Tyypillinen menetelmä

Ominaisuusmenetelmä on menetelmä osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi . Sitä käytetään yleensä ensimmäisen kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisuun, mutta sitä voidaan soveltaa myös korkeamman kertaluvun hyperbolisten yhtälöiden ratkaisuun.

Periaate

Menetelmä koostuu osittaisen differentiaaliyhtälön pelkistämisestä tavallisten differentiaaliyhtälöiden perheeksi .

Tämä edellyttää käyrien (jota kutsutaan karakteristikuiksi ) löytämistä, joita pitkin osittaisdifferentiaaliyhtälö muuttuu tavalliseksi differentiaaliyhtälöksi. Heti kun tavalliset differentiaaliyhtälöt on löydetty, ne voidaan ratkaista ominaisuuksien mukaan ja löydetty ratkaisu voidaan muuttaa alkuperäisen osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisuksi.

Esimerkkejä

Kvasilineaarinen yhtälö tasossa

Tarkastellaan seuraavaa kvasilineaarista yhtälöä tuntemattoman funktion suhteen $u(x,y)$

a(x,y,u)\cdot u_{x}+b(x,y,u)\cdot u_{y}=c(x,y,u).

Harkitse pintaa . Normaali tälle pinnalle on annettu $z=u(x,y)$ $\mathbb {R} ^{3}$

(u_{x}(x,y),u_{y}(x,y),-1).

Tuloksena saadaan, että yhtälö vastaa geometristä lausetta, että vektorikenttä

{\näyttötyyli (a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z))}

tangentti pintaa joka pisteessä. $z=u(x,y)$

Tässä tapauksessa ominaisyhtälöt voidaan kirjoittaa muodossa [1] :

{\frac {dx}{a(x,y,z)}}={\frac {dy}{b(x,y,z)}}={\frac {dz}{c(x,y,z) )}},

tai jos x ( t ), y ( t ), z ( t ) ovat parametrin t funktioita :

{\begin{array}{rcl}{\frac {dx}{dt}}&=&a(x,y,z)\\{\frac {dy}{dt}}&=&b(x,y,z )\\{\frac {dz}{dt}}&=&c(x,y,z).\end{array}}

Toisin sanoen pinta muodostuu kuvattujen käyrien yhden parametrin perheestä. Sellaisen pinnan määrittelee täysin yksittäinen käyrä, joka on poikittainen siinä olevan vektorikentän suhteen . $z=u(x,y)$ $(a,b,c)$

Kuljetusyhtälö

Tarkastellaan yllä olevan yhtälön erikoistapausta, niin kutsuttua kuljetusyhtälöä (se syntyy, kun ratkaistaan kaasun vapaan laajenemisen ongelma):

a\cdot u_{x}+u_{t}=0

jossa on vakio ja on muuttujien ja funktio . $a$ $u$ $x$ $t$

Haluamme pelkistää tämän ensimmäisen asteen osittaisdifferentiaaliyhtälön tavalliseksi differentiaaliyhtälöksi vastaavaa käyrää pitkin, eli saada muotoisen yhtälön

{\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))=F(u,x(s),t(s))

missä on ominaisuus. ${\näyttötyyli (x(t),t(t))}$

Ensin asetimme

{\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {dx}{ds}}+{\ frac {\partial u}{\partial t}}{\frac {dt}{ds}}

Nyt, jos laitamme ja , saamme ${\frac {dx}{ds}}=a$ ${\frac {dt}{ds}}=1$

a{\frac {\partial u}{\partial x))+{\frac {\partial u}{\partial t))

, joka on kuljetusyhtälön vasen puoli, josta aloitimme. Tällä tavalla,

{\frac {d}{ds}}u=a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}=0.

Kuten näet, alkuperäinen yhtälö muuttuu ODE :ksi ominaisuutta pitkin , mikä tarkoittaa, että ratkaisu on vakio ominaisuuksien mukaan. Siten , Jos pisteet ja sijaitsevat samassa ominaisuudessa. Voidaan nähdä, että yleisen ratkaisun löytämiseksi riittää löytää yhtälön ominaisuudet ratkaisemalla seuraava ODE-järjestelmä: ${\näyttötyyli (x(t),t(t))}$ $u_{s}=F(u,x(s),t(s))=0$ $u(x_{s},t_{s})=u(x_{0},0)$ ${\näyttötyyli (x_{s},t_{s})}$ ${\näyttötyyli (x_{0},0)}$

${\frac {dt}{ds}}=1$ , kun ratkaisu on $t(0)=0$ ${\näyttötyyli t=s}$
${\frac {dx}{ds}}=a$ , kun ratkaisu on $x(0)=x_{0}$ ${\displaystyle x=as+x_{0}=at+x_{0))$
${\frac {du}{ds}}=0$ , kun ratkaisu on . $u(0)=f(x_{0})$ $u(x(t),t)=f(x_{0})=f(x-at)$

Meidän tapauksessamme ominaisuudet ovat riviperhe, joiden kaltevuus on , ja ratkaisu pysyy vakiona jokaisella ominaisuudella. $a$ $u$

Lausunto Cauchyn ongelmasta

Tietyn ratkaisun valitsemiseksi yleisestä ratkaisusta on tarpeen esittää Cauchyn ongelma, kuten tavallisten differentiaaliyhtälöiden tapauksessa. Alkuehto on annettu alkuperäisellä hyperpinnalla S:

$u|_{S}=f(x)$

Yleisessä tapauksessa on lähes mahdotonta muotoilla ehtoa Cauchyn ongelman globaalille ratkaistavuudelle, mutta jos rajoitamme paikallisen ratkaistavuuden ehtoon, voimme käyttää seuraavaa lausetta:

Cauchyn ongelman ratkaisu pisteen läheisyydessä on olemassa ja on ainutlaatuinen, jos läpi kulkeva ominaisuus on poikittainen pintaan S nähden [2] $x_{0}\in S$ ${\näyttötyyli x_{0))$

Muistiinpanot

↑ Delgado, 1997
↑ E. A. Kuznetsov, D. A. Shapiro MATEMAATISEN FYSIIKAN MENETELMÄT. Osa I - PDF ilmainen lataus . docplayer.ru Haettu: 19.1.2020. (määrätön)

Kirjallisuus

Courant, Richard & Hilbert, David (1962), Methods of Mathematical Physics, Volume II , Wiley-Interscience
Delgado, Manuel (1997), The Lagrange-Charpit Method , SIAM Review osa 39 (2): 298-304 , DOI 10.1137/S0036144595293534
Evans, Lawrence C. (1998), Partial Differential Equations , Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2
John, Fritz (1991), Partial differential Equations (4. painos), Springer, ISBN 978-0-387-90609-6
polyaniini, AD; Zaitsev, VF & Moussiaux, A. (2002), Handbook of First Order Partial Differential Equations , Lontoo: Taylor & Francis, ISBN 0-415-27267-X
Polyanin, AD (2002), Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists , Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-299-9
Sarra, Scott (2003), The Method of Characteristics with Applications to Conservation Laws, Journal of Online Mathematics and its Applications .
Streeter, VL & Wylie, EB (1998), Fluidmechanics (International 9th Revised ed.), McGraw-Hill Higher Education