Stationaarivaihemenetelmä

Stationaarifaasimenetelmä on menetelmä, jota käytetään muodon integraalien approksimointiin . $\int \limits _{a}^{b}e^{i\lambda \phi (x)}\Phi (x)\,dx$

Perusteet

Kiinteän vaiheen menetelmän pääideana on vähentää sinusoideja nopeasti muuttuvilla vaiheilla. Jos monilla sinusoideilla on samat vaiheet, ne summautuvat yhteen vahvistaen toisiaan. Kuitenkin, jos näissä samoissa sinusoideissa on vaiheita, jotka muuttuvat nopeasti taajuuden mukaan, ne summautuvat joko vahvistaen tai heikentäen toisiaan.

Esimerkki

Harkitse toimintoa

f(x,t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }F(\omega )e^{i{\big (}k(\omega) )x-\omega t{\big )}}\,d\omega .

Vaihetermi tässä funktiossa on "stationary" kun $\phi =k(\omega )x-\omega t$

{\frac {d}{d\omega }}{\big (}k\left(\omega \right)x-\omega t{\big )}\noin 0

tai vastaavasti

{\frac {d\omega }{dk))\noin {\frac {x}{t)).

Tämän yhtälön juuri antaa hallitsevan taajuuden tietyille ja . Jos laajennetaan φ Taylor-sarjassa lähellä ja laiminlyödään korkeamman asteen ehdot suhteessa , Sitten $\omega _{\text{dom}}(x,t)$ $x$ $t$ $\omega _{\text{dom}}$ ${\displaystyle (\omega -\omega _{\text{dom)))^{2))$

\phi \sim k(\omega _{\text{dom)))x-\omega _{\text{dom}}t+{\frac {x}{2}}{\frac {d^{ 2}k}{d\omega ^{2}}}(\omega -\omega _{\text{dom}})^{2}.

Kun x on suuri, pienikin ero aiheuttaa nopeita värähtelyjä integrandissa, mikä johtaa supistumiseen. Siten voimme laajentaa integraatiorajoja Taylorin laajennusrajan ulkopuolelle. Negatiivisten taajuuksien huomioon ottamiseksi reaaliosa on kaksinkertaistettava: $\omega -\omega _{\text{dom}}$

f(x,t)={\frac {1}{2\pi }}2\operaattorinimi {Re} \left\{\exp {\big (}i[k(\omega _{\text{ dom)))x-\omega _{\text{dom}}t]{\big )}|F(\omega _{\text{dom}})|\int _{\mathbb {R} }\exp \left(i{\frac {x}{2}}{\frac {d^{2}k}{d\omega ^{2}}}(\omega -\omega _{\teksti{dom}}) ^{2}\right)\,d\omega \right\}.

Integroinnin jälkeen meillä on

f(x,t)\sim {\frac {|F(\omega _{\text{dom)))|}{\pi }}{\sqrt {\frac {2\pi }{x\ vasen|{\frac {d^{2}k}{d\omega ^{2}}}\right|}}}\cos \left(k(\omega _{\text{dom}})x-\ omega _{\text{dom}}t\pm {\frac {\pi }{4}}\right).

Kirjat

Fedoryuk M. V. Läpäisymenetelmä . - 1977. - S. 366.
A. I. Prilepko, D. F. Kalinichenko. Asymptoottiset menetelmät ja erikoisfunktiot. - M .: MEPhI, 1980. - S. 107.
A. G. Svešnikov, A. N. Tikhonov. Kompleksisen muuttujan funktioteoria. - 5. painos - M . : Nauka, Fizmatlit, 1999. - S. 319. - ISBN 5-02-015233-1 .

Stationaarivaihemenetelmä

Perusteet

Esimerkki

Kirjat

Katso myös