Avoimia matemaattisia ongelmia

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 4. elokuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 4 muokkausta .

Avoimet (ratkaisemattomat) matemaattiset ongelmat ovat ongelmia, joita matemaatikot ovat pohtineet , mutta joita ei ole vielä ratkaistu. Usein hypoteesien muodossa , jotka oletettavasti pitävät paikkansa, mutta jotka on todistettava .

Tieteellisessä maailmassa tunnetut tiedemiehet tai organisaatiot laativat luetteloita avoimista ongelmista, jotka ovat tällä hetkellä tärkeitä. Erityisesti merkittäviä matemaattisten ongelmien luetteloita ovat:

Ajan myötä tällaisesta luettelosta julkaistut ongelmat voivat ratketa ja menettää siten avoimen tilansa. Esimerkiksi suurin osa Hilbertin vuonna 1900 esittämistä ongelmista on nyt tavalla tai toisella ratkaistu.

Numeroteoria

Goldbachin ongelma . Voidaanko jokainen parillinen luku, joka on suurempi kuin 2, esittää kahden alkuluvun summana ? [yksi]
Waringin ongelma . Hardy - funktio on pienin sellainen, että yhtälö on ratkaistavissa . Tämän funktion arvot tunnetaan vain yhtä kuin 2 ja 4. $G(n)$ $k$ $x_1^n+x_2^n + \pisteet + x_k^n = N$ $N\geqslant N_0(n)$ $n$
Onko olemassa ääretön joukko kaksoisalkulukuja ?
Bealin hypoteesi . Onko totta, että jos missä ovat luonnolliset luvut ja , niin niillä on yhteinen alkujakaja ? $A^x+B^y=C^z,$ $A,\;B,\;C,\;x,\;y,\;z$ $x,\;y,\;z>2$ $A,\;B,\;C$
Collatzin hypoteesi (hypoteesi ). $3n+1$
Erdősin hypoteesi . Onko totta , että jos käänteislukujen summa jollekin luonnollisten lukujen joukolle poikkeaa , niin tästä joukosta löytyy mielivaltaisen pitkiä aritmeettisia progressioita ?
Van der Waerdenin numerot . Mikä on joukon vähimmäisosio kahdeksi osajoukoksi , joista ainakin toinen sisältää aritmeettisen jakson, jonka pituus on 7? [2] $N$ $\{1,\;2,\;\ldots,\;N\}$
Onko olemassa Euler-laatikkoa (laatikko, jossa on kaikki kokonaislukureunat ja etulävistäjät), jonka päälävistäjällä on myös kokonaislukupituus ? [3]
Kolme Pollockin neljästä hypoteesista .

Geometria

12 ratkaisematonta ongelmaa Wernickin listasta kolmion rakentamisesta kolmesta merkitystä yksikköpisteestä [4] .
Divaanin siirtämisen ongelmassa alhaalta tulevan parhaan arvion maksimaalisuutta ( Gerverin vakiot ) ei ole todistettu.
Onko mahdollista löytää tason suljetusta Jordan-käyrästä 4 pistettä, jotka ovat jonkin neliön huippuja? [5] [6]
Onko olemassa sellaista vakiota , että minkä tahansa tason pistejoukon, jolla on pinta-ala, täytyy sisältää vähintään yhden alueen 1 kolmion kärjet? [7] $A$ $A$
Onko tasossa tiheä pistejoukko, jonka kahden pisteen välinen etäisyys on rationaalinen? [kahdeksan]
Onko olemassa kolmiota, jossa on kokonaislukujen sivut, mediaanit ja pinta-ala? [9] [10]
Onko tasossa piste, jonka etäisyys yksikköneliön jokaiseen neljään kärkeen on rationaalinen? [10] [11]
Ongelma noin 9 ympyrää . Onko olemassa 9 ympyrää siten, että jokainen kaksi leikkaa ja kunkin ympyrän keskipiste on muiden ympyröiden ulkopuolella? (Tarkistusalgoritmin suoritusaika on liian pitkä).
Onko millään kuperalla monitahoisella kehitystä ilman itseleikkauksia ? [12]
Positiiviset reaaliluvut annetaan . Mikä on suurin ja pienin tilavuus monitahoista, jonka pinta-alat ovat yhtä suuret kuin nämä luvut? $S_0,\;\ldots,\;S_n$
Kuinka monta kertaa ei-kuperan monitahoisen tilavuus voi ylittää samoista pinoista koostuvan kuperan monitahoisen tilavuuden? [13]
Millä minimimäärällä mikä tahansa kupera tilavuusyksikkö voidaan sijoittaa minkä tahansa kolmion muotoisen tilavuuspyramidin sisään [14] $V$ $V?$
Mikä on -ulotteisen euklidisen avaruuden kromaattinen luku ? Tätä ongelmaa ei ole ratkaistu edes lentokoneella. Toisin sanoen ei tiedetä, mikä on vähimmäismäärä värejä, joita tarvitaan, jotta ne voivat värjätä tason siten, ettei kahta yksikköetäisyydellä toisistaan olevaa pistettä maalata samalla värillä ( Nelson-Erdős-Hadwigerin ongelma ) . $n$
Thomsonin ongelma . Kuinka sijoittaa identtisiä varautuneita pisteitä pallolle niin, että järjestelmän potentiaalienergia (eli pisteiden välisten parittaisten vastavuoroisten etäisyyksien summa) on minimaalinen (ongelma on tiukasti ratkaistu vain :lle ) [15] . Kuinka monta tasapainotilaa (paikallista ääripäätä) on pistejärjestelmällä? $n$ $n = 2,\;3,\;4,\;6,\;12$ $n$
Kuinka sijoittaa pisteet pallolle niin, että pienin niiden välisistä pareittain etäisyyksistä on suurin? [16] $n$
Etsi jokaiselle luonnollislukuparille pienin reaaliluku siten, että mikä tahansa yksikköhalkaisijajoukko -ulotteisessa euklidisessa avaruudessa voidaan jakaa osajoukkoihin, joiden halkaisija on enintään . Ongelma on ratkaistu vain muutamissa erikoistapauksissa [17] [18] . $(n,\;k)$ $d(n,\;k)$ $n$ $k$ $d(n,\;k)$
Mikä on Mandelbrot-joukon pinta-ala ja missä sen massakeskus sijaitsee abskissalla? Arviolta 1 506 591 77 ± 0 000 000 08 [19] .
Tehtävä, jolla on onnellinen loppu . Missä minimissä tason pisteistä, joista 3 ei ole samalla linjalla, on jonkin kuperan -gonin kärkipisteitä, ja onko totta, että ? Ratkaisu tunnetaan vain . Tulos (joka osoittautui 17) saatiin vuonna 2006 tietokoneanalyysillä. $m$ $m$ $n$ ${\displaystyle m=1+2^{n-2))$ $n<7$ $n = 6$
Mikä on pienin määrä laattoja, joka voi sisältää Van-laattojen joukon, joka voi laatoittaa tason vain ei-jaksoittain? Pienin tunnettu tulos on 11 [20] .
Onko missä tahansa monikulmaisessa huoneessa, jossa on peilatut seinät, piste, johon sijoitetaan valonlähde, jossa koko huone valaistuu? [21]
Onko mahdollista sijoittaa tasolle 8 pistettä siten, että yksikään niistä ei ole 3 samalla suoralla, ei 4 ole samalla ympyrällä ja minkä tahansa 2 pisteen välinen etäisyys on kokonaisluku? Ratkaisu 7 pisteeseen löydettiin vuonna 2007 [22] [23] [24] .
Mikä on pituuden 1 avaruuskäyrän kuperan rungon suurin mahdollinen tilavuus?
Bonnesen-Fennel-hypoteesi . Minkä kolmiulotteisen vakioleveyden kappaleen tilavuus on pienin? [25] [26] [27]
Onko jokaisella polygonilla myös monikulmio, jonka kaikki kärjet sijaitsevat pienemmällä etäisyydellä kuin alkuperäisen monikulmion vastaavista pisteistä ja jonka kaikki sivut ja lävistäjät ovat rationaalisen pituisia? [28] $\epsilon > 0$ $\epsilon$

Pakkausongelmia

Mikä on suurin määrä ei-leikkausympyröitä, joiden säde on yksikkö, joka voidaan sijoittaa pallolle, jonka säde on ? [29] $R$
Mikä on pienimmän neliön sivu, johon voidaan pakata 2 yksikköympyrää, joista toinen voidaan leikata jännettä pitkin 2 segmenttiin? [kolmekymmentä]
Mikä on identtisten ympyröiden vähiten jäykkä pakkaus tasossa? [kolmekymmentä]

Moniulotteiset avaruudet

Mikä on kontaktinumero euklidisissa tiloissa, joissa on ulottuvuus ? Tämä ongelma on ratkaistu vain (240) ja (196 560) [31] [32] . $n>4$ $n = 8$ $n = 24$
Pallien tiheimmän pakkauksen ongelma -ulotteisessa euklidisessa tilassa . Kolmiulotteisen avaruuden osalta tämä ongelma ratkaistiin vuonna 1998: todistettiin Keplerin hypoteesi pitävän paikkansa . Nykyinen todiste on kuitenkin erittäin suuri ja vaikeasti todennettavissa [33] . On myös todistettu, että for ja hilat toteuttavat kontaktinumeron lisäksi myös tiheimmän pallopakkauksen. $n$ $n>3$ $n = 8$ $n = 24$
Borsukin hypoteesi . Onko mahdollista jakaa mielivaltainen kappale, jonka halkaisija on äärellinen n-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa, enintään osaan siten, että kunkin osan halkaisija on pienempi kuin 1? Kumottu yli 64-mittaisille tiloille, todistettu alle 4-mittaisille tiloille, 4 ≤ n ≤ 63 ongelmaa ei ole ratkaistu. $n+1$

Mekaniikka

Onko mahdollista valita sellainen (mahdollisesti ei-inertiaalinen) viitekehys jokaiselle neljän pisteen liikkeelle avaruudessa niin, että kaikkien siinä olevien neljän pisteen liikeradat osoittautuvat litteiksi kuperaksi käyriksi? [kahdeksan]
Onko totta, että riittävän suurelle määrälle liikkuvia pisteitä, joilla on kietoutunut liikerata (trajektoreita kutsutaan sotkeutuneiksi, jos ei ole avaruuden homeomorfismia , jonka alle ne putoavat ei-leikkautuviin kuperajoukkoon) missä tahansa vertailukehyksessä vähintään kahden pisteen liikeradat osoittautuu sotkeutuneeksi?
Kirjaan on sijoitettu kaksitoista ratkaisematonta geometristä kysymystä, jotka liittyvät mekaniikan ongelmiin [34] .

Algebra

Galois'n teorian käänteinen lause . Jokaiselle rajalliselle ryhmälle on olemassa algebrallinen lukukenttä , joka on rationaalisen lukukentän jatke ja on isomorfinen . $H$ $\mathbf {F}$ $\mathbf {F}$ $\mathbb {Q}$ $\mathrm{Gal}(\mathbf{F}/\mathbb{Q})$ $H$
Mikä tahansa äärellisesti annettu ryhmä , jonka jokaisella elementillä on äärellinen järjestys, on äärellinen. Äärimmäisesti generoidulle ryhmälle (heikompi ehto) tämä ei pidä paikkaansa [35] .
Onko olemassa yksinkertaista ryhmää , joka ei ole äärettömän superyksinkertaista ? [36]
Onko jaksorengas kenttä ?
O. Yu. Schmidtin ongelma Onko olemassa ei -kvasisyklisiä ryhmiä , joiden kaikki oikeat alaryhmät (muut alaryhmät kuin identiteettiryhmä ja koko ryhmä) ovat äärellisiä? [37]
L. S. Pontryaginin ongelma Olkoon tehokas transitiivinen bikompakti ryhmä avaruuden homeomorfisia muunnoksia dimensiopalloksi. Onko olemassa sellaista homeomorfista avaruuden kartoitusta euklidisen -ulotteisen avaruuden yksikköpallolle , jonka alla ryhmä siirtyy johonkin pallon liikeryhmään ? [38] . $G$ $\Gamma$ $n$ $\Gamma$ $S^{n}$ $(n+1)$ $G$ $S^{n}$
Algebralliset järjestelmät Onko olemassa ei-triviaaleja ryhmittymien , renkaiden ja hilojen muunnelmia ja mitkä ehdot täyttyvät olemassaolon tapauksessa , joka on saavutettavissa kaikkien ryhmien luokissa, kaikissa renkaissa tai hilassa? [39] .
Algebralliset järjestelmät Onko olemassa ja mitkä ehdot täyttävät ei-triviaalit lajikkeet ja puoliryhmien kvasivariantit, joissa on useita erottuvia elementtejä, renkaita ja hiloja, jotka ovat saavutettavissa kaikkien tällaisten puoliryhmien luokassa [39] , jos olemassaolo .
Onko ryhmien joukossa operaatioita, jotka eroavat suoran ja vapaan kertolaskuoperaatioista ja joilla on perusominaisuudet? [40]
Onko kaikkien ei-isomorfisten tietyn kardinaalisuuden omaavien Abelin ryhmien joukolla kardinaalisuutta ? [41] $M$ ${2}^{M}$
AI Maltsevin ongelma Onko olemassa laskettavaa ryhmää, jossa jokainen laskettava ryhmä on isomorfinen jonkin alaryhmänsä kanssa? [42]
Ongelmaa kaikkien hyperkompleksisten järjestelmien löytämisessä, joissa on jakautuminen, ei ole täysin ratkaistu [43] .
Kirjassa on useita kymmeniä ratkaisemattomia algebrallisia ongelmia [44] .
Algebrallisten järjestelmien kelvollisten kaavojen joukosta ei ole täydellistä kuvausta. Ei tiedetä, onko joukko suljettu komplementin alle joukossa [45] $S$ $\omega$
Lausunnot ratkaisemattomista ongelmista äärettömien Abelin ryhmien teoriassa on annettu kirjassa [46] $viisikymmentä$

Kourovka muistikirja

Se on maailmankuulu kokoelma useista tuhansista ratkaisemattomista ongelmista ryhmäteorian alalla . Se on julkaistu vuodesta 1965 lähtien 2-4 vuoden välein. Julkaistu venäjäksi ja englanniksi [47] [48] [49] .

Dnesterin muistikirja

Se on kokoelma useita satoja ratkaisemattomia ongelmia renkaiden ja moduulien teoriassa [50] .

Sverdlovsk muistikirja

Se on kokoelma puoliryhmien teorian ratkaisemattomia ongelmia [51] [52] .

Erlagol muistikirja

Se on kokoelma ratkaisemattomia algebran ja malliteorian ongelmia [53] .

Analyysi

Riemannin hypoteesi . Ovatko kaikki zeta-funktion ei-triviaalit nollatrivillä? [54] $\mathrm{Re}(z)=1/2$
Mikä on Millsin vakio ? Nykyiset laskentamenetelmät perustuvat vielä todistamattomaan Riemannin hypoteesiin.
Toistaiseksi ei tiedetä mitään sellaisten numeroiden normaalisuudesta kuin ja ; ei edes tiedetä mitkä numerot 0-9 esiintyvät luvun desimaalimuodossa äärettömän monta kertaa. $\pi$ $e$ $\pi$
Onko jokainen irrationaalinen algebrallinen luku normaali ? [55]
Onko normaali numero ? [56] $\ln 2$
Ei tunneta yhtäkään lukua, jolle voitaisiin todistaa, että sen jatkuvaksi murtoluvuksi laajentumisen termien geometrinen keskiarvo pyrkii Khinchin-vakioon (lukuun ottamatta niitä, jotka on luotu keinotekoisesti [57] ), vaikka on todistettu, että melkein kaikilla reaaliluvuilla on tämä ominaisuus. Oletetaan, että luvuilla , Euler-Mascheronin vakiolla , itse Khinchin-vakiolla ja monilla muilla matemaattisilla vakioilla pitäisi olla tämä ominaisuus . $\pi$
Tee sarja ja [58] Molemmilla sarjoilla on satunnaisesti pienet nimittäjät, mutta ensimmäinen sarja suppenee hypoteettisesti noin 30,31:n ja toisen noin 43:n paikkeilla. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 \sin^2 n}$ $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 \cos^2 n}?$

Irrationaalisuuden kysymyksiä

Irrationaalisuuden mittaa ei tunneta millekään seuraavista luvuista: Euler-Mascheronin vakio , Katalonian vakio , Brunin vakio , Millsin vakio , Khinchinin vakio , luvut Yksikään niistä ei edes tiedä, onko se rationaaliluku , algebrallinen irrationaali tai transsendentaalinen luku [59 ] [60] [61] [62] [63] [64] . $\pi + e, \pi - e, \pi \cdot e, \frac{\pi}{e}, \pi ^ e, \pi ^{\sqrt 2}, \ln \pi, \pi ^ \pi , e^{\pi^2}, 2^e, e^e, e^{e^e}.$
Ei tiedetä, ovatko ne algebrallisesti riippumattomia . $\pi$ $e$
Ei tiedetä, ovatko ne kokonaisluvut missä tahansa positiivisessa kokonaisluvussa (katso tetratio ). Ei edes tiedetä, onko kyseessä kokonaisluku (tässä luvussa on enemmän kuin 10 17 kokonaislukuosan numeroa, ja suora laskeminen on mahdotonta). ${^{n}\pi }$ ${^ne}$ $n$ ${^4\pi}=\pi^{\pi^{\pi^\pi}}$
Ei tiedetä, voiko se olla kokonaisluku, jos se on positiivinen kokonaisluku ja positiivinen rationaalinen luku, mutta ei kokonaisluku (tietyissä tapauksissa vastaus on negatiivinen) [65] . ${^nq}$ $n$ $q$ $n=1,\,2,\,3$
Ei tiedetä, onko yhtälön positiivinen juuri algebrallinen vai transsendentaalinen luku (vaikka sen tiedetään olevan irrationaalinen). ${^3 x}=2, \, x=1{,}476\;684\;33\pistettä$
Ei tiedetä, onko yhtälön positiivinen juuri rationaalinen, algebrallinen irrationaaliluku vai transsendentaalinen luku. Samanlainen ongelma minkä tahansa suuremman korkeuden tetratiolla mistä tahansa suuremmasta kuin 1:stä on myös avoin. ${^4 x}=2, \, x=1{,}446\;601\;43\pistettä$
Tarkkaa irrationaalisuuden mittaa ei tunneta jokaiselle seuraavista irrationaalisista luvuista: [66] . $\pi, \pi^2, \ln 2, \ln 3, \zeta(3)$
Ei tiedetä, onko ensimmäinen Skewes-luku kokonaisluku. $e^{e^{e^{79}}}$
Ovatko Riemannin zeta-funktion arvot transsendentaalisia kaikille luonnollisille luvuille ? $\zeta(2n+1)$ $n$
Ovatko gamma-funktion arvot transsendentaalisia kaikille kokonaisluvuille ? Tiedetään, että Γ(1/2), Γ(1/3), [67] Γ(1/4), [68] ja Γ(1/6) ovat transsendentaalisia. [68] $\Gamma(1/n)$ $n>1$
Ovatko Feigenbaumin vakiot transsendenttisia ?
Onko Pellin jatkuva transsendentti ? [69]
Onko jokainen ääretön ei-jaksollinen jatkuva murto -osa , jossa on rajoitetut termit, transsendenttinen?
Onko olemassa T-lukuja K. Mahlerin luokituksen mukaan? [70] [71]
Kirjasta löytyy luettelo useista ratkaisemattomista ongelmista, jotka liittyvät Mahlerin olettamukseen [72] .

Kombinatoriikka

Hadamard-matriisin olemassaolo , jonka kertaluku on 4.
Luonnollisen järjestyksen äärellisen projektiivitason olemassaolo, joka ei ole alkuluvun potenssi.
Erdős-Renyin hypoteesi . Jos on kiinteä kokonaisluku , niin for from . Tässä on matriisin pysyvä , on joukko matriiseja, joiden kertaluku on c yksi jokaisessa rivissä ja jokaisessa sarakkeessa [73] . $k$ $k\geqslant 3$ $\liminf (\mathrm{per}\,(A))^{\frac{1}{n)) > {1}$ $A$ $\Lambda_{n}^{k}$ $\mathrm{per}\,(A)$ $A$ $\Lambda_{n}^{k}$ $(0,\; 1)$ $n$ $k$
Tapauksen Ramsey-luvut ovat lähes tutkimattomia [74] . $N(q_{1},q_{2},...,q_{t};r)$ $t>2$
Kaksinkertaisesti stokastisen matriisin pysyvän minimin löytämisen ongelmaa ei ole yleisesti ottaen ratkaistu [75] .
Ei tunneta välttämättömiä ja riittäviä ehtoja, joiden vallitessa on olemassa yhteinen transversaali kolmelle alajoukon perheelle [76] .

Kombinatorinen geometria

Hadwigerin arvelu (kombinatorinen geometria) — voiko mikä tahansa kupera kappale -ulotteisessa euklidisessa avaruudessa peittää pienemmillä homoteettisilla kappaleilla ? [77] $n$ $2^{n}$
Lista kombinatorisen geometrian ratkaisemattomista ongelmista on kirjassa [78] . $17$
Kirjassa on useita kymmeniä ratkaisemattomia kombinatorisen geometrian ongelmia [79] .

Graafiteoria

Cazzetta-Haggvist-oletus on , että suunnatulla graafilla , jolla onkärkipisteitä, joiden jokaisessa kärjessä on vähintäänreunat, on suljettu ääriviiva enintään [80] . $n$ $m$ $\left\lceil \frac{n}{m}\right\rceil$
Hadwigerin olettamus (graafiteoria) – jokainen -kromaattinen graafi on kutistettavissa täydelliseksi graafiksi [81] . $n$ $K_n$
Ulam olettamus : [82]
- a) mikä tahansa graafi, jossa on enemmän kuin kaksi kärkeä, on yksiselitteisesti määritetty graafijoukolla , jossa jokainen joukon graafi saadaan poistamalla yksi alkuperäisen graafin pisteistä;
- b) mikä tahansa graafi, jossa on enemmän kuin kolme kärkeä , määräytyy yksiselitteisesti graafien joukolla , jossa jokainen joukon graafi saadaan poistamalla yksi alkuperäisen graafin pisteistä.
Hararin arvelu (Ulamin arvelun heikko muoto) - jos graafissa on enemmän kuin kolme reunaa, se voidaan palauttaa yksiselitteisesti aligrafeista, jotka on saatu poistamalla yksi reuna [82] .
Missä tahansa kuutiograafissa voidaan valita 6 1-tekijää siten, että jokainen reuna kuuluu tasan kahdelle niistä.
Ramachandranin olettamus - mikä tahansa digrafi on -rekonstruoitavissa [83] . $N$
Palautusoletus — jos jonkin graafin kaikkien ensisijaisten aligraafien isomorfismiluokat on annettu, tämän graafin isomorfismiluokka määritetään yksiselitteisesti . $k$ $k \geqslant 3$
Conwayn trekle-oletus - missä tahansa treklessä (verkko, jossa jokaisella kahdella reunalla on yhteinen piste) viivojen määrä on pienempi tai yhtä suuri kuin pisteiden määrä [85] .
Ringel-Kotzigin hypoteesi on, että kaikki puut ovat siroja .
Kaksinkertaisen kattavuuden arvelu — jokaiselle siltaattomalle graafille on olemassa joukko yksinkertaisia jaksoja, jotka kattavat kaavion jokaisen reunan täsmälleen kahdesti.
Koenigin ongelma - mitkä ehdot ovat välttämättömiä ja riittäviä sille, että joukossa annetulla permutaatioryhmällä on graafi , jossa on sellainen kärkijoukko , että [86] $V$ $\Gamma$ $G$ $V$ $AutG=\Gamma$
Suuri joukko graafiteorian ratkaisemattomia ongelmia löytyy artikkelista [87] .
Barnettin arvelu - mikä tahansa kaksikuutioinen monitahoinen graafi on Hamiltonin .

Solmuteoria

Onko olemassa ei-triviaalisolmua, jonka Jones-polynomi on sama kuin triviaalisolmu ?
Kuinka monta yksinkertaista solmua , joissa on kaksoispisteet ? Lisääntyykö tämä sarja tiukasti? [88] Arvot on annettu OEIS :n sekvenssillä A002863 . $n$ $n>19$ $n<20$

Algoritmien teoria

Algoritmisen ratkaistavuuden kysymyksiä

Hilbertin 10. tehtävän analogi asteen 3 yhtälöille: onko olemassa algoritmia , joka sallii minkä tahansa asteen 3 diofantiiniyhtälön perusteella määrittää, onko sillä ratkaisuja?
Hilbertin 10. tehtävän analogi rationaalilukujen yhtälöille . Kuinka saada mielivaltaisesta diofantiiniyhtälöstä selville, onko se ratkaistavissa rationaalisilla (ei välttämättä kokonaisluku) luvuilla ja voidaanko se ylipäätään tietää (eli onko vastaava algoritmi mahdollinen)? [89] [90] [91]
Kuolevan matriisiongelman algoritminen ratkaistavuus kertaluvun 2 matriisien matriiseille. Onko olemassa algoritmia, joka sallii tietylle äärelliselle neliömatriisien joukolle määrittää, onko joissakin matriiseissa kaikkien tai joidenkin näiden matriisien tulo (mahdollisesti toistoineen) järjestys, jolloin saadaan nollamatriisi [92] . $2\ kertaa 2$
Laajennus lausekkeista, joille tunnetaan algoritmi, joka määrittää, onko lauseke yhtä suuri kuin nolla ( Vakioongelma ). Mille lausekeluokille tämä ongelma on algoritmisesti ratkaisematon?
Onko olemassa algoritmia, jonka avulla voit selvittää kokonaislukumatriisista, onko siinä aste, jonka oikeassa yläkulmassa on nolla? [91]
Kysymys jaksorenkaan kahden elementin yhtäläisyydestä . Onko olemassa algoritmia, joka sallii kahden polynomisen epäyhtälöjärjestelmän perusteella rajallisella määrällä muuttujia, joilla on rationaaliset kertoimet, määrittää, onko niiden rajoittama alue ? ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n))$

Laskennallinen monimutkaisuusteoria

P=NP ?
VP = VNP ? [93]
Onko graafin isomorfismin ongelma -täydellinen ? [94] $\mathrm {NP}$
Kuuluuko ongelma luonnollisen luvun alkutekijän löytämisestä luokkaan P ?
Kuuluuko triviaalisen solmun tunnistusongelma luokkaan P?
Määritä kokonaislukujen kertolaskualgoritmin monimutkaisuuden alaraja. Tunnetuista algoritmeista Martin Fuhrerin algoritmilla on vähiten monimutkaisuus , joka suoritetaan , jossa on iteroitu logaritmi . $n \log n\,2^{O(\log^* n)}$ $\log^*$
Määritä tarkka matriisin kertolaskualgoritmin monimutkaisuuden alaraja. Tunnetuista algoritmeista vähiten monimutkainen on Coppersmith-Winograd-algoritmi , joka suoritetaan [95] Mutta eksponentin on oltava vähintään 2 (koska kokomatriisissa on arvot sisällä, ja ne kaikki on luettava vähintään kerran laske tarkka tulos). $O(n^{2{,}3728639}).$ $n\ kertaa n$ $n^{2}$
Ei-triviaaliset ala- ja ylärajat sarjassa olevien funktioiden laajennusten osittaisten summien algebralliselle kompleksisuudelle ovat tuntemattomia, ja [96] $e^{x}\sim 1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+\ldots +{\frac {x^{n}}{n!)}}$ $\ln(1-x)\sim -x-{\frac {x^{2}}{2}}-\ldots -{\frac {x^{n}}{n}}$
Onko mahdollista osoittaa algebrallisen monimutkaisuuden alaraja jollekin tietylle äärettömälle polynomille? [96]

Muita ongelmia algoritmien teoriassa

Ahkera majavaongelma[97] . Kuinka monta liikettä (ei-silmukoiva) Turingin kone , jossa ontilat ja aakkosetnollalla täytetyllä nauhalla? Kuinka monta nollasta poikkeavaa merkkiä se tulostaa? Tiedetään, ettei ole olemassa algoritmia (eikä siis rekursiivisesti aksiomatisoitavaa muodollista teoriaa), joka voisi ratkaista tämän ongelman kaikille, että molemmat funktiot kasvavat nopeammin kuin mikään laskettava funktio , ja toistaiseksi tunnetaan vain [98] :n arvot . $n$ ${\displaystyle \{0,\;1,\;2,\;...,\;m\))$ $n$ $n<5$
Onko olemassa algoritmia, joka tunnistaa millä tahansa kahdella kolmiominaisuudella, ovatko ne homeomorfisia? [91]
Onko olemassa algoritmia, joka tunnistaa pelin "Life" mielivaltaisen sijainnin perusteella, "kuoleuko se" (tulevatko kaikki solut lopulta tyhjiksi)? [91]
Onko Muchnik-hilalle täydellisyyslause? [91]
Onko olemassa algoritmia, joka määrittää realisoitavien ja kiistämättömien lausekaavojen joukon päätettävyyden ja aritmeettisuuden? [91]
Onko tavallisissa algebrallisissa järjestelmissä algebrallisesti oikeita massatehtäviä, joiden monimutkaisuus vaihtelee? [91]
Onko olemassa algebrallista järjestelmää, jonka yhtenäinen ekvivalenssi eroaa ohjelman ekvivalenssista tai ohjelman ekvivalenssi ongelmaekvivalenssista? [91]
Kirjassa on muotoiltu kahdeksan ratkaisematonta algoritmien teorian ongelmaa [99] .

Aksiomaattinen joukkoteoria

Tällä hetkellä yleisin aksiomaattinen joukkoteoria on ZFC - Zermelo-Fraenkelin teoria, jossa on valinnan aksiooma. Kysymys tämän teorian johdonmukaisuudesta (ja vielä enemmän sen mallin olemassaolosta) on edelleen ratkaisematta.
Skolem-ongelma . Tarkastellaan termeistä rakennettua yhden luonnollisen muuttujan funktioiden joukkoa, joka on suljettu yhteen- , kertolasku- ja eksponentiointiin . Tämän joukon funktioille kirjoitetaan jos täyttyy kaikille riittävän suurille . Tiedetään, että relaatio järjestää joukon kokonaan . Mikä järjestysluku vastaa tätä järjestystä? (Tiedetään, että se ei ole pienempi eikä suurempi kuin ensimmäinen kriittinen järjestysluku (Cantor's ordinaal) ) [ 100 ] [ 101 ] tetratio , ratkaistu vuonna 2010) [102] [103] . $S$ $n$ $1,n$ $f,\;g$ $f \preccurlyeq g$ $f(n) \leqslant g(n)$ $n$ $\preccurlyeq$ $S$ $\varepsilon_{0}$ ${\displaystyle \zeta _{0}=\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{\cdot _{\cdot _{\cdot ))))))$
Onko olemassa lineaarisesti järjestettyä joukkoa järjestystyypillä ( joka täyttää ehdot ja ? [104] $\alpha$ $\alpha\neq\alpha^2$ $\alpha=\alpha^3$
Zermelo - Fraenkelin joukkoteoriassa ilman valinnan aksioomaa ei tiedetä, onko olemassa suuria säännöllisiä kardinaaleja [105] . $\aleph_{\alpha}$ $\aleph_{0}$
Yksittäisten kardinaalien ongelma . Mille funktioille on olemassa Zermelo-Fraenkel-malli , missä kaikille kardinaaleille [106] . $G(k)$ $k^{cf(k)} = G(k)$ $k$
Onko totta, että jos Zermelo-Fraenkel-aksioomien järjestelmä yhdessä valinnan aksiooman kanssa on johdonmukainen, niin Zermelo-Fraenkel-aksioomien järjestelmä on johdonmukainen, riippuvan valinnan periaate ja jokainen reaalilukujoukko on Lebesguen mitattavissa oleva joukko? [107]
Eikö oletus tällaisten kardinaalilukujen olemassaolosta johda ristiriitaan , että m-kompaktien avaruuden karteesinen tulo on aina m-kompakti. Ei myöskään tiedetä, osuuko pienin näistä luvuista pienimmän mitattavissa olevan luvun kanssa vai ei [108] . $\mathfrak{m} > \aleph_{0}$
Continuum -tehtävässä vain Godelin lause (jatkumohypoteesia ei voida kumota aritmeettisen ja joukkoteorian aksioomien perusteella) ja Cohenin lause (jatkuvuushypoteesia ei voida todistaa aritmeettisen ja joukkoteorian aksioomien perusteella) ovat tiedossa. Jatkuvuusongelmasta ei ole täydellistä teoriaa. [109]
Jatkuvuusongelma on ratkaistavissa joukkoteorian toisen kertaluvun kielellä, mutta sen ratkaisua ei siellä tunneta. [109]
Tuntematon todiste euklidisen geometrian johdonmukaisuudesta [110]
Tuntematon todiste reaalilukujärjestelmän johdonmukaisuudesta [111]
Onko olemassa mitattavia kardinaalilukuja? [112]

Todistusteoria

Mikä on lyhin ratkaisematon lause Peanon aritmetiikassa ? [113] Teorian ratkaisematon väite on väite, jota ei voida todistaa eikä kumota annetussa teoriassa. Todistukset Gödelin teoreemoista osoittavat, kuinka tällaisia väitteitä voidaan tehdä, mutta tuloksena olevat väitteet ovat huomattavan kokoisia aritmeettisella formaalikielellä kirjoitettuna.
Todistusteorian kuuden ratkaisemattoman ongelman muotoilut löytyvät kirjasta [114]

Laskennallinen matematiikka

Määritä -vaiheisen Runge-Kutta-menetelmän (yksivaiheinen = Euler-menetelmä = , kaksivaiheinen = modifioitu Euler-menetelmä = , nelivaiheinen = klassinen Runge-Kutta-menetelmä = , viisivaiheinen = Felberg - menetelmä = myös ). $n$ $Vai niin)$ $O(h^2)$ $O(h^4)$ $O(h^4)$

Differentiaaliyhtälöt

Van der Pol -yhtälön (eli van der Pol -oskillaattorin) tarkkaa ratkaisua ei tunneta: [115] [116]

\ddot x - \lambda (1-x^2)\piste x + \omega ^2 x = 0

Mathieun yhtälön tarkkaa ratkaisua ei tunneta [117]

\ddot x + \omega^{2} x = - \mu x \cos 2t

Ablowitz-Ramani-Seguran hypoteesi. Kaikilla tavallisilla täysin integroitavista osittaisdifferentiaaliyhtälöistä johdetuilla differentiaaliyhtälöillä on Painlevé-ominaisuus (yhtälön ratkaisujen algebrallisen, logaritmisen tai oleellisen singulariteetin sijainti ei riipu alkuehdoista; vain napojen sijainti riippuu mielivaltaisesta integroinnista vakiot) [118] .
Onko Liouvillen integroitavalla Hamiltonin järjestelmällä vastaava formulaatio Lax-parin suhteen, ja jos on, kuinka se rakennetaan? [119]
Sekatyyppisistä osittaisdifferentiaaliyhtälöistä ei ole yleistä teoriaa [120] .

Todennäköisyysteoria

Välttämättömiä ja riittäviä ehtoja satunnaismuuttujan äärettömästi jaettavan jakautumislain kuulumiselle yksi- ja moniulotteisissa tapauksissa lakiluokkaan, jossa ei ole hajoamattomia komponentteja, ei tunneta [121] .
Tarkkaa analyyttistä kaavaa tason satunnaisten suorien määrittämien kuvien pinta-alojen todennäköisyysjakaumaan ei tunneta [122] .
Cantellin ongelma : Olkoonjaoltava riippumattomia satunnaismuuttujia, joilla on normaalijakauma. on mitattavissa oleva ei-negatiivinen funktio. Tiedetään, että satunnaismuuttujallaon normaalijakauma. Seuraako tästä, että se onvakio melkein kaikkialla? [123] $\xi$ $\eta$ $N(0,1)$ $f(x)$ $\xi +f(\xi )\eta$ $f(x)$
Titchmarsh-Polyi-lauseen [124] moniulotteiset yleistykset ovat tuntemattomia .

Matemaattisen fysiikan yhtälöt

Polkuintegroinnin menetelmälle kvanttikenttäteoriassa ei ole tiukkaa matemaattista perustetta [125] [126] .
Polkuintegraalit voidaan laskea vain Gaussin kvadratuurien tapauksessa. Yleisessä tapauksessa polkuintegraalien laskentatapa on tuntematon [127] [126] .
Schrödingerin yhtälön tarkkaa ratkaisua monielektronisille atomeille ei tunneta [128] .
Kvanttimekaniikassa, kun ratkaistaan kahden säteen sirontaongelma yhden esteen kautta, sironnan poikkileikkaus on äärettömän suuri [129]
Navier-Stokes yhtälöt . Onko Navier-Stokes-yhtälön tasainen ratkaisu kolmiulotteisessa tapauksessa annetusta ajasta alkaen? [130]
Eulerin yhtälö . Onko Eulerin yhtälön tasainen ratkaisu kolmiulotteisessa tapauksessa tietystä ajanhetkestä alkaen? [131]
Hydrodynamiikassa on satoja ratkaisemattomia ongelmia [132] .
Ei ole olemassa täydellistä teoriaa, joka selittäisi Maan magneettikentän alkuperää ja kehitystä [133] .
Jorgensin olettamus Olkoon avoin joukko, jonka komplementin mitta on nolla. Antaa ja olla jatkuva päällä ja antaa Schrödingerin operaattorin olla rajoitettu alhaalta ja olla olennaisesti itseadjointinen . Jos , niin on myös olennaisesti itseadjointinen [134] [135] . $M \osajoukko R^{n}$ $V$ $W$ $M$ $-\Delta+V$ $C_{0}^{\infty}(M)$ $W \geqslant V$ $-\Delta+W$ $C_{0}^{\infty}(M)$
Onko mahdollista yleistää Haag-Kastler-aksioomajärjestelmää käyttämällä yleisen kovarianssin periaatetta invarianssin periaatteen sijaan suhteessa Poincarén ryhmään ? [126]
Yang-Mills-kenttien kvantisointi [136] .
Tarkkaa kaavaa Madelung-vakion laskentaan ei tunneta [137] .
Isingin ongelman tarkkaa ratkaisua kolmiulotteisessa tapauksessa ei tunneta [138] .
Ionikiteessä olevien atomitähteiden välisen hylkimisvoiman tarkkoja kaavoja ei tunneta [139] .
Kosmisen sensuurin periaatteen todisteita ei tunneta , samoin kuin tarkkaa muotoilua ehdoista, joilla se täyttyy [140] .
Ei ole olemassa täydellistä ja täydellistä teoriaa mustien aukkojen magnetosfääristä [141] .
Tarkkaa kaavaa järjestelmän eri tilojen lukumäärän laskemiseksi ei tunneta, jonka romahtaminen johtaa mustan aukon syntymiseen tietyllä massalla, kulmaliikemäärällä ja varauksella [142] .
"Karvaton teoreeman" yleisessä tapauksessa todistetta mustalle aukolle ei tunneta [143] .
Ei ole olemassa yleisteoriaa oikeista reunaehdoista yleistetyille differentiaalioperaattoreille, joilla on muuttuva kerroin [144] .
Ei tunneta yleistä näyttöä siitä, että metallien johtavuuskaistan elektronien häiriöteoriasarjat konvergoisivat [145] .
Ei ole mahdollista tyydyttävästi laskea magneettikentässä liikkuvien elektronien tehollista massaa metalleissa pitkin Fermin pintaa [146] ja elektronin lämpökapasiteettia [147] .
Ei ole tunnettua menetelmää nestemäisten metallien rakennekertoimien laskemiseksi [148] .
Onko olemassa osittaisdifferentiaaliyhtälöitä, jotka poikkeavat tavallisesta aaltoyhtälöstä, mutta joiden ratkaisut täyttävät Huygensin periaatteen? [149]
Aksiomaattisen kvanttikentän teorian perusongelma . Ei ole tunnettua teoriaa, joka tyydyttäisi kaikki aksiomaattisen kvanttikenttäteorian aksioomit ja kuvaa vuorovaikutuksessa olevia kenttiä ja ei-triviaalista sirontamatriisia [150] .
Yleistettyjen funktioiden luokan kuvaus , joka täyttää ehdon kaksipisteiselle Whiteman-funktiolle [151] : ei tunneta . $F_{4}$ $\int \int \int f(x_{2},x_{1})f(x_{3},x_{4})F_{4}(x_{1}-x_{2},x_{ 2}-x_{3},x_{3}-x_{4})\prod _{i=1}^{4}d^{4}x_{i}\geqslant 0$
Ergodisen hypoteesin todisteita mielivaltaisille dynaamisille järjestelmille ei tunneta [152] .
Ratkaisu Boltzmannin yhtälön ratkaisujen yhteensovittamiseen iskukerroksen molemmilla puolilla Chapman-Enskogin teorian [153] mukaan on tuntematon .
Tarvittavia ja riittäviä edellytyksiä konservatiivisen järjestelmän tasapainon stabiiliudelle ei ole vielä löydetty [154] .
Ei ole tunnettua tapaa suorittaa johdonmukaisesti invarianttiin regularisointiin perustuvaa renormalisointimenettelyä operaattorin lähestymistavassa gravitaatiokentän kvantisoinnissa [155] .

Peliteoria

Ei ole olemassa yleistä matemaattista teoriaa peleistä, joita pelataan funktioiden avaruudessa (koska todellisten funktioiden joukon teho ylittää merkittävästi jatkumon tehon) [156] .
Ei ole olemassa yleistä matemaattista teoriaa pseudopeleistä (konfliktitilanteista, jotka eivät ole pelejä) [156] .
Ei ole olemassa yleistä matemaattista teoriaa ei-yhteispeleistä [ 156] . $n$ $n > 2$
Peliteorian ratkaisemattomien ongelmien muotoilut löytyvät kirjasta [157] . $kahdeksan$
Oppimisalgoritmien rakentamisen ongelmaa pelien ratkaisemiseksi ei ole ratkaistu, kun voittomatriisin elementit eivät ole vakioita, vaan ovat satunnaismuuttujia tai tuntemattomia (sokea peli) [158] .

Ryhmäesitysteoria

Langlandsin hypoteesi . Mikä tahansa redusoitumaton esitys todellisesta puoliyksinkertaisesta Lie - ryhmästä , joka esiintyy säännöllisen esityksen hajoamisen diskreetissä osassa, realisoituu avaruudessa - sopivan nipun kohomologiassa avaruudessa , jossa on kompakti Cartan-alaryhmä kohdassa [159] . $G$ $L^{2}$ $X = G/H$ $H$ $G$

Yleinen topologia

Dowkerin ongelma . Selvitä, onko jokainen normaali Hausdorff-avaruus laskettavasti parakompakti [160] .
Lista joukkoteoreettisen topologian ratkaisemattomista ongelmista löytyy julkaisusta [161] . $13$
-joukkoja komplementaaristen joukkojen kardinaalisuutta ei tunneta edes yksiulotteisessa tapauksessa [162] . $A$
Päteekö mitoitusteorian päälause kompakteille tiloille : induktiivinen ulottuvuus (Urysohnin mukainen mitta) on yhtä suuri kuin kansien avulla määritetty mitta ? [163]
Mengerin olettamus Tarkastellaan jonkin euklidisen avaruuden kaikkien osajoukkojen luokkaa tai kaikkien erotettavien metriavaruuksien luokkaa . Ei tiedetä täyttyykö ehto kohemologisille mitoille: jokaiselle on sellainen kompakti joukko , että , missä . [164] $R^{n}$ $K$ $X\in Q$ ${\bar {X}}\in Q$ $d({\bar {X)))=d(X)$ $d(X)=dim_{G}X$
Kirjassa on useita kymmeniä ratkaisemattomia kysymyksiä vetäytymisteoriasta [165] .
Kirjasta löytyy useita ratkaisemattomia ongelmia neliulotteisessa topologiassa [166] .

Lineaarinen algebra

Fréchet'n ongelma determinantin maksimista Etsi determinantin maksimi , jossa kaikki ovat yhtä suuria . Vain arviot [167] tunnetaan . $\Delta _{n}=\det \|\varepsilon _{ij}\|\ (i,\;j=1,\;2,\;\ldots ,\;n),$ $\varepsilon_{ij}$ $\pm 1$ ${\sqrt {n!)}}\leqslant \max \mid \Delta _{n}\mid \leqslant n^{\frac {n}{2}}$

Satunnaisprosessien teoria

Ongelmalle satunnaisprosessin päästöjen lukumäärän jakautumislain määrittämisestä ei ole yleisessä tapauksessa täydellistä ja kompaktia ratkaisua [168] . $p(n,\;T)$
Ongelma satunnaisprosessin absoluuttisten maksimien jakautumislain määrittämisestä on ratkaistu vain Markovin prosesseille. Muille prosesseille tarkkaa ratkaisua ei tunneta [169] .
Anna hiukkasen vaeltaa avaruudessa : se lähtee ja tekee erillisinä hetkinä yhden hypyn todennäköisyydellä johonkin naapuripisteeseen. Millä todennäköisyydellä hiukkasen liikerata ei ole koskaan ylittänyt itseään vaiheiden jälkeen? Mikä on ei-itseleikkaavan lentoradan pään etäisyyden odotus origosta? [170] ${\displaystyle Z^{n))$ $0$ ${\näyttötyyli 1,2,...}$ ${\displaystyle p={\frac {1}{2^{n))))$ $2^{n}$ $k$
Kolmogorovin ongelma : On olemassa joukko (yleensä kompleksiarvoisia) integroitavia funktioita. Mitä ehtoja (tehokkaasti todennettavissa) näille funktioille on asetettava, jotta jollekin satunnaiskentälle näissä funktioissa tai näiden funktioiden kohdalla ovat spektritiheydet luokkaa, ? [171] $f_{j}(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{j-1}),j\in \left\{2,3,... ,k\oikea\}$ ${\näyttötyyli \xi (t)\in D^{(k)))$ $t\in R^{n},\lambda _{j}\in R^{n},i={\bar {1,j-1))$ $t\in Z^{n},\lambda _{i}\in \left[-\pi ,\pi \right],i={\bar {1,j-1))$ $j$ ${\displaystyle j\in \left\{2,3,...,k\right\))$

Funktionaalinen analyysi

Kirjasta [172] löytyy luettelo 22 ratkaisemattomasta ongelmasta operaattoreiden teoriassa Banach-avaruudessa .
Kirjassa [173] on luettelo kuudesta ratkaisemattomasta ongelmasta elliptisten operaattoreiden teoriassa monimutkaisissa analyyttisissä monissa .
Onko jokaisessa Banach-avaruudessa ääretön aliavaruus, jolla on ehdoton perusta? [174]
Kirja muotoilee funktionaalisen analyysin ratkaisemattomia ongelmia [175] . $30$
Voidaanko Cauchyn-Kovalevskajan lausetta yleistää yhtälöihin osittaisissa funktionaalisissa derivaatoissa ? [176]

Dynaamisten järjestelmien teoria

Ei tiedetä, onko kahden tai useamman jäykän biljardipallon järjestelmä K-virtaus ei-singulaarisissa vuorovaikutuksissa [177] .
Onko olemassa universaali skenaario dynaamisten järjestelmien siirtymiselle kaaokseen? [178]
Onko mahdollista kuvata kaaoksen komplikaatioprosessia bifurkaatioiden avulla? [178]

Riemannilainen geometria

Hopfin ongelma Onkopositiivisen kaarevuuden Riemannin metriikka olemassa differentioituvassa monistossa? [179] . $S^{2} \kertaa S^{2}$

Toimintatutkimus

Eikö ole olemassa kombinatorista menetelmää lineaarisen kokonaislukuohjelmoinnin ongelmien ratkaisemiseksi polynomisella (eikä eksponentiaalisella) kustannusarviolla? [180] .
Algoritmisille optimointimenetelmille ei ole olemassa yleistä teoriaa, joka mahdollistaisi konvergenssin kiihtyvyyden ja iteraatiovaiheen valinnan varmistamisen monivaiheisten algoritmien yleisessä tapauksessa [181] .
Edellytykset lähentymiselle lähes varmasti monivaiheisten adaptaatio- ja oppimisalgoritmien alueeseen ovat tuntemattomia [182] .
Säännöt mukautus- ja oppimisalgoritmin stationaarisuuden muodostumishetken määrittämiseksi ovat tuntemattomia [182] .
Arvioita approksimaatiotarkkuuden riippuvuudesta funktioiden lukumäärästä ja arviot tunnistusalgoritmien oppimisajasta ei tunneta [183] .
Ei ole olemassa yleisiä menetelmiä puolueettomien arvioiden saamiseksi tietylle optimiteettikriteerille tunnistusongelmissa [184] .
Yleisiä sääntöjä funktiojärjestelmän valinnalle suodatusongelmissa ei tunneta [185] .
Ulkoisten vaikutusten muutosnopeuden ja suodattimen sovitusprosessin keston välistä suhdetta ei ole tutkittu [185] .
Ei ole tunnettuja tapoja käyttää a priori -informaatiota satunnaismuuttujien jakaumista adaptiivisten suodattimien rakentamiseen [185] .
Ei ole tunnettua tapaa soveltaa adaptiivista lähestymistapaa nopeutettuun luotettavuustestaukseen [186] .
Ei ole olemassa yleistä teoriaa verkkosuunnittelusta, joka käyttäisi adaptiivista lähestymistapaa riittämättömällä ennakkoinformaatiolla [187] .
Onko mahdollista toteuttaa mielivaltainen todennäköisyys-operaattorimitta jonkin fyysisen laitteen avulla? [188]
Menetelmiä päätöksenteon ja estimoimisen kvanttiteorian optimointiyhtälöiden ratkaisemiseksi ei tunneta [189] .
Miten arvioiden tarkkuus riippuu havaintojen määrästä kvanttiestimointiteoriassa? [189]
Luettelo adaptiivisten ja oppimisjärjestelmien teorian ratkaisemattomista ongelmista on artikkelissa [190] $kaksikymmentä$

Algebrallinen geometria

Kirjasta [191] löytyy luettelo kahdeksasta ratkaisemattomasta algebrallisen geometrian ongelmasta .
Koivu-Swinnerton-Dyer-hypoteesi . Missä olosuhteissa algebrallisten yhtälöiden muodossa olevilla diofantiiniyhtälöillä on ratkaisuja kokonaislukuina ja rationaalilukuina? [192]
Hodgen hypoteesi . Kaikissa ei-degeneroituneissa projektiivisissä kompleksisissa algebrallisissa variaatioissa mikä tahansa Hodge-luokka on rationaalinen lineaarinen algebrallisten sykliluokkien yhdistelmä [193] .

Automaattiteoria

Onko mahdollista muotoilla matemaattisesti kyky toistaa itseään hunajakennorakenteita? [194]
Ei ole tunnettua tapaa määrittää, kuinka monimutkainen järjestelmä (esim. molekyyli) on muodostettava osista, jotta se kykenisi replikoitumaan ja kehittymään jälkeläisten komplikaatioiden kanssa? [194]
Voiko hunajakennorakenteessa olla itseään toistuvia konfiguraatioita, mutta ei pyyhittäviä? [195]
Miten koneet saadaan toistamaan itseään ei peräkkäin, vaan rinnakkain? [195]

Variaatiolaskelma

Kirjassa [196] on lausumia muunnelmien laskennan ratkaisemattomista ongelmista, jotka liittyvät joukkojen ja funktioiden variaatioihin . $kaksikymmentä$

Monimuuttuja monimutkainen analyysi

Luettelo moniulotteisen kompleksisen analyysin ratkaisemattomista ongelmista on kirjassa [197] . $9$

Optimaalinen ohjaus

Yksityiskohtainen keskustelu optimaalisen säätöteorian ratkaisemattomista ongelmista löytyy kirjasta [198] . $12$
Luettelo hajautetuilla parametreilla varustettujen singulaarijärjestelmien optimaalisen ohjauksen ratkaisemattomista ongelmista on kirjassa [199] . $80$

Katso myös

skotlantilainen kirja

Muistiinpanot

↑ Stuart, 2015 , s. 37.
↑ Weisstein , Eric W. Van der Waerden numero Wolfram MathWorldissä .
↑ Stuart, 2015 , s. 406.
↑ S.A. Belyaev "Kolmion palauttaminen annetuista pisteistä"
↑ Ratkaisematon tehtävä 26: Kun otetaan huomioon yksinkertainen suljettu käyrä tasossa, voimmeko löytää tästä käyrästä aina neljä pistettä, jotka ovat neliön kärkipisteitä? Arkistoitu 17. toukokuuta 2011 Wayback Machinessa Viikon ratkaisematon ongelma Arkistoitu 25. heinäkuuta 2011 Wayback Machinessa . MathPro Press.
↑ Weisstein, Eric W. Square Inscribing Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Ratkaisematon tehtävä 33: Onko olemassa sellainen vakio A, että minkä tahansa alueen A tasossa olevan joukon tulee sisältää kolmion, jonka pinta-ala on 1, kärjet? Arkistoitu 17. toukokuuta 2011 Wayback Machinessa Viikon ratkaisematon ongelma Arkistoitu 25. heinäkuuta 2011 Wayback Machinessa . MathPro Press.
↑ 1 2 Ulam S. Luku III // Ratkaisemattomia matemaattisia tehtäviä. - Tiede, 1964.
↑ Ratkaisematon tehtävä 22: Onko olemassa kolmio, jonka sivut, mediaanit ja pinta-ala on kokonaisluku? Arkistoitu 17. toukokuuta 2011 Wayback Machinessa Viikon ratkaisematon ongelma Arkistoitu 25. heinäkuuta 2011 Wayback Machinessa . MathPro Press.
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Rational Distance Problem (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Ratkaisematon tehtävä 13: Onko tasossa piste, joka on rationaalisen etäisyyden päässä yksikköneliön jokaisesta neljästä kulmasta? Arkistoitu 17. toukokuuta 2011 Wayback Machinessa Viikon ratkaisematon ongelma Arkistoitu 25. heinäkuuta 2011 Wayback Machinessa . MathPro Press.
↑ Weisstein , Eric W. Shephardin olettamus Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Hämmästyttävät määrät polyhedraa . Haettu 20. joulukuuta 2008. Arkistoitu alkuperäisestä 29. joulukuuta 2008. (määrätön)
↑ Weisstein, Eric W. Tetrahedron Circumscribing Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Thomsonin ongelma . Haettu 19. joulukuuta 2008. Arkistoitu alkuperäisestä 20. toukokuuta 2009. (määrätön)
↑ Ratkaisematon tehtävä 23: Kuinka paikantaa 13 kaupunkia pallomaiselle planeetalle, jotta niiden kahden välinen vähimmäisetäisyys olisi mahdollisimman suuri? Arkistoitu 17. toukokuuta 2011 Wayback Machinessa Viikon ratkaisematon ongelma Arkistoitu 25. heinäkuuta 2011 Wayback Machinessa . MathPro Press.
↑ 2-pallon hajottaminen pienimmän mahdollisen halkaisijan omaaviksi alueiksi (downlink)
↑ AlonDiskreetti matematiikka: menetelmät ja haasteet 14. maaliskuuta 2022 Wayback Machinessa
↑ Pikselilaskenta, Mu-Ency at MROB . Haettu 21. joulukuuta 2008. Arkistoitu alkuperäisestä 10. elokuuta 2019. (määrätön)
↑ Jeandel, Emmanuel & Rao, Michael (2015), 11 Wang-laatan ajoittainen sarja, CoRR . (Ei-jaksollinen 11 laatan sarja, jossa on 4 väriä.)}
↑ Weisstein, Eric W. Illumination Problem Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Kokonaislukuetäisyydet . Haettu 8. syyskuuta 2010. Arkistoitu alkuperäisestä 18. marraskuuta 2010. (määrätön)
↑ Tobias Kreisel, Sascha Kurz, On kiinteät seitsemän kulmiot, ei kolmea pistettä suoralla, ei neljää ympyrällä Arkistoitu 11. kesäkuuta 2007 Wayback Machine -sivustolle
↑ Erich Friedman, Tasogeometrian ratkaisemattomat ongelmat Arkistoitu 13. kesäkuuta 2010 Wayback Machinessa
↑ Bonnesen T., Fenchel W. Theorie der konvexen Körper. - Berliini : Verlag von Julius Springer, 1934. - S. 127-139. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 3, Heft 1). (Saksan kieli)
↑ Kawohl B. Convex Sets of Constant Width // Oberwolfach-raportit. - Zurich : European Mathematical Society Publishing House, 2009. - Voi. 6 , ei. 1 . - s. 390-393 .
↑ Anciaux H., Guilfoyle B. Kolmiulotteisesta Blaschke-Lebesguen ongelmasta // Proceedings of the American Mathematical Society. - Providence : American Mathematical Society , 2011. - Voi. 139 , nro. 5 . - P. 1831-1839 . — ISSN 0002-9939 . - doi : 10.1090/S0002-9939-2010-10588-9 . arXiv : 0906.3217
↑ Dorogovtsev, 1983 , s. 96.
↑ Tasaisten ympyröiden pakkaaminen pallon päälle . Käyttöpäivä: 22. joulukuuta 2008. Arkistoitu alkuperäisestä 20. toukokuuta 2009. (määrätön)
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Circle Packing Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Yhteysnumero . Haettu 20. joulukuuta 2008. Arkistoitu alkuperäisestä 13. maaliskuuta 2012. (määrätön)
↑ Weisstein, Eric W. Yhteysnumero Wolfram MathWorldin verkkosivustolla .
↑ Weisstein, Eric W. Keplerin arvelu Wolfram MathWorldissä .
↑ Kovalev M.D. Kinematiikan ja stiikan geometriset kysymykset. - Moskova : Lenand, 2019. - 249 s.
↑ R. Grigorchuk, I. Pak Keskitason kasvuryhmät : Johdatus aloittelijoille arXivissa
↑ Sharipov, RA (2009), Transfinite-normaali ja ryhmien koostumussarja, arΧiv : 0908.2257 [math.GR].
↑ Kargapolov M. I., Merzlyakov Yu. I. Ryhmäteorian perusteet. - M .: Nauka, 1972. - S. 30.
↑ L.S. Pontryagin. Jatkuvat ryhmät. - Nauka, 1972. - 349 s.
↑ 1 2 A.I. Maltsev. Algebralliset järjestelmät. - Nauka, 1970. - 299 s.
↑ Kurosh, Ryhmäteoria, 1967 , s. 424.
↑ Kurosh, Ryhmäteoria, 1967 , s. 426.
↑ Kurosh, Ryhmäteoria, 1967 , s. 429.
↑ Hyperkompleksiluvut, 1973 , s. neljä.
↑ Vapaat renkaat ja niiden liitokset, 1975 .
↑ Ershov, 1987 , s. 110.
↑ Fuchs, 1974 , s. 47, 88, 116, 134, 158, 159, 186, 210, 242, 243, 292, 318.
↑ Kourovskaja muistikirja (ryhmäteorian ratkaisemattomat ongelmat) / Toimittajat: M. I. Kargapolov (päätoimittaja), Yu. I. Merzlyakov, V. N. Remeslennikov. - 4. painos - Novosibirsk: Neuvostoliiton tiedeakatemian Siperian sivuliikkeen matematiikan instituutti, 1973.
↑ Ratkaisemattomia ongelmia ryhmäteoriassa. Kourovskaja muistikirja / Comp. V. D. Mazurov, E. I. Khukhro. - 18. painos, lisäys. - Novosibirsk: Venäjän tiedeakatemian Siperian sivuliikkeen matematiikan instituutti, 2014. - 253 s.
↑ Ratkaisemattomia ongelmia ryhmäteoriassa. Kourovskaja muistikirja / Comp. V. D. Mazurov, E. I. Khukhro. - 19. painos, lisäys. - Novosibirsk: Venäjän tiedeakatemian Siperian sivuliikkeen matematiikan instituutti, 2018. - 248 s.
↑ Dnesterin muistikirja. Ratkaisemattomia ongelmia renkaiden ja moduulien teoriassa / Comp. V. T. Filippov, V. K. Kharchenko, I. P. Shestakov. - 4. painos - Novosibirsk : Matematiikan instituutti SB RAS , 1993. - 73 s.
↑ Sverdlovsk muistikirja: la. ratkaisemattomia ongelmia puoliryhmien teoriassa. - Sverdlovsk : Ural State University , 1979. - 41 s.
↑ Sverdlovsk muistikirja: la. ratkaisemattomia ongelmia puoliryhmien teoriassa. - Sverdlovsk : Ural State University , 1989.
↑ Erlagol muistikirja. Erlagolin konferenssikoulujen osallistujien esittämiä valikoituja avoimia kysymyksiä algebrasta ja malliteoriasta / Comp. A. G. Pinus, E. N. Porošenko, S. V. Sudoplatov. - Novosibirsk: Novosibirskin valtion teknillinen yliopisto, 2018. - 40 s. — ISBN 978-5-7782-3548-9 . Arkistoitu 5. heinäkuuta 2018 Wayback Machineen
↑ Stuart, 2015 , s. 225.
↑ Scalable Uncertainty Management: 9th International Conference, SUM 2015, Québec City, QC, Kanada, 16.-18.9.2015. Proceedings . - Springer, 15.9.2015. - S. 5. - 427 s.
↑ Weisstein , Eric W. Luonnollinen logaritmi 2 Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Thomas Wieting. Khinchin-sekvenssi (englanniksi) // Proceedings of the American Mathematical Society. – 30.11.2007. — Voi. 136 , iss. 03 . — s. 815–825 . — ISSN 0002-9939 . - doi : 10.1090/S0002-9939-07-09202-7 .
↑ Weisstein, Eric W. Flint Hills -sarja Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Weisstein, Eric W. Irrationaalinen luku (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Weisstein, Eric W. Pi Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Weisstein, Eric W. e Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Joitakin ratkaisemattomia lukuteorian ongelmia . Haettu 12. joulukuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 19. heinäkuuta 2010. (määrätön)
↑ Weisstein, Eric W. Transsendenttinen numero (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Johdatus irrationaalisuuteen ja transsendenssimenetelmiin . Haettu 12. joulukuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 17. toukokuuta 2013. (määrätön)
↑ Marshall, Ash J. ja Tan, Yiren , "Rational number of form a a with a irrational", Mathematical Gazette 96, maaliskuu 2012, pp. 106-109. . Haettu 28. huhtikuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 6. toukokuuta 2014. (määrätön)
↑ Weisstein, Eric W. Measure.html Irrationaalisuuden mittaus Wolfram MathWorldissä .
↑ Le Lionnais, F. Les nombres remarquables ( ISBN 2-7056-1407-9 ). Paris: Hermann, s. 46, 1979. Wolfram Mathworldin kautta, Transsendenttinen numero Arkistoitu 13. marraskuuta 2014 Wayback Machinessa
↑ 1 2 Chudnovsky, GV Avustuksia transsendenttisten lukujen teoriaan . - Providence, RI: American Mathematical Society , 1984. - ISBN 0-8218-1500-8 . Wolfram Mathworldin kautta, Transsendenttinen numero Arkistoitu 13. marraskuuta 2014 Wayback Machinessa
↑ Weisstein , Eric W. Pellin vakio Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Sprindzhuk V. G. Todistus Mahlerin olettamuksesta S-lukujoukon mittaan // Izv. Neuvostoliiton tiedeakatemia, ser. matto. - 1965. - V. 29, nro 2. - S. 379-436. - URL: http://mi.mathnet.ru/izv2913
↑ Sprindzhuk, 1967 , s. kahdeksan.
↑ Sprindzhuk, 1967 , s. 150-154.
↑ Minkki H. Permanents. - M .: Mir, 1982. - 211 s.
↑ Rybnikov, 1972 , s. 96.
↑ Rybnikov, 1972 , s. 110.
↑ Kapitonova, 2004 , s. 530.
↑ Boltyansky, 1965 , s. 47.
↑ Boltyansky, 1965 , s. 83.
↑ Grünbaum, 1971 , s. 6.
↑ Caccetta-Häggkvistin arvelu (1978) . Haettu 10. heinäkuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 7. kesäkuuta 2011. (määrätön)
↑ Graafiteorian luentoja, 1990 , s. 264.
↑ 1 2 Graafiteorian luentoja, 1990 , s. kahdeksantoista.
↑ Graafiteorian luentoja, 1990 , s. 286.
↑ Graafiteoria, 1988 , s. 154.
↑ Stuart, 2015 , s. 407.
↑ Graafiteorian luentoja, 1990 , s. 47.
↑ V. G. Vising Joitakin ratkaisemattomia ongelmia graafiteoriassa // Uspekhi Mat . Nauk , 23:6(144) (1968), 117–134; Venäjän matematiikka. Surveys, 23:6 (1968), 125-141
↑ Adams, Colin (2004), The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3678-1
↑ Juri Matiyasevitš, Hilbertin kymmenes ongelma: Mitä tehtiin ja mitä on tehtävä Arkistoitu 13. kesäkuuta 2010 Wayback Machinessa
↑ Matiyasevitš Yu. V. Hilbertin kymmenes tehtävä. - Tiede, 1993.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Uspensky V. A. , Semjonov A. L. Algoritmien teoria: tärkeimmät löydöt ja sovellukset. - Tiede, 1987.
↑ Milloin matriisipari on kuolevainen? . Haettu 6. toukokuuta 2010. Arkistoitu alkuperäisestä 8. joulukuuta 2015. (määrätön)
↑ Razborov, 2016 , s. 24.
↑ Weisstein, Eric W. Graafinen isomorfismi Wolfram MathWorldissä .
↑ "Vaikka joku onnistuisi todistamaan yhden olettamuksista - osoittaen siten, että ω = 2 - seppeletuotteen lähestymistapaa ei todennäköisesti voida soveltaa käytännössä esiin tuleviin suuriin matriisiongelmiin. (…) syöttömatriisien on oltava tähtitieteellisesti suuria, jotta aikaero olisi ilmeinen." Le Gall, François (2014), Tensorien ja nopean matriisin kertolasku, Proceedings of the 39th International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation ( ISSAC 2014)
↑ 1 2 Jäsentäminen, 2016 , s. 9.
↑ I. V. Abramov. Automaattiteoria, kielet ja laskennat. - M. , 2003.
↑ OEIS - sekvenssi A028444 _
↑ Ebbinhouse, 1972 , s. 245-247.
↑ Transfiniittiset ordinaalit ja niiden merkinnät . Käyttöpäivä: 4. syyskuuta 2010. Arkistoitu alkuperäisestä 17. marraskuuta 2010. (määrätön)
↑ Sivuston ylläpito . Haettu 14. helmikuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 21. syyskuuta 2015. (määrätön)
↑ Skolem + Tetration on hyvin järjestetty (downlink)
↑ Skolemin ordinaal + Tetration on τ0 (downlink)
↑ Vaclav Sierpinski . Kardinaali ja järjestysnumerot. - Varsova : Polish Scientific Publishers, 1965. (englanniksi)
↑ Joukkoteoria ja pakotusmenetelmä, 1973 , s. 17.
↑ Joukkoteoria ja pakotusmenetelmä, 1973 , s. 66.
↑ Joukkoteoria ja pakotusmenetelmä, 1973 , s. 81.
↑ Joukkoteoria, 1970 , s. 324.
↑ 1 2 Yu. I. Manin , Jatkonuumin ongelma // Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Moderni prob. mat., 5, VINITI, M., 1975, 5-72
↑ Stoll, 1968 , s. 156.
↑ Stoll, 1968 , s. 157.
↑ Yleisalgebra, 1990 , s. 35.
↑ WolframScience Conference NKS2006 . Haettu 7. syyskuuta 2010. Arkistoitu alkuperäisestä 17. kesäkuuta 2010. (määrätön)
↑ Kreisel, 1981 , s. 54, 59, 60, 82.
↑ Tabor M. Kaaos ja integroitavuus epälineaarisessa dynamiikassa. - per. englannista. - M .: "Toimitus URSS", 2001. - 320 s. - ampumarata 1000 kopiota — ISBN 5-8360-0192-8 . - ch. 1 "Differentiaaliyhtälöiden dynamiikka", 1.4 "Lineaarinen stabiilisuusanalyysi", 1.4d "Rajajaksot". - Kanssa. 29
↑ Keskiarvomenetelmä sovelletuissa ongelmissa, 1986 , s. 68.
↑ Keskiarvomenetelmä sovelletuissa ongelmissa, 1986 , s. 74.
↑ Solitonit matematiikassa ja fysiikassa, 1989 , s. 181.
↑ Solitonit matematiikassa ja fysiikassa, 1989 , s. 310.
↑ Trikomi, 1947 , s. yksitoista.
↑ Yu. V. Linnik , I. V. Ostrovsky, Satunnaismuuttujien ja vektorien laajennukset. - M .: Nauka, 1972. - 479 sivua - ch. X. Ratkaisemattomat ongelmat
↑ Geometriset todennäköisyydet, 1972 , s. 66.
↑ Dorogovtsev, 1983 , s. 100.
↑ Dorogovtsev, 1983 , s. 103.
↑ Kostrikin A.I. , Manin Yu.I. Lineaarinen algebra ja geometria. - Pietari: Lan, 2008. - S. 304. - ISBN 978-5-8114-0612-8 .
↑ 1 2 3 F. J. Dyson , Missed Opportunities , Uspekhi Mat . Nauk , 35:1(211) (1980), 171-191
↑ Bogolyubov N. N. , Shirkov D. V. Johdatus kvantisoitujen kenttien teoriaan. - M . : Nauka, 1973. - S. 322.
↑ G. Bethe . Kvanttimekaniikka. - M .: Mir, 1965. - s. 12.
↑ Prigogine I. , Stengers I. Aika, kaaos, kvantti. Ratkaisemaan ajan paradoksi. - M .: Pääkirjoitus URSS, 2003. - s. 114, - ISBN 5-354-00268-0 .
↑ Stuart, 2015 , s. 308.
↑ Stuart, 2015 , s. 315.
↑ Betyaev S. K. Hydrodynamiikka: ongelmia ja paradokseja Arkistokopio päivätty 16. lokakuuta 2013 Wayback Machinessa // UFN , vol. 165, 1995, No. 3, s. 299-330
↑ Maan ja planeettojen sisäinen rakenne, 1978 , s. 80.
↑ Modernin matemaattisen fysiikan menetelmät, 1978 , s. osa 2, s. 370.
↑ Schrödinger-operaattorit, joilla on sovelluksia kvanttimekaniikkaan ja globaaliin geometriaan, 1990 , s. 9.
↑ Stuart, 2015 , s. 348.
↑ Ziman, 1974 , s. 55.
↑ Ziman, 1974 , s. 403.
↑ Ziman, 1974 , s. 152.
↑ Novikov, 1986 , s. 99.
↑ Novikov, 1986 , s. 151.
↑ Novikov, 1986 , s. 267.
↑ Novikov, 1986 , s. 132.
↑ Mikhlin, 1968 , s. 553.
↑ Harrison, 1968 , s. kaksikymmentä.
↑ Harrison, 1968 , s. 144.
↑ Harrison, 1968 , s. 150.
↑ Harrison, 1968 , s. 177.
↑ Mostepanenko, 1966 , s. 86.
↑ Bogolyubov, 1969 , s. 176,213.
↑ Bogolyubov, 1969 , s. 190.
↑ Cercignani, 1978 , s. 40.
↑ Cercignani, 1978 , s. 291.
↑ Aizerman, 1980 , s. 228.
↑ Konoplyova, 1980 , s. 218.
↑ 1 2 3 McKinsey J. Johdatus peliteoriaan. - M .: Fizmatlit, 1960. - S. 224
↑ Ei-atomipelien merkitykset, 1977 , s. 19, 62, 141, 153, 182, 271, 272, 274.
↑ Sopeutuminen ja oppiminen automaattisissa järjestelmissä, 1968 , s. 318.
↑ Kirillov A. A. Edustusteorian elementit. — M.: Nauka, 1978. — S. 227
↑ Kelly J. L. Yleinen topologia. - M .: Nauka, 1968. - S. 232.
↑ Malykhin V. I. Topologia ja pakottaminen // Uspekhi Mat . - 1983. - T. 38. - Nro 1 (229). - S. 69-118.
↑ Aleksandrov P. S. Johdanto joukkoteoriaan ja yleiseen topologiaan. - M .: Nauka, 1977. - S. 219.
↑ Gurevich, 1948 , s. neljätoista.
↑ Kuzminov V.I. Homologinen ulottuvuusteoria // Uspekhi Mat . - 1968. - V. 23, nro 5. - P. 5. - URL: http://mi.mathnet.ru/umn5668
↑ Borsuk, 1971 , s. 257-277.
↑ Mandelbaum, 1981 , s. 82,178,202,255,263,266.
↑ Dorogovtsev, 1983 , s. 98.
↑ Satunnaisprosessien päästöt, 1970 , s. 243.
↑ Satunnaisprosessien päästöt, 1970 , s. 280.
↑ Dorogovtsev, 1983 , s. 99.
↑ Dorogovtsev, 1983 , s. 107.
↑ Operator Theory, 1977 , s. 272.
↑ Schwartz, 1964 , s. 177.
↑ Kerin S. G. Funktionaalinen analyysi. - M., Nauka , 1972. - s. 70
↑ Lyons, 1971 , s. 130-132,255-256,340-341.
↑ Levy, 1967 , s. 172.
↑ Olemassa olevista uusiin, 2006 , s. 57.
↑ 1 2 Epälineaarinen dynamiikka ja kaaos, 2011 , s. 151.
↑ Gromol D., Klingenberg V., Meyer V. Riemannilainen geometria yleisesti. - M .: Mir, 1971. - S. 282.
↑ toim. Moiseev N. N. Operaatiotutkimuksen teorian nykytila. - M .: Nauka, 1979. - S. 289.
↑ Sopeutuminen ja oppiminen automaattisissa järjestelmissä, 1968 , s. 55.
↑ 1 2 Sopeutuminen ja oppiminen automaattisissa järjestelmissä, 1968 , s. 90.
↑ Sopeutuminen ja oppiminen automaattisissa järjestelmissä, 1968 , s. 135.
↑ Sopeutuminen ja oppiminen automaattisissa järjestelmissä, 1968 , s. 165.
↑ 1 2 3 Sopeutuminen ja oppiminen automaattisissa järjestelmissä, 1968 , s. 198.
↑ Sopeutuminen ja oppiminen automaattisissa järjestelmissä, 1968 , s. 257.
↑ Sopeutuminen ja oppiminen automaattisissa järjestelmissä, 1968 , s. 278.
↑ Helstrom, 1979 , s. 325.
↑ 1 2 Helstrom, 1979 , s. 326.
↑ Tsypkin Ya. Z. Sopeutuminen, oppiminen ja itseoppiminen automaattisissa järjestelmissä // Automaatio ja telemekaniikka . - 1966. - nro 1. - S. 23-61. — ISSN 0005-2310. - URL-osoite: http://mi.mathnet.ru/at10991
↑ Johdatus kaavioteoriaan ja kvanttiryhmiin, 2012 , s. 246.
↑ Stuart, 2015 , s. 360.
↑ Stuart, 2015 , s. 367.
↑ 1 2 Bellman, 1966 , s. 56.
↑ 1 2 Bellman, 1966 , s. 57.
↑ Ivanov, 1975 , s. 59, 112, 190, 245, 270.
↑ Griffiths, 1976 , s. 8, 10, 42, 54, 66, 79, 80, 85, 88.
↑ Moiseev, 1975 , s. 89, 115, 147, 192, 208, 268, 278, 303, 304, 365, 398, 446.
↑ Lyons, 1987 , s. 152, 257, 334, 357.

Kirjallisuus

Yeh T. Joukkoteoria ja pakotusmenetelmä. - M . : Mir, 1973. - 147 s.
Tikhonov V.I. Satunnaisten prosessien päästöt. - M .: Nauka, 1970. - 392 s.
toim. Akilov GP Operaattoreiden teoria toiminnallisissa tiloissa. - Novosibirsk: Nauka, 1977. - 392 s.
Auman R., Shepley L. Ei-atomipelien merkitykset. - M .: Mir, 1977. - 357 s.
Grebenikov EA Keskiarvomenetelmä sovelletuissa tehtävissä. - M .: Nauka, 1986. - 256 s.
Prigogine I. Olemassa olevasta syntymään. - M . : KomKniga, 2006. - 296 s.
Kurosh A.G. Ryhmien teoria. - 3. painos - M . : Nauka, 1967. - 638 s.
Zharkov VN Maan ja planeettojen sisäinen rakenne. - M .: Nauka, 1978. - 192 s.
Newell A. Solitons matematiikassa ja fysiikassa. - M .: Mir, 1989. - 326 s. — ISBN 5-03-001118-8 .
Tsypkin Ya. Z. Sopeutuminen ja oppiminen automaattisissa järjestelmissä. - M .: Nauka, 1968. - 400 s.
Kuratovsky K. , Mostovsky A. Joukkoteoria . - M . : Mir, 1970. - 413 s.
Ulam S. Ratkaisemattomat matemaattiset ongelmat. - M .: Nauka, 1964. - 168 s.
Manin Yu. I. Johdatus kaavioiden ja kvanttiryhmien teoriaan. - M. : MTSNMO, 2012. - 256 s.
Kantor I. L., Solodovnikov A. S. Hyperkompleksiluvut. - M .: Nauka, 1973. - 143 s.
Emelichev V. A., Melnikov O. I., Sarvanov V. I., Tyshkevich R. I. Graafiteorian luentoja. - M .: Nauka, 1990. - 384 s. — ISBN 5-02-013992-0 .
Zikon H., Froese R., Kirsch W., Simon B. Schrödinger-operaattorit kvanttimekaniikassa ja globaalissa geometriassa. - M .: Mir, 1990. - 408 s. — ISBN 5-03-001422-5 .
Lue M., Simon B. Modernin matemaattisen fysiikan menetelmät, 4 osaa - M .: Mir, 1978. - 1000 s.
Tatt W. Graafiteoria . - M .: Mir, 1988. - 424 s.

Kendall M., Moran P. Geometriset todennäköisyydet. - M . : Nauka, 1972. - 192 s.
Kon P. Vapaat renkaat ja niiden liitännät. - M .: Mir, 1975. - 420 s.
Ershov Yu. L. , Palyutin E. A. Matemaattinen logiikka. - M .: Nauka, 1987. - 336 s.
Ian Stewart . Suurimmat matematiikan ongelmat. — M. : Alpina tietokirjallisuus, 2015. — 460 s. - ISBN 978-5-91671-318-3 .
Ziman J. Jäykkien kappaleiden teorian periaatteet. - M .: Mir, 1974. - 472 s.
Helstrom K. Kvanttiteoria hypoteesien testaamisesta ja arvioinnista. - M .: Mir, 1979. - 344 s.
Novikov I. D. , Frolov V. P. Mustien aukkojen fysiikka. - M .: Nauka, 1986. - 328 s.
Mikhlin S. G. Matemaattisen fysiikan kurssi. - M .: Nauka, 1968. - 575 s.
Harrison W. Pseudopotentiaalit metallien teoriassa. - M .: Mir, 1968. - 366 s.
Bellman R. Biologian matemaattisia ongelmia. - M .: Mir, 1966. - 277 s.
V. G. Boltyansky , I. Ts. Gokhberg . Kombinatorisen geometrian lauseet ja ongelmat . - M .: Nauka, 1965. - 107 s.
Tricomi Francesco . Sekatyyppisillä lineaarisilla yhtälöillä. - M .: OGIZ GITTL, 1947. - 190 s.
Ivanov L. D. Joukkojen ja funktioiden muunnelmia. - M .: Nauka, 1975. - 352 s.
Mostepanenko A. M., Mostepanenko M. V. Avaruuden ja ajan neliulotteisuus. - L . : Nauka, 1966. - 189 s.
Gurevich V., Volman R. Dimensioteoria. - L .: IL, 1948. - 231 s.
Stoll R. R. -sarjat. Logiikka. aksiomaattisia teorioita. - M . : Koulutus, 1968. - 231 s.
Bogolyubov N. N. , Logunov A. A. , Todorov I. T. Aksiomaattisen lähestymistavan perusteet kvanttikenttäteoriassa. - M .: Nauka, 1969. - 424 s.
Borsuk K. Perääntymisen teoria. - M .: Mir, 1971. - 291 s.
Mandelbaum R. Neliulotteinen topologia. - M .: Mir, 1981. - 286 s.
Sprindzhuk VG Mahlerin ongelma metrilukuteoriassa. - Minsk: Tiede ja tekniikka, 1967. - 184 s.
Griffiths F., King J. Nevanlinnan teoria ja algebrallisten lajikkeiden holomorfiset kartoitukset. - M .: Mir, 1976. - 95 s.
Moiseev NN Optimaalisten järjestelmien teorian elementit. - M .: Nauka, 1975. - 526 s.
Cherchinyani K. Boltzmannin yhtälön teoria ja sovellukset. - M .: Mir, 1978. - 495 s.
Schwartz L. Monimutkaiset jakoputket. Elliptiset yhtälöt. - M . : Mir, 1964. - 212 s.
Kreizel G. Todistusteorian opintoja. - M .: Mir, 1981. - 289 s.
Razborov A. A. Algebrallinen monimutkaisuus. — M .: MTsNMO , 2016. — 32 s. - ISBN 978-5-4439-1032-1 .
Grunbaum B. Etudes kombinatorisesta geometriasta ja kupereiden kappaleiden teoriasta. - M .: Nauka, 1971. - 93 s.
Brudno A. L. Reaalimuuttujan funktioiden teoria. - M .: Nauka, 1971. - 119 s.
Malinetsky G. G. , Potapov A. B. Epälineaarinen dynamiikka ja kaaos: peruskäsitteet. - M .: Librokom, 2011. - 240 s. - ISBN 978-5-397-01583-7 .
Lions Zh. L. Yksittäisten hajautettujen järjestelmien hallinta. - M .: Nauka, 1987. - 368 s.
toim. Skornyakov L. A. Yleinen algebra T. 1. - M. : Nauka, 1990. - 592 s.
Ebbinhaus GD, Jacobs K., Man FK, Hermes G. Turingin koneet ja rekursiiviset funktiot. - M .: Mir, 1972. - 262 s.
Rybnikov K. A. Johdatus kombinatoriseen analyysiin. - Moskovan valtionyliopisto, 1972.
Kapitonova Yu. V., Krivoy S. L., Letichevsky A. A. Diskreetin matematiikan luentoja. - SPb., BHV-Petersburg, 2004. - 624 s. - 3000 kappaletta. — ISBN 5-94157-546-7 .
toim. Dorogovtsev A. Ya. Matematiikka tänään. - Kiova, Vishcha-koulu, 1983. - 192 s. - 3000 kappaletta.
Aizerman M.A. Klassinen mekaniikka. - Nauka, 1980. - 367 s.
Konopleva N. P. , Popov V. N. Mittarikentät . - Atomizdat, 1980. - 240 s.
Fuchs L. Äärettömät Abelin ryhmät. - Maailma, 1974.
Lions J.L. , Magenes E. Epähomogeeniset rajaongelmat ja niiden sovellukset. - M .: Mir , 1971. - 386 s.
Levy P. Funktionaalisen analyysin konkreettisia ongelmia. — M .: Nauka , 1967. — 509 s.

Linkit

Avaa ongelmapuutarha
Avoimet kysymykset: Matematiikka
Avoimet ongelmat -projekti
Avaa Math Problems Google- hakemistossa
Videoleikkeitä ratkaisemattomista matemaattisista ongelmista
Ratkaisemattomia ongelmia lukuteoriassa, logiikassa ja kryptografiassa

Kurin mukaan ratkaisemattomat ongelmat
Tähtitiede Biologia Kemia Informatiikka Kielitiede Matematiikka Talous Neurobiologia Fysiikka Tilastot Filosofia Maan tieteet Tiedon teoria Lääke