Greene-Tao -lause

Green-Tao-lause on Ben Greenin ja Terence Taon vuonna 2004 [1] todistama lukuteoreettinen väite , että alkulukujono sisältää mielivaltaisen pituisia aritmeettisia progressioita . Toisin sanoen k -termillä on aritmeettisia alkulukuja , joissa k voi olla mikä tahansa luonnollinen luku. Todistus löytyy Szémerédyn lauseen laajennuksesta .

Sanamuoto

Vaikka Green-Tao-lause tunnetaan vain todisteena mielivaltaisen pitkien progressioiden esiintymisestä alkulukujen joukossa, tällä väitteellä on [2] merkittäviä vahvistuksia: ensinnäkin väite pätee mielivaltainen joukko positiivisen tiheyden alkulukuja (kaikkien alkulukujen joukkoon nähden); toiseksi, on olemassa erilliset ylärajat sille, kuinka suuria minimaalisen etenemisen elementit tarkasteltavana olevassa joukossa voivat olla.

Lisäksi formulaatioissa tarkoittaa alkulukujen joukkoa. Merkintä tarkoittaa , jossa logaritmi on otettu kertaa. ${\mathbb P}$ $\log _{[k]}x$ $\log \log \dots \log x$ $k$

Greene-Tao -lause

Antaa olla joukko alkulukuja ja sen tiheys alkulukujen suhteen on ehdottomasti positiivinen. Sitten jokaiselle joukko sisältää aritmeettisen pituuden progression . $A$ $\delta _{\mathbb {P} }(A)=\lim \sup _{N\to \infty }{\frac {|A\cap \{1,\dots ,N\}|}{ |\mathbb {P} \cap \{1,\dots ,N\}|}}$ $k\geqslant 2$ $A$ $k$

Erillisessä aikaisemmassa työssään [3] Green osoitti tuloksen, joka koski joukon jakaumafunktiota , mutta vain erikoistapauksessa kolmen termisen etenemisen osalta. $A$

On olemassa sellainen vakio , että jos alkulukujen joukko täyttää , niin se sisältää kolmen aikavälin aritmeettisen progression. $c$ $A\subset \{1,\dots ,N\}$ $|A|>c{\frac {N{\sqrt {\log _{[5]}N))}{\log {N}{\sqrt {\log _{[4]}N)) }}$

Koska vaadittu funktio on asymptoottisesti pienempi kuin janan alkulukujen määrä , lause pysyy totta positiivisen tiheyden äärettömille joukoille, kun , . Siten voimme muotoilla uudelleen viimeisen lauseen kiinteälle tiheydelle. ${\näyttötyyli [1,n]}$ $|A\cap \{1,\dots ,N\}|>\delta {\frac {N}{\log N))$ $\delta>0$

On olemassa sellainen vakio , että mille tahansa alkulukujoukolle ja sen tiheydelle pätee seuraava seuraus: jos , niin sisältää kolmen aikavälin aritmeettisen progression. $c$ $A\subset \{1,\dots ,N\}$ $\delta ={\frac {|A\cap \{1,\dots ,N\}|}{|\mathbb {P} \cap \{1,\dots ,N\}|))$ ${\displaystyle N\geqslant e^{e^{e^{\left(\left(c/\delta ^{2}\right)^{c/\delta ^{2}}\oikea))))) )$ $A$

Esimerkkejä

18. tammikuuta 2007 Jaroslav Vroblevsky löysi ensimmäisen tapauksen 24 alkuluvun aritmeettisesta progressiosta [4] : 468 395 662 504 823 + 205 619 223 092 870 n , n = 0 - 23.

Tässä vakio 223 092 870 on enintään 23:n alkulukujen tulo (katso alkuluku ).

17. toukokuuta 2008 Wroblewski ja Raanan Chermoni löysivät 25 alkuluvun sekvenssin: 6 171 054 912 832 631 + 366 384 223 092 870 n , n = 0 - 24.
12. huhtikuuta 2010 Benoit Perichon, käyttämällä Wroblewskin ja Jeff Reynoldsin ohjelmaa PrimeGrid -hajautetussa laskentaprojektissa , löysi 26 alkuluvun aritmeettisen progression: 43 142 746 595 714 191 + 23 681 770 223 092 870 n , n = 0 - 25 (sekvenssi A204189 OEIS : ssä ).

Muunnelmia ja yleistyksiä

Vuonna 2006 Tao ja Tamar Ziegler yleistivät tuloksen polynomiprogressioiksi [5] . Tarkemmin sanottuna mille tahansa polynomille, jolla on yhden muuttujan m kokonaislukukertoimet P 1 , …, P k ja jonka vakiotermi on nolla, on äärettömän monta kokonaislukua x , m siten, että x + P 1 ( m ), …, x + P k ( m ) ovat alkulukuja. Erikoistapaus, jossa polynomit ovat m , 2 m , …, km , johtaa edelliseen tulokseen (pituisten k alkulukujen aritmeettisia progressioita on ).

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Green, Ben & Tao, Terence (2008), Alkuluvut sisältävät mielivaltaisen pitkiä aritmeettisia progressioita , Annals of Mathematics vol. 167(2): 481-547 , DOI 10.4007/annals.2008.167.481 .
↑ I. D. Shkredov, Szemedyn lause ja aritmeettisten progressioiden tehtävät Arkistoitu 24. heinäkuuta 2018 Wayback Machinessa , s. 117.
↑ Green, Ben (2005), Rothin lause alkuluvuissa , Annals of Mathematics, osa 161 (3): 1609-1636 , DOI 10.4007/annals.2005.161.1609
↑ Jens Kruse Andersen, Arithmetic Progression Recordsin alkuluvut Arkistoitu 14. heinäkuuta 2014 Wayback Machinessa .
↑ Tao, Terence & Ziegler, Tamar (2008), Alkuluvut sisältävät mielivaltaisen pitkiä polynomikulkuja , Acta Mathematica T. 201: 213-305 , DOI 10.1007/s11511-008-0032-5 .

Greene-Tao -lause

Sanamuoto

Esimerkkejä

Muunnelmia ja yleistyksiä

Katso myös

Muistiinpanot

Linkit