Kravchukin polynomit

Kravchukin polynomit
yleistä tietoa
Kaava	${\mathcal {K}}_{n}^{(p)}(x)=(-1)^{n}{\binom {N}{n}}p^{n}{}_ {2}F_{1}(-n,-x;-N;1/p)$
Skalaarituote	$(f,g)=\sum \limits _{x=0}^{N}f(x)g(x)\sigma (x)$ .
Verkkotunnus	$x\in {1,2,...N}$
lisäominaisuuksia
Nimetty	Kravchuk, Mihail Filippovich

Kravchukin polynomit ( M. F. Kravchuk , 1929 ) ovat klassisia ortogonaalisia polynomeja diskreetistä muuttujasta yhtenäisellä ruudukolla, joille ortogonaalisuusrelaatio ei ole integraali , vaan sarja tai äärellinen summa: . $\sum \limits _{x=0}^{N}k_{n}^{(p)}(x)k_{m}^{(p)}(x)\sigma (x)=d_ {n}^{2},\delta _{m,n}$

Tässä on painofunktio, on neliönormi, . Kohteessa , painofunktio pienenee vakiokertoimeen asti binomikertoimeksi . $\sigma (x)={\binom {N}{x}}p^{x}q^{Nx}$ ${\displaystyle d_{n}={\sqrt {{\binom {N}{n}}(pq)^{n))))$ $0<p<1,\quad 0<q<1,\quad p+q=1$ $p=q=1\left/2\right.$ $1\left/2^{N}\right.$

Näiden polynomien toistuvuusrelaatiolla on muoto . ${\näyttötyyli (n+1)k_{n+1}^{(p)}(x)+pq\left(N-n+1\right)k_{n-1}^{(p)}(x )={\bigl [}x+n(pq)-pN{\bigr ]}k_{n}^{(p)}(x)}$

Yksinkertaisilla muunnoksilla se voidaan pelkistää muotoon

$f_{n+1}{\frac {k_{n+1}^{(p)}(x)}{d_{n+1}}}+f_{n}{\frac {k_{n -1}^{(p)}(x)}{d_{n-1}}}=\left(rx+\varepsilon n+\Delta \right){\frac {k_{n}^{(p)}( x)}{d_{n}}}$ ,

missä

$f_{n}={\sqrt {\frac {n(N+1-n)}{N))},\quad r={\frac {1}{\sqrt {pqN))},\ quad \varepsilon =r(pq),\quad \Delta =-rpN.$

Kravchukin polynomit voidaan ilmaista Gaussin hypergeometrisen funktion avulla :

$k_{n}^{(p)}(x)=(-1)^{n}{\binom {N}{n}}p^{n}{}_{2}F_{1} (-n, -x; -N; 1/p)$

Rajassa , Kravchukin polynomit siirtyvät Hermite-polynomeihin : $N\to \infty$

$\lim \limits _{N\to \infty }\left(2/Npq\right)^{n/2}n!;k_{n}^{(p)}\left(Np+{\sqrt {2Npq}},x\oikea)=H_{n}(x)$

Ensimmäiset neljä polynomia yksinkertaisimmassa tapauksessa ovat: $p=q=1/2$

${\mathcal {K}}_{0}(x,N)=1$
${\mathcal {K}}_{1}(x,N)=-2x+N$
${\mathcal {K}}_{2}(x,N)=2x^{2}-2Nx+{N \choose 2}$
${\mathcal {K}}_{3}(x,N)=-{\frac {4}{3}}x^{3}+2Nx^{2}-\left(N^{2 }-N+{\frac {2}{3}}\right)x+{N \choose 3}$

Kirjallisuus

Sur une generalization des polynomes d'Hermite . M. Krawtchouk. CRAcad. sci. 1929. T.189, nro 17. P.620 - 622 - artikkeli, jossa Kravchukin polynomit esiteltiin ensimmäistä kertaa; ranskankielinen alkuperäinen ja käännökset englanniksi ja venäjäksi ovat saatavilla linkistä.
A. F. Nikiforov, S. K. Suslov, V. B. Uvarov. Diskreetin muuttujan klassiset ortogonaaliset polynomit. Moskova, "Nauka", 1985.
Krawtchoukin polynomien kotisivu on Krawtchoukin polynomeille omistettu sivusto, joka sisältää erityisesti laajan bibliografian.

Katso myös

Ortogonaaliset polynomit
Besselin polynomit Gegenbauerin polynomit Kravchukin polynomit Laguerren polynomit Legendre-polynomit Polachek-polynomit Rogersin polynomit Zerniken polynomit Chebyshev-polynomit Charlier-polynomit Eremiittipolynomit Jacobin polynomit