Dulacin kriteeri

Dulac-kriteeri on ranskalaisen matemaatikon Henri Dulacin laatima teoreema tavallisten differentiaaliyhtälöiden ja dynaamisten järjestelmien teoriassa . Edustaa riittävää ehtoa, että yksinkertaisesti yhdistetyssä tasolla tasossa vektorikentällä ei ole suljettuja lentoratoja (sykliä) ja polysykliä .

Sanamuoto

Olkoon tasossa jatkuvasti differentioituva vektorikenttä eli tavallisten differentiaaliyhtälöiden järjestelmä

{\piste {x}}=f(x,y),\,\,\,\,{\piste {y}}=g(x,y)

Jos yksinkertaisesti yhdistetyssä toimialueessa on sileä funktio , jollainen lauseke ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{2))$ ${\näyttötyyli B(x,y)}$

{\frac {\partial \left(B(x,y)\cdot f(x,y)\right)}{\partial x))+{\frac {\partial \left(B(x, y)\cdot g(x,y)\right)}{\partial y))

on vakiomerkkinen eikä katoa , niin tällä alueella ei ole suljettuja käyriä, jotka koostuvat järjestelmän liikeradoista. [yksi] $D$

Funktiota kutsutaan Dulac-funktioksi . Erikoistapausta Dulacin kriteeristä funktiolla kutsutaan Bendixsonin lauseeksi suljettujen lentoratojen puuttumisesta . ${\näyttötyyli B(x,y)}$ $B(x,y)=1$

Todiste

Yleisyyttä menettämättä voimme olettaa, että yksinkertaisesti yhdistetyssä toimialueella on funktio , joka: $D$ ${\näyttötyyli B(x,y)}$

{\frac {\partial \left(B(x,y)\cdot f(x,y)\right)}{\partial x))+{\frac {\partial \left(B(x, y)\cdot g(x,y)\right)}{\partial y}}>0

Antaa olla suljettu käyrä, joka koostuu yhdestä tai useammasta liikeradalta, joka rajoittaa jonkin alueen . Sitten Greenin lause implikoi tasa-arvon $C$ $S\subset D$

\iint _{S}{\left({\frac {\partial \left(B(x,y)\cdot f(x,y)\right)}{\partial x))+{\frac {\partial \left(B(x,y)\cdot g(x,y)\right)}{\partial y}}\right)dxdy}=\oint _{C}{\left(B(x, y)\cdot f(x,y)\,dy-B(x,y)\cdot g(x,y)\,dx\oikea)}=\oint _{C}{B(x,y)\ vasen({\piste {x}}\,dy-{\piste {y}}\,dx\oikea)}.

Mutta siitä lähtien : ja sitten: $C$ $dx={\piste {x}}\,dt$ $dy={\piste {y}}\,dt$

\oint _{C}{B(x,y)\left({\piste {x}}\,dy-{\dot {y}}\,dx\right)}=\oint _{C }{B(x,y)\left({\piste {x}}{\piste {y}}\,dt-{\piste {y}}{\piste {x}}\,dt\oikea)} =0

Tämä tarkoittaa, että lentorataa ei voida sulkea. ■ $C$

Muistiinpanot

↑ Bautin N.N., Leontovich E.A. Menetelmiä ja tekniikoita dynaamisten järjestelmien kvalitatiiviseen tutkimukseen tasossa (2. painos, lisäys) M.: Nauka, 1990. Pp. 113

Kirjallisuus

Bautin N.N., Leontovich E.A. Menetelmiä ja tekniikoita dynaamisten järjestelmien kvalitatiiviseen tutkimukseen tasossa (2. painos, lisäys) Moscow: Nauka, 1990. 486 s.
Carmen Charles Chicone . Tavalliset differentiaaliyhtälöt sovellusten kanssa
NF Britton . välttämätön matemaattinen biologia
Henryk Zoladek . Monodromia ryhmä