4D topologia

Neliulotteinen topologia on topologian haara, joka tutkii topologisia ja sileitä neliulotteisia monistoja .

4-ulotteiset joukot esiintyvät yleisessä suhteellisuusteoriassa aika - avaruusajalla .

Erikoisominaisuudet

Dimensiossa 4 topologisten ja sileiden monisarjojen teoria on hyvin erilainen kuin pienempien ja korkeampien ulottuvuuksien teoria.

Kaikissa mitoissa paitsi 4, Kirby-Siebenmann-luokan nollaus antaa tarpeellisen ja riittävän edellytyksen paloittain lineaarisen rakenteen olemassaololle.
Kaikissa mitoissa paitsi 4, kompaktissa topologisessa jakoputkessa on vain rajallinen määrä erilaisia paloittain lineaarisia ja sileitä rakenteita. Dimensiossa 4 niiden lukumäärä voi olla laskettavissa.
Kaikissa ulottuvuuksissa paitsi neljässä euklidisessa avaruudessa ei ole eksoottisia sileitä rakenteita. Dimensiossa 4 niitä on lukematon määrä.
Tasaisen Poincaren arvelun ratkaisu tunnetaan kaikissa ulottuvuuksissa paitsi 4:ssä (se ei yleensä pidä paikkaansa 7:stä alkaen).
- Poincarén oletus paloittain lineaarisille jakoputkille on myös ratkaistu kaikille mitoille paitsi 4.
Tasainen h-kobordismin lause on tosi, jos monisto tai sen raja ei ole dimensiota 4. Se ei ole totta, jos raja on dimensiota 4 (kuten Donaldson osoittaa ), ja ei tiedetä, onko se totta, jos ulottuvuus itse kobordismista on 4.
Whitneyn temppu ei toimi ulottuvuudessa 4.

Luokitus

Topologinen

Yksinkertaisesti kytketyn kompaktin 4-jakotukin homotoopiatyyppi riippuu vain sen leikkausmuodosta .

Friedmannin lauseen mukaan tämän tyyppiset joukot luokitellaan homeomorfismiin asti leikkausmuodon ja Z /2 Z -invariantin, ns. Kirby-Siebenmann-luokan , avulla .
- Lisäksi mikä tahansa unimodulaarisen muodon ja Kirby-Siebenmann-luokan yhdistelmä voi syntyä, paitsi silloin, kun muoto on parillinen, jolloin Kirby-Siebenmann-luokan on oltava yhtä suuri kuin , jossa tarkoittaa leikkausmuodon allekirjoitusta. $\tau /8{\pmod {2}}$ $\tau$

Esimerkkejä:

Erityistapauksessa, kun muoto on 0, lause antaa 4-ulotteisen tapauksen topologisesta Poincarén arvelusta .
Jos muoto on yhtä suuri kuin E 8 , saadaan ns. E8-sarja . Tämä jakosarja ei hyväksy kolmiota.
Muodolle Z on kaksi muunnelmaa riippuen Kirby-Siebenmann-luokasta: 2-ulotteinen kompleksinen projektioavaruus ja väärä projektiivinen avaruus (saman homotoopiatyyppinen, mutta ei sille homeomorfinen).
Kun arvo on suurempi kuin 28, positiivisten määrällisten unimodulaaristen muotojen määrä alkaa kasvaa erittäin nopeasti. Siksi ilmestyy valtava määrä vastaavia yksinkertaisesti kytkettyjä topologisia 4-jakoja.

Friedmanin luokittelua voidaan laajentaa joissakin tapauksissa, joissa perusryhmä ei ole liian monimutkainen. Esimerkiksi, jos se on isomorfinen Z :n kanssa, ryhmän Z ryhmärenkaan päälle on olemassa luokittelu, jossa käytetään hermiittisiä muotoja . Liian suurten perusryhmien tapauksessa (esimerkiksi vapaa ryhmä , jossa on 2 generaattoria) Friedmannin menetelmää ei voida soveltaa, ja tällaisista lajikkeista tiedetään hyvin vähän.

Jokaiselle äärelliselle ryhmälle on olemassa tasainen kompakti 4-ulotteinen monisto, jonka perusryhmä on isomorfinen tälle ryhmälle. Koska ei ole algoritmia sen määrittämiseksi, ovatko kaksi tiettyä ryhmää isomorfisia, ei ole algoritmia sen määrittämiseksi, milloin kahdella lajikkeella on isomorfisia perusryhmiä. Tämä on yksi syistä, miksi suuri osa 4-jakoputkien työstä käsittelee yksinkertaisesti yhdistettyä tapausta: monien ongelmien tiedetään olevan ratkaisemattomia yleisessä tapauksessa.

Tasainen

Enintään 6-mittaiselle joukolle mikä tahansa palakohtainen lineaarinen rakenne voidaan tasoittaa ainutlaatuisella tavalla. [1] Erityisesti 4-ulotteisten palakohtaisten lineaaristen jakoputkien luokittelu ei eroa 4-ulotteisten sileiden jakoputkistojen teoriasta.

Koska topologinen luokittelu tunnetaan, yksinkertaisesti kytkettyjen kompaktien sileiden 4-jakotukkien luokittelu rajoittuu kahteen kysymykseen:

Mitkä topologiset jakosarjat ovat tasoitavia?
Kuinka luokitella sileät rakenteet sileille jakotukille?

Ensimmäiseen kysymykseen on lähes täydellinen vastaus. Ensinnäkin Kirby-Siebenmann-luokka on mitätöitävä, ja toiseksi:

Jos leikkausmuoto on merkkimääräinen, Donaldsonin lause antaa täydellisen vastauksen: sileä rakenne on olemassa silloin ja vain, jos muoto on diagonalisoitavissa.
Jos muoto ei ole merkkimääräinen ja pariton, on olemassa sileä rakenne.
Jos muoto on epämääräinen ja parillinen, voidaan olettaa, että sillä on ei-positiivinen allekirjoitus (muuta muutoin suuntaa). Tässä tapauksessa vastaus riippuu lomakkeen koosta ja sen allekirjoituksesta . $d$ $\tau$
- Jos , niin sileä rakenne on olemassa; se saadaan ottamalla K3-pintojen useiden kopioiden yhdistetty summa ja . $8d\geqslant 11\tau$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{2))$
- Jos , niin Furuta-lauseen mukaan sileää rakennetta ei ole olemassa. $8d\leqslant 10\tau$
- Jäljellä olevaan aukkoon, 10/8 ja 11/8, vastaus on suurelta osin tuntematon. Ns. "11/8-hypoteesi" sanoo, että sileää rakennetta ei ole, jos ulottuvuus/|allekirjoitus| alle 11/8.

Tällä hetkellä ei ole tiedossa yhtäkään tasoitettua monistoa, jonka vastaus toiseen kysymykseen olisi tiedossa. Tällä hetkellä ei ole uskottavaa hypoteesia siitä, miltä tämä luokittelu voisi näyttää.

Donaldson osoitti, että joissakin yksinkertaisesti yhdistetyissä kompakteissa 4-jakoputkissa, kuten Dolgachev-pinnoissa , on lukemattoman määrän erillisiä sileitä rakenteita.

R4 : ssä on lukematon määrä erilaisia sileitä rakenteita .

Muistiinpanot

↑ Milnor, John . Differentiaalitopologia neljäkymmentäkuusi vuotta myöhemmin // Notices of the American Mathematical Society . - 2011. - T. 58 , no. 6 . — S. 804–809 . MR : 2839925

Kirjallisuus

Mandelbaum R. Neliulotteinen topologia. - M .: Mir, 1981. - 286 s.