoittaa, että Steiner-konstruktiossa kahden pisteen lisäksi on annettava vain kolmen viivan kuvat. Koska suoran kuvan määrittää yksiselitteisesti leikkauspiste kuvan kanssa, tästä seuraa, että kartio on yksiselitteisesti määritetty viiden sen päällä olevan pisteen perusteella. $U,V$

Esimerkki

Seuraavassa esimerkissä tunnetaan kolmen viivan kuvat (katso kuva 3): . Projektiivinen kartoitus on perspektiivikartoitusten yhdistelmä : 1) on lyijykynän perspektiivikartoitus pisteessä kynään pisteessä , jossa on akseli . 2) on perspektiivikuvaus säteen pisteestä palkkiin pisteessä , jonka akseli on . Meidän on tarkistettava, että sillä on seuraavat ominaisuudet: . Näin ollen mielivaltaiselle riville sen kuva voidaan rakentaa . Viivat ja sisältävät vain kartion ja vastaavasti pisteet. Siksi ja ovat tangentti rakennettu kartio. ${\näyttötyyli a,u,w}$ $\pi (a)=b,\pi (u)=w,\pi (w)=v$ $\pi$ $\pi _{b},\pi _{a}$ ${\näyttötyyli \pi _{b))$ $U$ $O$ $b$ $\pi _{a}$ $O$ $V$ $a$ ${\displaystyle \pi =\pi _{a}\pi _{b))$ $\pi (a)=b,\pi (u)=w,\pi (w)=v$ $g$ $\pi (g)=\pi _{a}\pi _{b}(g)$ $u$ $v$ $U$ $V$ $u$ $v$

Todiste siitä, että tällä menetelmällä voidaan rakentaa kartio, tehdään siirtymällä affiiniseen kaavioon, jossa viiva on äärettömässä oleva viiva, piste on origo ja pisteet ovat äärettömyyden pisteitä, jotka vastaavat x- ja y - akseleita . vastaavasti. ja piste . Konstruoidun kartion affiiniosa osoittautuu hyperbolaksi . [3] $w$ $O$ $U,V$ $E=(1,1)$ $y = 1/x$

Steinerin kaksoiskartion rakentaminen

Määritelmät

Kun siirrytään kaksoisprojektiiviseen tasoon, sanat "piste" ja "viiva" sekä viivojen ja yhdyspisteiden risteystoiminnot vaihdetaan keskenään. Kaksoisprojektiivinen taso on myös projektiivinen taso ja sille voidaan esittää homogeeniset koordinaatit. Ei-degeneroitunut kartioleikkaus kaksoisprojektiiivisessa tasossa määritellään myös neliömuodolla.

Kaksoiskartio voidaan rakentaa dual Steiner -menetelmällä:

Olkoon annetut viivat ja projektiivinen, mutta ei perspektiivikartoitus välillä - . Tällöin vastaavia pisteitä yhdistävät suorat muodostavat kaksois-degeneroitumattoman projektiivisen kartioleikkauksen. $u, v$ $\pi$ $u$ $v$

Viivan pistejoukon perspektiivikartoitus viivan pisteiden joukkoon on bijektio siten, että vastaavia pisteitä yhdistävät suorat leikkaavat kiinteässä pisteessä , jota kutsutaan perspektiivikeskukseksi (katso kuva). $\pi$ $u$ $v$ $Z$ $\pi$

Projektiivinen kartoitus on yhdistelmä äärellisestä määrästä perspektiivikartoitusta.

Siinä tapauksessa, että pääkentällä on ominaisuus 2, kaikki tangenttikartiot leikkaavat pisteessä, jota kutsutaan kartion solmuksi (tai ytimeksi ). Siksi kartiomainen kaksoiskartio ei-degeneroituneeseen kartioon on kaksoisviivan osajoukko, ei soikea käyrä (kaksoistasossa). Joten kaksoiskartio on ei-degeneroitunut vain, jos maakentän ominaisuus ei ole yhtä suuri kuin 2.

Esimerkki

Seuraavassa esimerkissä tunnetaan kolmen pisteen kuvat : . Projektiivinen kartoitus voidaan esittää perspektiivikartoitusten yhdistelmänä : ${\näyttötyyli A,U,W}$ $\pi (A)=B,\,\pi (U)=W,\,\pi (W)=V$ $\pi$ $\pi _{B},\pi _{A}$

1) on perspektiivikuvaus pistejoukosta viivalla pisteiden joukkoon suoralla , jonka keskipiste on .

\pi _{B}

u

o

B

2) on perspektiivikuvaus viivan pistejoukosta pisteiden joukkoon suoralla , jonka keskipiste on .

\pi _{A}

o

v

A

On helppo varmistaa, että kartoitus tyydyttää . Näin ollen mielivaltaiselle pisteelle sen kuva voidaan rakentaa ja viiva on kaksoiskartion elementti. $\pi =\pi _{A}\pi _{B}$ $\pi (A)=B,\,\pi (U)=W,\,\pi (W)=V$ $G$ $\pi (G)=\pi _{A}\pi _{B}(G)$ ${\overline {G\pi (G)))$

Muistiinpanot

↑ Coxeter, 1993 , s. 80.
↑ Merserve, 1983 , s. 65.
↑ 12 Hartmann , s. 38.
↑ Jacob Steinerin Vorlesungen über synthetische Geometrie , BG Teubner, Leipzig 1867 Osa II , s. 96
↑ Hartmann, , s. 19

Kirjallisuus

Coxeter, HSM The Real Projective Plane, Springer Science & Business Media, 1993
Hartmann, Erich , Planar Circle Geometries, Johdatus Moebius-, Laguerre- ja Minkowski-tasoihin
Merserve, Bruce E. Fundamental Concepts of Geometry, Dover, (1983) [1959], ISBN 0-486-63415-9