Kuutiojuuri

A:n kuutiojuuri , joka on merkitty tai 1/3 , on luku, jonka kuutio on yhtä suuri eli tämä on yhtälön ratkaisu (tarkoitetaan yleensä todellisia ratkaisuja). ${\sqrt[{3}]{a))$ $x,$ $a.$ $x^{3}=a$

Oikea juuri

Kuutiojuuri on pariton funktio . Toisin kuin neliöjuuri , kuutiojuuri voidaan ottaa myös negatiivisista luvuista (jotta saadaan todellinen tulos):

{\sqrt[ {3}]{-x}}=-{\sqrt[ {3}]{x}}

Monimutkainen juuri

Nollasta poikkeavan kompleksiluvun kuutiojuurella on täsmälleen kolme arvoa (n:nnen juuriominaisuuden erikoistapaus): $c$

{\sqrt[{3}]{c}}={\sqrt[{3}]{\left|c\right|}}\left(\cos {\frac {\varphi +2k\pi } {3}}+i\sin {\frac {\varphi +2k\pi }{3}}\right),\quad k=0,1,2,\dots \quad \varphi =\arg {c}.

Tässä tarkoittaa positiivisen luvun aritmeettinen juuri ${\sqrt[ {3}]{\left|c\right|}}$ $\left|c\oikea|.$

Erityisesti

{\sqrt[ {3}]{1}}={\begin{cases}1\\\cos {{\frac {2\pi }{3}}}+i\sin {{\frac {2\pi }{3}}}=-{\frac {1}{2}}+i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\\\cos {{\frac {2\pi }{ 3}}}-i\sin {{\frac {2\pi }{3}}}=-{\frac {1}{2}}-i{\frac {{\sqrt {3}}}{2 }}\end{cases}}

{\sqrt[ {3}]{-1}}={\begin{cases}-1\\\cos {{\frac {\pi }{3}}}+i\sin {{\frac {\pi }{3}}}={\frac {1}{2}}+i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\\\cos {{\frac {\pi }{3} }}-i\sin {{\frac {\pi }{3}}}={\frac {1}{2}}-i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\end {tapaukset}}

Kuutiojuuren kaksi kompleksista arvoa saadaan todellisista arvoista kaavalla:

{\sqrt[ {3}]{x}}_{{2,3}}={\sqrt[ {3}]{x}}\left(-{\frac {1}{2}}\pm i {\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\oikea).

Nämä arvot on tiedettävä, jotta voidaan ratkaista kuutioyhtälöitä Cardanon kaavalla .

Ohjeellinen muoto

Kompleksiluvun juuren pääarvo voidaan määritellä seuraavasti: $x$

x^{{1/3}}=\exp({\tfrac 13}\ln {x})

Missä ln on luonnollisen logaritmin pääarvo .

Jos kuvitellaan $x$

x=r\exp(i\theta )

sitten kuutiokaava on:

{\sqrt[ {3}]{x}}={\sqrt[ {3}]{r}}\exp({\tfrac 13}i\theta ).

Tämä tarkoittaa geometrisesti sitä, että napakoordinaateissa otetaan kuutiojuuri moduulilla ja jaetaan alkuperäisen argumentin napakulma kolmella. Joten jos monimutkainen, niin merkitsee ei , mutta tulee olemaan ${\sqrt[{3}]{r))$ $x$ ${\sqrt[ {3}]{-8}}$ $-2$ $1+i{\sqrt {3}}.$

Mielenkiintoisia faktoja

Kuutiojuurta ei voi ottaa kompassilla ja suoraviivalla . Tästä syystä klassiset ongelmat, jotka voidaan pelkistää kuutiojuuren erottamiseen, ovat ratkaisemattomia: kuution tuplaaminen , kulman kolmioleikkaus sekä säännöllisen seitsemänkulmion rakentaminen .

Aineen vakiotiheydellä kahden samanlaisen kappaleen mitat ovat suhteessa toisiinsa niiden massojen kuutiojuurina. Joten jos yksi vesimeloni painaa kaksi kertaa niin paljon kuin toinen, niin sen halkaisija (samoin kuin ympärysmitta) on vain hieman yli neljänneksen (26 %) suurempi kuin ensimmäisen; ja silmästä näyttää, ettei painoero ole niin merkittävä. Siksi vaakojen puuttuessa (myyminen silmällä) on yleensä kannattavampaa ostaa suurempi hedelmä.

Laskentamenetelmät

Sarake

Ennen kuin aloitat, sinun on jaettava numero kolmoisiksi (koko osa - oikealta vasemmalle, murto-osa - vasemmalta oikealle). Kun olet saavuttanut desimaalipilkun, sinun on laitettava desimaalipiste tuloksen loppuun.

Algoritmi on:

Etsi luku, jonka kuutio on pienempi kuin ensimmäinen numeroryhmä, mutta kun sitä lisätään yhdellä, se kasvaa. Kirjoita löydetty numero annetun numeron oikealle puolelle. Kirjoita sen alle numero 3.
Kirjoita löydetyn luvun kuutio ensimmäisen numeroryhmän alle ja vähennä se . Kirjoita tulos vähennyksen jälkeen väkiluvun alle. Poista seuraavaksi seuraava numeroryhmä.
Seuraavaksi korvaamme löydetyn välivastauksen kirjaimella . Laske kaavalla sellainen luku , että sen tulos on pienempi kuin alin luku, mutta kun sitä lisätään yhdellä, se kasvaa. Kirjoita vastauksen oikealle puolelle, mitä löysit . Jos vaadittu tarkkuus saavutetaan, lopeta laskelmat. $a$ $300\times a^{2}\times x+30\times a\times x^{2}+x^{3}$ $x$ $x$
Kirjoita laskun tulos alaluvun alla olevaan kaavaan ja vähennä se. Siirry kohtaan 3. $300\times a^{2}\times x+30\times a\times x^{2}+x^{3}$

Katso myös

Kirjallisuus

Korn G. , Korn T. 1.3-3. Summan, tuotteen ja osamäärän esitys. Tutkinnot ja juuret // Matematiikan käsikirja. - 4. painos. - M .: Nauka, 1978. - S. 32-33.