Vaihtomatriisi

Siirtymämatriisi (myös siirtomatriisi ) on binäärimatriisi, jossa ykköset vain pääsuperdiagonaalissa tai subdiagonaalissa ja nollia muualla. Siirtomatriisia U , jonka yksiköt ovat superdiagonaalissa , kutsutaan ylemmäksi siirtomatriiksi . Vastaavaa subdiagonaalista matriisia L kutsutaan alemman siirtymän matriisiksi . Matriisien U ja L komponenteilla indekseillä ( i , j ) on muoto

U_{ij}=\delta _{i+1,j},\quad L_{ij}=\delta _{i,j+1},

missä on Kronecker-deltasymboli . $\delta _{{ij}}$

Esimerkiksi siirto 5×5 matriisi

U_{5}={\alku \\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}}.

Ilmeisesti alemman siirtymän matriisin transponointi johtaa ylemmän siirtymän matriisiin ja päinvastoin. Kertominen mielivaltaisen matriisin A vasemmalta puolelta pienemmän siirtymän matriisilla johtaa matriisin A elementtien siirtymiseen alaspäin yhden paikan verran, ja tuloksena olevan matriisin ylärivi täytetään nolilla. Mielivaltaisen matriisin A kertominen oikealle pienemmän siirtoarvon matriisilla johtaa siirtymiseen vasemmalle yhdellä sijainnilla, jolloin oikea sarake täyttyy nolilla. Samanlaiset toiminnot, joihin liittyy ylemmän siirtomatriisi, johtavat vastakkaisiin siirtymiin.

Kaikki siirtomatriisit ovat nilpotentteja : siirto n×n matriisi S tehoon, joka on yhtä suuri kuin sen mitta n , on yhtä suuri kuin nollamatriisi .

Ominaisuudet

Olkoot L ja U n × n siirtomatriisia, alempi ja ylempi, vastaavasti. Seuraavat ominaisuudet pätevät sekä matriiseille U että L (joten luettelemme ne vain U :lle ):

Determinantti det( U ) = 0 ( degeneraatio );
Jäljitys tr( U ) = 0;
Sijoitusarvo ( U ) = n − 1
Matriisin U ominaispolynomilla on muoto:

p_{U}(\lambda )=(-1)^{n}\lambda ^{n}.

U n = 0 (nilpotenssi). Tämä ominaisuus seuraa edellisestä Hamilton-Cayleyn lauseesta .

Pysyvä per( U ) = 0.

Seuraavat ominaisuudet osoittavat, kuinka U- ja L -matriisit liittyvät toisiinsa:

L T \ u003d U ; U T = L. _

Matriisien U ja L ytimet :

\operaattorinnimi {ker} (U)=\operaattorin nimi {span} \{(1,0,\ldots ,0)^{T}\},

\operaattorinnimi {ker} (L)=\operaattorin nimi {span} \{(0,\ldots ,0,1)^{T}\}.

Matriisien U ja L spektri on nolla (eli niillä on yksi ominaisarvo ja se on nolla): . Tämän nollan algebrallinen monikertaisuus on n ja sen geometrinen monikertaisuus on 1. Ytimen lausekkeista seuraa, että matriisin U ainoalla (skaalaukseen asti) ominaisvektorilla on muoto ja matriisin L ainoalla ominaisvektorilla on muodossa $\{0\}$ $(1,0,\ldots ,0)^{T},$ $(0,\ldots ,0,1)^{T}.$

Tuotteille LU ja UL meillä on:

UL=I-\operaattorinimi {diag} (0,\ldots ,0,1),

LU=I-\operaattorinimi {diag} (1,0,\ldots ,0).

Molemmat matriisit ovat idempotentteja , symmetrisiä ja niillä on sama arvo kuin U ja L.

L n − a U n − a + L a U a = U n − a L n − a + U a L a = I ( identiteettimatriisi ), mille tahansa kokonaisluvulle a välillä 0 - n .

Esimerkkejä

S={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix));\quad A=&{\begin{pmatrix\\\\\\3&1&1&1&1&2&1&1&1&1 1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}.

Sitten: $SA={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\end{pmatrix));\quad AS=&&{\begin{pmatrix\\\&1&2&1&1&1&1&2&1&1 2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\end{pmatrix}}.$

On selvää, että on olemassa monia erilaisia permutaatioita. Esimerkiksi matriisi vastaa matriisin A siirtymää ylös ja vasemmalle päädiagonaalia pitkin. $S^{T}AS$

S^{T}AS={\begin{pmatrix}2&2&2&1&0\\2&3&2&1&0\\2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix)).

Katso myös

Nilpotentti matriisi

Linkit

Shift Matrix — kohta Matrix Reference Manual