Danzer setti

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 29. tammikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 9 muokkausta . Ratkaisemattomat matematiikan ongelmat : Onko olemassa Danzer-joukkoa, jolla on rajoitettu tiheys tai rajallinen erotusaste?

Danzer-joukko on pisteiden joukko, joka koskettaa mitä tahansa yksikkötilavuuden kuperaa kappaletta . Ludwig Danzer kysyi, onko tällainen rajattu tiheys mahdollinen [1] [2] . Jotkut ongelman variantit ovat edelleen ratkaisematta.

Tiheys

Yksi tapa muotoilla ongelma muodollisemmin on tarkastella joukon kasvunopeutta ulotteisessa euklidisessa avaruudessa , joka määritellään funktiona, joka kartoittaa reaaliluvut pisteisiin , jotka ovat etäisyyden päässä origosta . Danzerin kysymys on, voiko Danzer-joukolla olla kasvunopeus , täysin erillään olevien pistejoukkojen kasvunopeus, joka on samanlainen kuin kokonaislukuhila (joka ei ole Danzer-joukko) [2] . $S$ $d$ $r$ $S$ $r$ $O(r^{d})$

On mahdollista rakentaa Danzer-joukko, jonka kasvunopeus on puolilogaristisen kertoimen sisällä . Esimerkiksi asettamalla suorakaiteen muotoisia ruudukoita, joiden solujen tilavuus on vakio, mutta mittasuhteet ovat erilaiset , voidaan saavuttaa kasvunopeus [3] . Danzer-sarjojen rakenteet tunnetaan hieman pienemmällä kasvuvauhdilla , mutta vastausta Danzerin kysymykseen ei tiedetä [4] . $O(r^{d})$ $O(n^{d}\log ^{d-1}n)$ $O(r^{d}\log r)$

Rajoitettu kattavuus

Toinen ongelman versio, jonka on ehdottanut Timothy Gowers , kysyy, onko olemassa Danzer-joukkoa , jolle on rajallinen raja leikkauspisteiden lukumäärälle ja mille tahansa tilavuusyksikön kuperalle kappaleelle [5] . Tämä variantti ratkaistu - tällainen Danzer-sarja on mahdoton [6] . $S$ $C$ $S$

Ero

Kolmas versio ongelmasta, joka on edelleen ratkaisematta, on Conwayn kuolleen kärpäsen ongelma . Conway, John Horton muisteli, että hän nukkui lapsena huoneessa, jossa oli tapetti, joka näytti kuolleilta kärpäsjoukolta, ja hän yritti löytää pullistuvan alueen, jossa ei ollut kärpäsiä [7] . Conwayn muotoilussa kysymys on siitä, onko olemassa Danzer-joukkoa, jossa joukon pisteet (kuollut kärpäset) on erotettu toisistaan rajoitetun etäisyyden päässä. Tällaisella joukolla on myös välttämättä yläraja etäisyyksille koneen kustakin pisteestä kuolleeseen kärpäseen (koskettaakseen kaikkia yksikköalueen ympyrän pisteitä), joten sen on muodostettava Delaunay -joukko, joukko, jolla on sekä nollasta poikkeava alaraja että äärellinen pisteiden välinen etäisyysraja. Tällä sarjalla on välttämättä kasvunopeus , joten jos se on olemassa, sen on ratkaistava myös Danzer-ongelman alkuperäinen versio. Conway tarjosi 1000 dollarin palkinnon ongelman [8] ratkaisemisesta osana tehtäväsarjaa, joka sisältää myös Conwayn 99-vertex-grafiikkaongelman , kolikkopelianalyysin ja trackle -oletuksen [8] . $O(r^{d})$

Lisäominaisuudet

Danzer-joukkoina toimivien pistejoukkojen luokkia voidaan rajoittaa myös muilla tavoilla. Erityisesti ne eivät voi olla äärellisen hilajoukon liitto [3] , niitä ei voida muodostaa poimimalla piste jokaisesta korvausruudusta (samassa paikassa jokaiselle samantyyppiselle laatalle ), eikä niitä voida luoda leikkaamalla -ja-projekti rakentaminen aperiodisia mosaiikit . Siksi "Pinwheel"-laatoituksen ja Penrose-laatoituksen kärjet eivät ole Danzer-joukkoja [4] .

Katso myös

Heilbronnin ongelma kolmioissa pisteiden joukossa, joilla ei ole pientä pinta-alaa.
Minkowskin lause , jonka mukaan mikä tahansa suljettu kupera kappale, jonka tilavuusyksikkö on symmetriakeskus, sisältää nollasta poikkeavan määrän puolikokonaislukuhilan pisteitä.

Muistiinpanot

↑ Fenchel, 1967 , s. 308–325 Tehtävä 6 (Danzer).
↑ 1 2 Croft, Falconer, Guy, 1991 , s. 148.
↑ 1 2 Bambah, Woods, 1971 , s. 295–301.
↑ 1 2 Solomon, Weiss, 2016 , s. 1053–1074.
↑ Gowers, 2000 , s. 79–117.
↑ Solan, Solomon, Weiss, 2017 , s. 6584–6598.
↑ Roberts, 2015 , s. 382.
↑ 12 Conway , 2017 .

Kirjallisuus

John Horton Conway . Viisi 1000 dollarin ongelmaa . — On-Line Encyclopedia of Integer Sequences , 2017.. Katso myösMalli:OEIS el.
Bambah RP, Woods AC Danzerin ongelmasta // Pacific Journal of Mathematics. - 1971. - T. 37 .
Hallard T. Croft, Kenneth J. Falconer, Richard K. Guy . E14: Konveksien joukkojen asemointi diskreettien joukkojen suhteen // Ratkaisemattomia geometrian tehtäviä . - Springer-Verlag, New York, 1991. - s . 148 . — (Matematiikan ongelmakirjat). — ISBN 0-387-97506-3 . - doi : 10.1007/978-1-4612-0963-8 .
Werner Fenchel . Ongelmia // Proceedings of the Colloquium on Convexity, Kööpenhamina, 1965. - Kööpenhamina: Kobenhavns Universitets Matematiske Institut, 1967.
Karkea rakenne ja luokitus // Geometrinen ja funktionaalinen analyysi. - 2000. - Ongelma. Erikoisosa, osa I. - doi : 10.1007/978-3-0346-0422-2_4 .
Siobhan Roberts. Genius at Play: The Curious Mind of John Horton Conway . - New York: Bloomsbury Press, 2015. - ISBN 978-1-62040-593-2 .
Omri Solan, Yaar Solomon, Barak Weiss. Danzerin ja Gowersin ongelmista ja dynamiikasta suljettujen osajoukkojen avaruudessa // International Mathematics Research Notices. - 2017. - Ongelma. 21 . - doi : 10.1093/imrn/rnw204 . - arXiv : 1510.07179 . $\mathbb{R}^d$
Yaar Solomon, Barak Weiss. Tiheät metsät ja Danzer-sarjat // Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. - 2016. - T. 49 , nro 5 . - doi : 10.24033/asens.2303 . - arXiv : 1406.3807 .