Lemma Schura

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 3. joulukuuta 2019 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Schurin lemma on toteamus, joka on yksi tärkeimmistä ryhmäesitysteorian rakentamisessa .

Lausunto lemmasta

Ryhmän esityksen jonkin vektoriavaruuden automorfismeilla sanotaan olevan redusoitumaton, jos 0:n ja itsensä suhteen ei ole aliavaruuden invarianttia . $G$ $GL(V)$ $\sigma :G\to GL(V)$ $\sigma$ $V$

Schurin Lemma : Antaa olla lineaarinen kartoitus vektoriavaruuksista jonkin kentän yli siten, että on olemassa kaksi redusoitumatonta esitystä ja Sellainen, että kaikille . Sitten: $f$ $f:V_{1}\to V_{2}$ $K$ $\sigma :G\to GL(V_{1})$ $\tau :G\to GL(V_{2})$ ${\displaystyle \tau _{g}f=f\sigma _{g))$ $g$

1) Jos ei ole isomorfismi , niin se on nollakuvaus. $f$ $f$

2) Jos ovat äärellisulotteisia yli algebrallisesti suljetun kentän ja , Sitten on kertolasku jollakin kentän elementillä . $V_{1}=V_{2}$ $K$ $\sigma=\tau$ $f$ $f:x\ to \lambda x$

Todiste

Todistuksen perustana on seuraava yleinen lausunto, jota kutsutaan usein myös "Schur lemmaks":

Olkoon ja moduuleja , jotka ovat yksinkertaisia (eli niissä ei ole muita alimoduuleja kuin nolla ja itse). Silloin mikä tahansa homomorfismi on joko nolla tai isomorfismi . $E$ $F$ $f:E\oikeanuoli F$ $F$

Todellakin, koska ja ovat osamoduuleja, niin jos nollasta poikkeava homomorfismi, meillä on , ja , eli , isomorfismi koko moduuliin . ${\mathrm {Ker}}\,f$ ${\mathrm {Im}}\,f$ $f$ ${\mathrm {Ker}}\,f=0$ ${\mathrm {Im}}\,f=F$ $f$ $F$

Nyt määritellään ryhmärengas . Tämän renkaan elementit ovat lineaarisia yhdistelmiä . Kertolasku määräytyy edelleen lineaarisuuden perusteella. On selvää, että rengas. Avaruudessa määritetään alkion kertominen alkiolla : . Siten muutumme moduuliksi renkaan päällä . Moduulin aksioomien tarkistaminen on triviaalia, koska on esitys. samoin korvaaminen merkillä on moduuli over , ja yhtäläisyys on, että kartoitus on moduulien homomorfismi. Koska ja ovat redusoitumattomia, mikä tarkoittaa, että ja ovat yksinkertaisia moduuleina yli , Lemman ensimmäinen osa on todistettu. $K[G]$ $k_{1}g_{1}+k_{2}g_{2}+...+k_{n}g_{n}$ $(k_{1}g_{1})(k_{2}g_{2})=(k_{1}k_{2})(g_{1}g_{2})$ $K[G]$ $V_{1}$ $K[G]$ $x\in V_{1}$ $(k_{1}g_{1}+k_{2}g_{2}+...+k_{n}g_{n})x=k_{1}\sigma _{{g_{1}}}x +k_{2}\sigma _{{g_{2}}}x+...+k_{n}\sigma _{{g_{n}}}x$ $V_{1}$ $K[G]$ $\sigma$ $V_{2}$ $\sigma$ $\tau$ $K[G]$ $\tau _{g}f=f\sigma _{g}$ $f$ $\sigma$ $\tau$ $V_{1}$ $V_{2}$ $K[G]$

Toisen osan todistamiseksi käytämme hyvin tunnettua lineaarisen algebran lausetta ominaisvektorin olemassaolosta äärellisulotteiselle avaruudelle algebrallisesti suljetun kentän yli, joka vastaa ominaisarvoa , . Jokaiselle elementille meillä on , ja ominaisvektorille , on siis lemman ensimmäisen osan mukaan nollahomomorfismi, ja siksi se on kertolasku jollakin . $x\neq 0$ $\lambda$ $f(x)=\lambda x$ $g\in G$ $\sigma _{g}(f-\lambda \operaattorinimi {id})=(f-\lambda \operaattorinimi {id})\sigma _{g}$ $(f-\lambda \operaattorinimi {id} )(x)=0,$ $f-\lambda \operaattorinimi {id}$ $f$ $\lambda$

Kirjallisuus

Kostrikin A.I. Johdatus algebraan. Osa III. Perusrakenteet. - 3. painos - M . : FIZMATLIT, 2004.
Leng S. Algebra. - M .: Mir, 1967.
Serre J.-P. Lineaariset esitykset äärellisistä ryhmistä. - M .: Mir, 1969.