Erdősin arvaus aritmeettisista progressioista

Erdősin aritmeettisia progressioita koskeva oletus [1] on Pal Erdősin muotoilema oletus additiivisessa kombinatoriikassa , jonka mukaan jos tietyn joukon positiivisten luonnollisten lukujen käänteissumma poikkeaa, niin joukko sisältää mielivaltaisen pitkiä aritmeettisia progressioita .

Muodollisesti, jos:

\sum _{{n\in A}}{\frac {1}{n}}=\infty

eli suuri määrä $A$ , niin se sisältää minkä tahansa ennalta määrätyn pituisen aritmeettisen progression. $A$

Erdős lupasi kerran 3 tuhannen dollarin palkinnon hypoteesin todistamisesta [2] , vuodesta 2008 lähtien perustettiin 5 tuhannen dollarin palkinto [3] .

Suhde muihin väitteisiin

Hypoteesin seuraukset

Erdősin arvelu on yleistys Szemeredi-lauseesta (koska sarja hajoaa harmonisena ), samoin kuin Green-Tao-lauseesta (koska summa , jossa summa on alkulukujen yläpuolella, myös hajoaa [4] ). $\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{kn))={\frac {1}{k))\left({\sum \limits _{n =1}^{\infty }{\frac {1}{n))}\right)$ $\sum \limits _{p}{\frac {1}{p))$

Lausumat, joista hypoteesi seuraa

Erdősin olettamus voidaan todistaa , jos se todistetaan . ${\displaystyle \sum \limits _{t=1}^{\infty }{{a_{k))(4^{t)))))$ $\forall k\geq 3:\ \forall \varepsilon >0:\ a_{k}(N)=O\left({\frac {1}{(\log {N})^{1+\ varepsilon }}}\right)$

Tällä hetkellä on kuitenkin todistettu vain [5] , että , missä , ja myös tietyssä tapauksessa , että . $a_{k}(N)=O\left({\frac {1}{(\log {\log {n)))^{c_{k))))\right)$ $c_{k}=2^{-2^{k+9))$ $k = 3$ $a_{3}(N)=O\left({\sqrt {\frac {\log {\log {N))}{\log {N))))\right)$

Muistiinpanot

↑ Hypoteesi sekoitetaan joskus Erdős-Turanin hypoteesiin.
↑ Bollobas, Bela . Todistaa ja olettaa: Paul Erdős ja hänen matematiikkansa (englanniksi) // American Mathematical Monthly : Journal. - 1988. - maaliskuu ( osa 105 , nro 3 ) . - s. 233 . — .
↑ Soifer, Alexander (2008); Matemaattinen värityskirja: Värityksen matematiikka ja sen tekijöiden värikäs elämä; New York: Springer. s. 354. ISBN 978-0-387-74640-1
↑ M. Aigner, G. Ziegler, "Todisteet kirjasta" - M. "Mir", 2006, s. 13
↑ Shkredov, 2006 , s. 115-116.

Linkit

P. Erdős: Résultats et problèmes en théorie de nombres Arkistoitu 28. huhtikuuta 2016 Wayback Machinessa , Séminaire Delange-Pisot-Poitou (14e année: 1972/1973), Théorie des nombres ., Faspc.. ei. 24, s. 7,
P. Erdős: Ongelmia lukuteoriassa ja kombinatoriikassa, Proc. Kuudes Manitoba Conf. numerolla Math., kongressin numero. XVIII (1977), 35-58.
P. Erdős: Kombinatorisista ongelmista, jotka haluaisin eniten ratkaistavana, Combinatorica , 1 (1981), 28. doi : 10.1007/BF02579174
I. D. Shkredov. Szemedin lause ja aritmeettisen progression tehtävät // Uspekhi Mat. - 2006. - T. 61, no. 6(372). - S. 111-178. - doi : 10.4213/rm5293 .