Lemma sisäkkäisissä segmenteissä

Sisäkkäisten segmenttien lemma eli Cauchy-Cantorin sisäkkäisten segmenttien periaate [1] tai Cantorin jatkuvuusperiaate [2] on matemaattisen analyysin peruslauseke, joka liittyy reaalilukukentän täydellisyyteen .

Sanamuoto

Kaikille sisäkkäisten segmenttien järjestelmille

[a_{1},b_{1}]\supset [a_{2},b_{2}]\supset \ldots \supset [a_{n},b_{n}]\supset \ldots

on vähintään yksi piste , joka kuuluu tietyn järjestelmän kaikkiin segmentteihin. $c$

Jos lisäksi järjestelmän segmenttien pituus pyrkii nollaan:

\lim _{{n\to \infty }}(b_{n}-a_{n})=0

silloin on annettu järjestelmän kaikkien segmenttien ainoa yhteinen piste. $c$

Huomautus

Lauseen muotoilussa olevia segmenttejä ei voida korvata avoimilla intervalleilla. Esimerkiksi,

\bigcap \limits _{n=1}^{\infty }\left(0,{\frac {1}{n))\right)=\varnothing

Todiste

1) Yhteisen pisteen olemassaolo. Segmenttien vasen päiden joukko on todellisella viivalla, joka on segmenttien oikeiden päiden joukon vasemmalla puolella , koska $\{a_{n}\}$ $\{b_{m}\}$

\forall n,m\;a_{n}\leqslant b_{m}

Jatkuvuuden aksiooman perusteella nämä kaksi joukkoa erottaa piste , ts. $c$

\forall n,m\;a_{n}\leqslant c\leqslant b_{m}

erityisesti

\forall n\;a_{n}\leqslant c\leqslant b_{n}

Viimeinen epäyhtälö tarkoittaa, että se on yhteinen piste annetun järjestelmän kaikille segmenteille. $c$

2) Yhteisen pisteen ainutlaatuisuus. Olkoon järjestelmän segmenttien pituus nolla. Osoitetaan, että on vain yksi piste, joka kuuluu järjestelmän kaikkiin segmentteihin. Oletetaan päinvastoin: olkoon kaksi erilaista pistettä ja , jotka kuuluvat järjestelmän kaikkiin segmentteihin: $c$ $c'$

\forall n\;\;c,c'\in [a_{n},b_{n}],\quad c\neq c'

Sitten seuraavat epäyhtälöt pätevät kaikille luvuille: $n$

|cc'|\leqslant b_{n}-a_{n}

Ehdolla, että segmenttien pituudet pyrkivät olemaan nolla kaikilla luvuilla , alkaen tietystä luvusta, epäyhtälö $\varepsilon > 0$ $n$

b_{n}-a_{n}<\varepsilon

Kun otetaan huomioon tämä epätasa-arvo , saamme $\varepsilon ={\frac {1}{2}}|cc'|>0$

|cc'|<{\frac {1}{2}}|cc'|

Ristiriita. Lemma on täysin todistettu.

Sisäkkäinen intervallilemma ja reaalilukukentän täydellisyys (jatkuvuus)

Sisäkkäinen intervallilemma liittyy läheisesti reaalilukukentän jatkuvuuteen (täydellisyyteen) . Siten yllä oleva lemman todiste perustui olennaisesti jatkuvuuden aksioomiin . Voidaan osoittaa, että jos järjestetty kenttä ei ole jatkuva, sisäkkäisten segmenttien periaate ei välttämättä päde. Jos esimerkiksi otetaan rationaalisten lukujen kenttä , joka ei ole jatkuva, ja otetaan huomioon sisäkkäisten segmenttien sarja

[1;2],[1{,}4;1{,}5],[1{,}41;1{,}42],[1{,}414;1{,}415],\ldots

joiden päät ovat irrationaalisen luvun desimaalisia likiarvoja, joissa on puute ja vastaavasti ylijäämä, tarkkuudella , käy ilmi, että tällä sisäkkäisten segmenttien järjestelmällä ei ole yhteistä pistettä. ${\sqrt {2}}$ $1/10^{n},\;n=0,1,2,\lpistettä$

Lisäksi voidaan osoittaa, että sisäkkäinen intervalliperiaate on yksi vastaavista kentän jatkuvuuden formulaatioista (ja siksi sitä kutsutaan Cantorin jatkuvuusperiaatteeksi ). Tarkemmin sanottuna seuraava ehdotus pätee [2] . Jokaisessa järjestetyssä Arkhimedeen kentässä sisäkkäisten segmenttien periaate merkitsee tämän kentän jatkuvuutta.

Muistiinpanot

↑ Zorich V. A. Matemaattinen analyysi. Osa I. - Toim. 4th, rev. - M . : "MTsNMO", 2002. - S. 81.
↑ 1 2 Kudrjavtsev L. D. Matemaattisen analyysin kurssi. - 5. painos - M . : "Drofa", 2003. - T. 1. - S. 84.

Kirjallisuus

Kamynin L. I. Matemaattinen analyysi. T. 1, 2. - 2001.
Kudrjavtsev L. D. Matemaattisen analyysin kurssi. - 5. painos - M . : "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 s. - ISBN 5-7107-4119-1 .