Kähler tasauspyörästö

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 6. helmikuuta 2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Kähler-differentiaalit ovat differentiaalimuotojen sovitus mielivaltaisia kommutatiivisia renkaita tai kaavioita varten . Tämän konseptin esitteli Erich Köhler 1930-luvulla.

Määritelmä

Olkoon ja olla kommutatiivisia renkaita ja olla rengashomomorfismi . Tärkeä esimerkki on, milloin on kenttä ja on unitalgebra over (kuten affiinisen moniston koordinaattirengas ). Kähler-differentiaalit formalisoivat havainnon, että polynomin derivaatta on jälleen polynomi. Tässä mielessä erilaistumisen käsite voidaan ilmaista puhtaasti algebrallisesti. Tämä havainto voidaan kääntää differentiaalimoduulin määritelmäksi $R$ $S$ $\varphi :R\to S$ $R$ $S$ $R$

\Omega _{S/R}.

useilla vastaavilla tavoilla.

Määritelmä johdannaisten avulla

$R$ -algebran lineaarinen johtaminen on -moduulien homomorfismi -moduuliksi , joka sisältää kuvan ytimessä ja joka täyttää Leibnizin säännön . Kähler-differentiaalien moduuli määritellään -moduuliksi , jolle on olemassa universaali derivointi . Kuten muidenkin universaalien ominaisuuksien kohdalla, tämä tarkoittaa, että d on paras mahdollinen johdannainen siinä mielessä, että siitä voidaan saada mikä tahansa muu johtaminen -moduulin homomorfismin kanssa. Toisin sanoen koostumus d :llä indusoi mille tahansa -moduulille M moduulien isomorfismin $S$ $R$ $d\colon S\to M$ $S$ $M$ $R$ $d(fg)=f\,dg+g\,df$ $S$ ${\displaystyle \Omega _{S/R))$ ${\displaystyle d\colon S\to \Omega _{S/R))$ $S$ $S$ $S$

\operaattorinnimi {Hom} _{S}(\Omega _{S/R},M){\xrightarrow {\cong }}\operaattorinimi {Der} _{R}(S,M).

Ω S / R ja d konstruointi voidaan tehdä rakentamalla vapaa -moduuli, jossa on yksi generaattori ds kullekin ja faktorointi suhteilla $S$ $s$ $S$

dr = 0
d ( s + t ) = ds + dt ,
d ( st ) = s dt + t ds ,

kaikille alkaen ja kaikille ja alkaen . Universaali eriyttäminen tarkoittaa . Relaatioista seuraa, että universaali johdannainen on -moduulien homomorfismi . $r$ $R$ $s$ $t$ $S$ $s$ $ds$ $R$

Määritelmä lisäyksen ideaalin mukaan

Toinen konstruktio tehdään ottamalla huomioon tensoritulon ideaali , joka määritellään kertokartan ytimeksi . Tällöin Kähler-differentiaalien moduuli voidaan määritellä muodossa [1] Ω S / R = I / I 2 ja universaali derivaatio voidaan määritellä homomorfisiksi d , joka määritellään kaavalla $minä$ $S\otimes _{R}S$ ${\displaystyle S\otimes _{R}S\to S,\Sigma s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \Sigma s_{i}\cdot t_{i))$

ds=1\otimes ss\otimes 1.

Jos haluat nähdä, että tämä konstruktio vastaa edellistä, huomaa, että I on :n antaman projektion ydin . Siksi meillä on: $S\otimes _{R}S\to S\otimes _{R}R$ $\Sigma s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \Sigma s_{i}\cdot t_{i}\otimes 1$

S\otimes _{R}S\equiv I\oplus S\otimes _{R}R.

Sitten se voidaan tunnistaa I :n kanssa komplementaarisen projektion indusoiman kartoituksen avulla . Tämä identifioituu -moduulin kanssa , jonka muodostavat muodolliset generaattorit kohteelle , ja on -moduulien homomorfismi , joka vie minkä tahansa elementin nollaan. Faktorisointi määrää tarkasti Leibnizin säännön . $S\otimes _{R}S/S\otimes _{R}R$ $\Sigma s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \Sigma s_{i}\otimes t_{i}-\Sigma s_{i}\cdot t_{i}\otimes 1$ $minä$ $S$ $ds$ $s$ $S$ $d$ $R$ $R$ $minä^{2}$

Esimerkkejä ja perusominaisuuksia

Kaikille kommutatiivisille renkaille R polynomirenkaan Kähler-differentiaalit muodostavat muuttujien differentiaalien muodostaman vapaan S -moduulin, jonka arvo on n : $S=R[t_{1},\dots ,t_{n}]$

\Omega _{R[t_{1},\dots ,t_{n}]/R}^{1}=\bigoplus _{i=1}^{n}R[t_{1},\ pisteet t_{n}]\,dt_{i}.

Kähler-differentiaalit ovat yhdenmukaisia skalaarilaajennuksen kanssa siinä mielessä, että toiselle R -algebralle R ′ ja for on isomorfismi $S'=R'\otimes _{R}S$

\Omega _{S/R}\otimes _{S}S'\cong \Omega _{S'/R'}.

Erityisesti Kähler-differentiaalit ovat yhdenmukaisia lokalisaatioiden kanssa siinä mielessä, että jos W on S :n multiplikatiivinen osajoukko , on olemassa isomorfismi

W^{-1}\Omega _{S/R}\cong \Omega _{W^{-1}S/R}.

Kun annetaan kaksi homomorfismia , on olemassa lyhyt tarkka T - moduulien sarja $R\to S\to T$

\Omega _{S/R}\otimes _{S}T\to \Omega _{T/R}\to \Omega _{T/S}\to 0.

Jos jollekin ihanteelle I , termi katoaa ja sekvenssi jatkuu vasemmalle seuraavasti: $T=S/I$ $\Omega _{T/S}$

I/I^{2}{\xrightarrow {[f]\mapsto df\otimes 1}}\Omega _{S/R}\otimes _{S}T\to \Omega _{T/R} \to 0.

Kähler-differentiaalit kaavioille

Koska Kähler-differentiaalit ovat yhdenmukaisia lokalisoinnin kanssa, ne voidaan rakentaa yleisen kaavion pohjalle soveltamalla mitä tahansa yllä olevista määritelmistä affiineille ja liimaamalla ne yhteen. Toisella määritelmällä on kuitenkin geometrinen tulkinta, joka globalisoituu välittömästi. Tässä tulkinnassa I edustaa ihannetta, joka määrittelee diagonaalin kuitutuotteessa Spec( S ) itsensä kanssa Spec( S ) → Spec( R ) . Tämä konstruktio on geometrisempi siinä mielessä, että se heijastaa diagonaalin ensimmäisen äärettömän pienen alueen käsitettä siihen katoavien funktioiden avulla modulofunktiot, jotka katoavat toisessa järjestyksessä. Lisäksi tämä voidaan yleistää mielivaltaiseksi kaavamorfismiksi , joka määritellään kuitutuotteen diagonaalin ideaaliksi . Kotangenttirivi yhdessä edellisen tapaan määritellyn derivoinnin kanssa on universaali -moduulien -lineaaristen johdannaisten joukossa. Jos U on X :n avoin affiinialikaavio, jonka kuva Y :ssä sisältyy V :n avoimeen affiiniseen alikaavioon , niin kotangenttirivi rajoittuu U :n niveleen , joka on myös universaali. Siksi tämä on nippu, joka liittyy U :ta ja V :tä vastaavien renkaiden Kähler-differentiaalien moduuliin . $f\kaksoispiste X\Y:ksi$ $\mathcal{I}$ $X\times _{Y}X$ $\Omega _{X/Y}={\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}$ $d\colon {\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{X/Y}$ $f^{-1}{\mathcal {O}}_{Y}$ ${\mathcal {O}}_{X}$

Samoin kuin kommutatiivis-algebrallinen tapaus, kaavion morfismeihin liittyy tarkkoja sekvenssejä. Jos kaavioiden ja morfismit on annettu , niin on olemassa tarkka sarja lyijyjä $f:X\Y:ksi$ $g:Y\to Z$ $X$

f^{*}\Omega _{Y/Z}\to \Omega _{X/Z}\to \Omega _{X/Y}\to 0

Lisäksi, jos suljettu alikaavio antaa ihanteiden nippu , niin on olemassa tarkka lyhteen sarja $Z\subset X$ $\mathcal{I}$

{\frac {\mathcal {I}}({\mathcal {I}}^{2}}}\to \Omega _{X/Y}\otimes {\mathcal {O}}_{Z} \to \Omega _{Z/Y}\to 0

päällä $Z$

Muistiinpanot

↑ Hartshorne, 1981 , s. 225.

Kirjallisuus

Hartshorne R. Algebrallinen geometria / käänn. englannista. V. A. Iskovskikh. - M .: Mir, 1981.