Risteyksen muoto

Suunnatun kompaktin 4-jakotukin leikkausmuoto on tietty symmetrinen bilineaarinen muoto jakosarjan 2. kohemologiaryhmässä .

Tämä muoto heijastaa suurta osaa jakotukin topologiasta, mukaan lukien tiedot sileän rakenteen olemassaolosta .

Määritelmä

Risteyksen muoto

Q_{M}\colon H^{2}(M;\mathbb {Z} )\times H^{2}(M;\mathbb {Z} )\to \mathbb {Z}

määritelty

Q_{M}(a,b)=\langle a\cup b,[M]\rangle .

Jos monisto on sileä, niin de Rham-kohomologiaa voidaan käyttää määritelmässä esittämällä a ja b 2-muotoina α ja β. Sitten leikkauspisteiden muoto annetaan integraalilla

Q(a,b)=\int \limits _{M}\alpha \wedge \beta

missä tarkoittaa ulkotuloa, katso ulkoalgebra . $\kiila$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Leikkausmuodon allekirjoitus muodostaa tärkeän invariantin, jota kutsutaan jakosarjan allekirjoitukseksi.

Kaksoismääritelmä

Poincarén kaksinaisuus sallii meidän pitää leikkausmuotoa muotona 2 homologiaryhmässä . Tätä varten meidän on esitettävä ryhmän elementit poikittaissuunnassa leikkaavina pinnoina ja laskettava sitten leikkauspisteiden lukumäärä, joiden kertoimet ovat +1 tai −1, riippuen leikkauskohdan suunnasta.

Ominaisuudet

Wun kaavan mukaan neliulotteisella spin-sarjalla on parillinen leikkausmuoto, eli Q ( X , X ) on parillinen jokaiselle X :lle .
- Yksinkertaisesti kytketyille 4-jakotukille (tai yleisemmin jakotukille, joissa ei ole 2-vääntöä ensimmäisessä homologiassa), päinvastoin on myös totta.
4-jako on 5-jaon raja, jos ja vain, jos sillä on nolla-allekirjoitus.
4-ulotteisten spin-jakotukien allekirjoitus on kahdeksan kerrannainen.
- Lisäksi Rokhlinin lauseen mukaan tasaisten , kompaktien 4-ulotteisten spin-jakoputkien tunnusmerkki on 16:n kerrannainen.
Friedmannin lauseen mukaan mille tahansa unimodulaariselle symmetriselle bilineaariselle muodolle kokonaislukujen renkaalla on olemassa yksinkertaisesti yhdistetty suljettu 4-monisto, jolla on tällainen leikkausmuoto. Lisäksi:
- Tasaisille muodoille on vain yksi tällainen lajike.
- Jos muoto on pariton, niin tällaisia jakoputkia on kaksi, ja ainakin toisella (mahdollisesti molemmilla) ei ole tasaista rakennetta.

Siten kaksi yksinkertaisesti yhdistettyä suljettua sileää 4-jakoputkistoa, joilla on sama leikkausmuoto, ovat homeomorfisia.

Parittomassa tapauksessa nämä kaksi jakotukkia eroavat toisistaan Kirby-Siebenmann-invarianteissaan .

Donaldsonin lauseen mukaan, jos sileällä, yksinkertaisesti kytketyllä 4-jakoputkella on positiivinen ja määrätty leikkausmuoto, niin se on diagonalisoitavissa.
- Tämä tarkoittaa, että on olemassa suuri määrä ei-tasoittavia 4-jakotukia, kuten E8-jakotukia .

Muunnelmia ja yleistyksiä

Ei-suuntautuville 4-jakoputkille leikkausmuoto kertoimilla in on rakennettu samalla tavalla . ${\mathbb {Z}}/2{\mathbb {Z}}$
Leikkausmuoto voidaan rakentaa mielivaltaisen tasamittaisille jakoputkille. Lisäksi se on symmetrinen, jos ulottuvuus on jaollinen 4:llä, ja muuten antisymmetrinen.
- N -ulotteisen jakosarjan allekirjoitus 4 määritellään sen leikkausmuodon allekirjoitukseksi; se voidaan laskea Pontryagin - luokista , katso myös moniston suku .

Linkit

Scorpan, A. (2005), The wild world of 4- monifolds , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3749-4