Kvasisyklinen ryhmä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 19. helmikuuta 2019 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Kvasisyklinen p - ryhmä kiinteälle alkuluvulle p on ainoa p - ryhmä , jossa mistä tahansa alkiosta voidaan erottaa täsmälleen p p -asteen juuria . Yleensä merkitään Z ( p∞ )

Kvasisyklistä p - ryhmää kutsutaan myös Pruferin p -ryhmäksi saksalaisen matemaatikon Heinz Prüferin mukaan .

Ominaisuudet

Kvasisyklinen p - ryhmä voidaan esittää aliryhmänä U(1) , joka koostuu p n -asteen ykkösjuurista , jossa n kulkee kaikkien luonnollisten lukujen läpi:

\mathbb {Z} (p^{\infty })=\{\exp(2\pi im/p^{n})\mid m\in \mathbb {N} ,\,n\in \ mathbb {N} \}.\;

Vastaavasti kvasisyklistä p - ryhmää voidaan pitää Q/Z :n aliryhmänä, joka koostuu elementeistä, joiden järjestys on p :n potenssi :

\mathbb {Z} (p^{\infty })=\mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} .

Myös Prufer p -ryhmä voidaan antaa generaattoreilla ja suhteilla:

\mathbb {Z} (p^{\infty })=\langle \,g_{1},g_{2},g_{3},\ldots \mid g_{1}^{p}=1 ,g_{2}^{p}=g_{1},g_{3}^{p}=g_{2},\pisteet \,\rangle .

Kvasisyklinen p - ryhmä on ainoa ääretön p - ryhmä, joka on paikallisesti syklinen (eli sellainen, että mikä tahansa sen alkioiden äärellinen osajoukko muodostaa syklisen ryhmän ). On helppo nähdä, että kaikki kvasisyklisen ryhmän oikeat alaryhmät ovat syklisiä.

Kvasisyklinen ryhmä on jaollinen .

Paikallisesti kompaktien topologisten ryhmien teoriassa diskreetillä topologialla varustettu kvasisyklinen p -ryhmä on Pontryaginin duaali p - adisten kokonaislukujen kompaktille ryhmälle .

Kvasisykliset p - ryhmät kaikille mahdollisille alkuluvuille p ovat ainoat äärettömät ryhmät, joiden aliryhmien joukko on järjestetty lineaarisesti upottamalla:

0\subset \mathbf {Z} /p\subset \mathbf {Z} /p^{2}\subset \mathbf {Z} /p^{3}\subset \cdots \subset \mathbf {Z} (p^{\infty }).

Tässä inkluusioketjussa Pruferin p -ryhmä on esitetty sen äärellisten alaryhmien suorana rajana .

-moduulina Pruferin p -ryhmä on artinilainen , mutta ei noeterialainen (samalla tavalla se on artinilainen , mutta ei noeterilainen ). Sellaisenaan se on vastaesimerkki mahdolliselle väitteelle, että mikä tahansa artinilainen on Noether-moduuli. $\mathbb {Z}$

Linkit

kvasisyklinen ryhmä (englanniksi) PlanetMath - verkkosivustolla .
N. N. Williams. Kvasisyklinen ryhmä Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Jacobson, Nathan. Perusalgebra . - Dover, 2009. - ISBN 978-0-486-47187-7 .
Pierre Antoine Grillet. Abstrakti algebra. - Springer, 2007. - ISBN 978-0-387-71567-4 .
DL Armacost ja WL Armacost. P-teettisistä ryhmistä (englanniksi) // Pacific J. Math .. - 1972. - Voi. 41, nro. 2 . - s. 295-301.