Lineaarinen dynaaminen järjestelmä

Lineaariset dynaamiset järjestelmät ovat dynaamisia järjestelmiä, joiden ajallinen kehitys kuvataan lineaarisella differentiaaliyhtälöllä (järjestelmille, joissa on diskreetti aika, lineaarinen eroyhtälö). Vaikka dynaamisilla järjestelmillä ei yleensä ole suljetun muodon ratkaisua, lineaariset dynaamiset järjestelmät voidaan ratkaista tarkasti ja niillä on suuri joukko matemaattisia ominaisuuksia. Lineaarisia järjestelmiä voidaan käyttää myös yleisten dynaamisten järjestelmien käyttäytymisen ymmärtämiseen laskemalla järjestelmän tasapainopisteet ja approksimoimalla se lineaarisena järjestelmänä jokaisen sellaisen pisteen ympärillä.

Johdanto

Lineaarisessa dynaamisessa järjestelmässä tilavektorin muutos ( -ulotteinen vektori merkitty ) vastaa vakiomatriisia (merkitty ) kerrottuna . Nämä muutokset voivat olla kahdessa muodossa: $N$ $\mathbf {x}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {x}$

tai virtana , joka muuttuu jatkuvasti ajan myötä: $\mathbf {x}$

{\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=\mathbf {A} \cdot \mathbf {x} (t)

tai kartoitus, jossa vaihtelee diskreetti : $\mathbf {x}$

{\displaystyle \mathbf {x} _{m+1}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {x} _{m))

Nämä yhtälöt ovat lineaarisia seuraavassa mielessä: jos ja ovat kaksi todellista ratkaisua, niin millä tahansa lineaarisella yhdistelmällä on kaksi ratkaisua, esimerkiksi missä ja ovat mitkä tahansa kaksi skalaaria . Matriisin ei tarvitse olla symmetrinen. $\mathbf {x} (t)$ $\mathbf {y} (t)$ $\mathbf {z} (t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \alpha \mathbf {x} (t)+\beta \mathbf {y} (t)$ $\alpha$ $\beeta$ $\mathbf {A}$

Lineaariset dynaamiset järjestelmät voidaan ratkaista tarkasti, toisin kuin useimmat epälineaariset järjestelmät. Joskus epälineaarinen järjestelmä voidaan ratkaista täsmälleen muuttamalla lineaarisen järjestelmän muuttujia. Lisäksi lähes mihin tahansa epälineaariseen järjestelmään voidaan löytää ratkaisuja likimäärin vastaavasti kuin lineaarinen järjestelmä lähellä sen kiinteitä pisteitä. Siksi lineaaristen järjestelmien ymmärtäminen ja niiden ratkaiseminen on kriittinen askel kohti monimutkaisempien epälineaaristen järjestelmien ymmärtämistä.

Lineaaristen dynaamisten järjestelmien ratkaisut

Jos alkuperäinen vektori on kohdistettu matriisin ominaisvektorin kanssa , dynamiikka on yksinkertainen $\mathbf {x} _{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {x} (t=0)$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{k))$ $\mathbf {A}$

{\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=\mathbf {A} \cdot \mathbf {r} _{k}=\lambda _{k}\mathbf {r} _{k}

missä on vastaava ominaisarvo ; ratkaisu tähän yhtälöön $\lambda _{{k}}$

{\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {r} _{k}e^{\lambda _{k}t))

kuten korvaamalla voidaan vahvistaa.

Jos on diagonalisoitavissa , niin mikä tahansa vektori -ulotteisessa avaruudessa voidaan esittää oikean ja vasemman ominaisvektorin yhdistelmällä (merkitty ) matriisista . $\mathbf {A}$ $N$ ${\displaystyle \mathbf {l} _{k))$ $\mathbf {A}$

\mathbf {x} _{0}=\sum _{k=1}^{N}\left(\mathbf {l} _{k}\cdot \mathbf {x} _{0}\right )\mathbf {r} _{k}

Yleinen ratkaisu yksittäisten ratkaisujen lineaariselle yhdistelmälle oikeille ominaisvektoreille on siis $\mathbf {x} (t)$

{\displaystyle \mathbf {x} (t)=\sum _{k=1}^{n}\left(\mathbf {l} _{k}\cdot \mathbf {x} _{0}\oikea) \mathbf {r} _{k}e^{\lambda _{k}t))

Samat näkökohdat koskevat myös diskreettejä kartoituksia.

Luokittelu kahdessa ulottuvuudessa

Matriisin ominaispolynomin ( A -λ I ) juuret ovat A :n ominaisarvot . Näiden juurien etumerkkiä ja yhteyttä toisiinsa voidaan käyttää dynaamisen järjestelmän stabiilisuuden määrittämiseen $\lambda_n$

{\frac {d}{dt))\mathbf {x} (t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t).

Kaksiulotteisissa järjestelmissä ominaispolynomi on , jossa matriisin jälki on determinantti, joka määrittää A :n. Joten kaksi juurta ovat: $\lambda ^{2}-\tau \lambda +\Delta =0$ $\tau$ $\Delta$

\lambda _{1}={\frac {\tau +{\sqrt {\tau ^{2}-4\Delta }}}{2}}

\lambda _{2}={\frac {\tau -{\sqrt {\tau ^{2}-4\Delta }}}{2}}

Huomaa myös, että ja . Jos siis ominaisarvot ovat vastakkaisia ja kiinteä piste on satulapiste . Jos sitten ominaisarvoilla on sama merkki. Siksi, jos molemmat ovat positiivisia ja piste on epävakaa, ja jos molemmat ovat negatiivisia ja piste on stabiili. Diskriminantti kertoo, onko piste solmussa vai spiraalissa (eli ovatko ominaisarvot todellisia vai kompleksisia). ${\displaystyle \Delta =\lambda _{1}\lambda _{2))$ ${\displaystyle \tau =\lambda _{1}+\lambda _{2))$ $\Delta <0$ $\Delta >0$ $\tau >0$ $\tau <0$

Lineaarinen dynaaminen järjestelmä

Johdanto

Lineaaristen dynaamisten järjestelmien ratkaisut

Luokittelu kahdessa ulottuvuudessa

Katso myös

Muistiinpanot