Borsukin hypoteesi

Borsukin arvelu (Borsukin ongelma ) on kumottu arvelu kombinatorisessa geometriassa :

Onko mahdollista jakaa mielivaltainen kappale, jonka halkaisija on äärellinen euklidisessa avaruudessa , enintään osaan siten, että kunkin osan halkaisija on pienempi kuin 1?

n

n+1

Karol Borsuk ehdotti vuonna 1933 . Hänellä oli merkittävä rooli 1900-luvun kombinatorisen geometrian kehityksessä: hypoteesi vahvistettiin pitkään useille erikoistapauksille ja pääasialliset ponnistelut kohdistuivat todisteiden löytämiseen yleisessä tapauksessa, koska sen pätevyydestä ei ollut painavia epäilyksiä [1] . Vuonna 1993 kuitenkin löydettiin vastaesimerkki .

Vuodesta 2021 lähtien hypoteesi on osoittautunut oikeaksi ja vääräksi , väitteen tila on epäselvä. $n\leqslant 3$ $n\geqslant 64$ $4\leqslant n<64$

Positiiviset päätökset

Tapaus on ilmeinen. Borsuk itse todisti tapauksen vuonna 1933, hän käytti Gyula Pálin ( Hung. Pál Gyula ) tulosta vuonna 1929, jonka mukaan mikä tahansa halkaisijaltaan 1 oleva hahmo voidaan sijoittaa säännölliseen kuusikulmioon , jonka leveys on 1, ja sellainen kuusikulmio, puolestaan voidaan leikata kolmeen halkaisijaltaan olevaan viisikulmioon . Lisäksi Borsuk osoitti, että -ulotteista palloa ei voida jakaa halkaisijaltaan pienempiin osiin, jolloin muodostuu alaraja osien lukumäärälle (todistus perustuu Borsuk–Ulam-lauseeseen ). $n = 1$ $n = 2$ ${\tfrac {\sqrt {3}}{2}}<1$ $n$ $n$

Vuonna 1946 Hadwiger osoitti oletuksen pätevyyden kaikille kuperille kappaleille , joilla on tasainen raja [2] . $n$

Vuonna 1947 Julian Perkal ( puola: Julian Perkal ) osoitti asian olevan kaikkien rajallisten kappaleiden kohdalla [3] , hänestä riippumatta brittiläinen matemaatikko Eggleston sai saman tuloksen vuonna 1955 ; Branko Grünbaum ja Aldar Heppesch löysivät jonkin verran myöhemmin yksinkertaisen , Borsukin kaltaisen todisteen ; ne osoittavat, että mikä tahansa kappale, jonka halkaisija on 1, voidaan sijoittaa tiettyyn oktaedriin, jossa on kolme kärkeä, jotka puolestaan voidaan jakaa 4 osaan, jonka halkaisija on pienempi kuin 0,9888. $n = 3$

Ainakin 1970-luvun alusta lähtien hypoteesi on vahvistettu keskussymmetristen kappaleiden osalta. Vuonna 1971 Claude Rogers osoitti arvauksen mille tahansa joukolle, joka on invariantti ryhmän muunnosten vaikutuksesta jättäen säännöllisen ulottuvuuden simpleksin paikalleen . $n$

Vuonna 1993 Boris Dexter vahvisti hypoteesin pätevyyden kuperille kappaleille, joissa on säännöllisten pisteiden hihna [4] , ja vuonna 1995 hän ratkaisi positiivisesti ongelman kaikille mielivaltaisissa mitoissa pyöriville kappaleille [5] .

Borsukin numero

Borsuk-luku on pienin mahdollinen halkaisijaltaan pienempien osien määrä, joihin mikä tahansa rajattu kappale-ulotteisessa avaruudessa voidaan jakaa. Samanaikaisesti hypoteesinvahvistamisen kanssa erikoistapauksissa ala- ja ylärajat. Arviotja. Vuonna 1983 Marshall Lassack havaitsi, että. $f(n)$ $n$ $f(n)=n+1$ $f(n)$ $f(n)\leqslant (2{\sqrt {n}}+1)^{n}$ ${\displaystyle f(n)\leqslant 2^{n))$ $f(n)\leqslant 2^{n-1}+1$

Asymptoottisista ylärajoista Claude Ambrose Rogersin ( 1965 ; 1965 ) arvio oli paras pitkään aikaan :; Vuonna 1988 Oded Schramm havaitsi, että: $f(n)\leqslant {\big (}{\sqrt {2}}+o(1){\big )}^{n}$

{\displaystyle f(n)\leqslant {\Big (}{\sqrt {\tfrac {3}{2))}+o(1){\Big )}^{n))

Kielteiset päätökset

Kielteisen ratkaisun ongelmaan yleisessä tapauksessa löysivät vuonna 1993 Gil Kalai ja Jeff Kahn [ 6 ] , jotka rakensivat vastaesimerkin ulottuvuudesta ja osoittivat, että olettamus ei päde kaikille . Lisäksi he osoittivat, että riittävän suurille kappaleille on olemassa -ulotteisia kappaleita, joita ei voida jakaa halkaisijaltaan pienempiin osiin. Seuraavina vuosina ulottuvuus, jonka yläpuolella hypoteesi ei täyty, pieneni jatkuvasti: $n=1325$ $n>2014$ $n$ $n$ ${\big (}1{,}203+o(1){\big )}^{\sqrt {n))$

1993 - (Kalai - Kan), $n\geqslant 2015$
1994 - (Neally), $n\geqslant 946$
1997 - (Weissbach - harmaa), $n\geqslant 903$
1997 - (Raigorodsky) [7] , $n\geqslant 561$
2000 - (Weissbach), $n\geqslant 560$
2001 - (Hinrichs), $n\geqslant 324$
2002 - (Pikhurko), $n\geqslant 323$
2003 - (Hinrichs - Richter) [8] , $n\geqslant 298$
2013 - (Bondarenko) [9] , $n\geqslant 65$
2013 - (Jenrich) [10] . $n\geqslant 64$

Vastaesimerkkien muodostamiseen käytettiin kaikissa tapauksissa äärellisiä joukkoja ja hienoja kombinatorisia tuloksia [11] . Useimmissa vastaesimerkeissä halkaisijaltaan pienempien osien vähimmäismäärän alarajat ovat , yhdessä Raigorodskyn (1999) tuloksista tämä raja on parannettu arvoon . ${\big (}1{,}203+o(1){\big )}^{\sqrt {n))$ ${\big (}1{,}2255+o(1){\big )}^{\sqrt {n))$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Vuonna 1953 David Gale esitti hypoteesin, että mikä tahansa kappale, jonka halkaisija on yksikkö kolmiulotteisessa avaruudessa, voidaan jakaa 4 osaan, joiden halkaisija on:

{\sqrt {\frac {3+{\sqrt {3}}}{6}}}\noin 0{,}888

eli pallo on "pahin" kappale tässä mielessä [12] .

Vuonna 1971 Borsukin arvelu vahvistettiin pallomaisille ja hyperbolisille tiloille [13] . $n=2,3$

Vuonna 1991 tämä tulos yleistettiin mielivaltaisiksi mitoiksi keskeisesti symmetrisille kuperille hyperpinnoille [14] .

Vuonna 2012 tutkittiin Borsuk-ongelman analogeja avaruudessa euklidisen metriikan ja metriikan [15] kanssa . ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n))$ $l_p$

Vuonna 2019 tarkasteltiin kysymystä mielivaltaisten rajattujen metriavaruuksien jakamisesta määrätyiksi halkaisijaltaan pienemmiksi osajouksiksi ja määritettiin kriteerit tällaisen osion toteutettavuudelle ja mahdottomuudelle riippuen Gromov-Hausdorffin metriikan mukaisesta etäisyydestä annettu tila tietyn potenssin yksinkertaisille , jossa simpleksi ymmärretään metriseksi avaruuteen, jossa kaikki nollasta poikkeavat etäisyydet ovat samat [16] .

Muistiinpanot

↑ Raygorodsky, 2006 , s. 27.
↑ Boltyansky - Gokhberg, 1965 , s. 34.
↑ Grünbaum, 1971 , s. 62.
↑ BV Dexter. Borsukin arvelu pätee kuperille kappaleille, joissa on säännöllisten pisteiden vyö // Geometriae Dedicata. - 1993. - T. 45 . — S. 301–306 .
↑ BV Dexter. Borsukin arvelu pätee vallankumouskappaleisiin // Journal of Geometry. - 1995. - T. 52 . — S. 64–73 .
↑ J. Kahn, G. Kalai. Vastaesimerkki Borsukin olettamukselle (englanniksi) // Bull. amer. Matematiikka. soc. (NS). - 1993. - Voi. 29 , ei. 1 . - s. 60-62 . - arXiv : math.MG/9307229 .
↑ A. M. Raigorodsky. Dimensiosta Borsuk-ongelmassa // Uspekhi Mat. - 1997. - T. 52 , nro 6 (318) . - S. 181-182 .
↑ A. Hinrichs, C. Richter. Uudet sarjat suurilla Borsuk-luvuilla // Diskreetti matematiikka. - 2003. - T. 270 . - S. 137-147 .
↑ Andriy V. Bondarenko. Borsukin olettamuksesta kahden matkan sarjoille. - 2013. - arXiv : 1305.2584 .
↑ Thomas Jenrich. 64-ulotteinen kahden etäisyyden vastaesimerkki Borsukin olettamukselle. - 2013. - arXiv : 1308.0206 .
↑ Raygorodsky, 2006 .
↑ Raygorodsky, 2006 , s. 16.
↑ A. S. Riessling. Borsukin ongelma vakiokaarevuuden tiloissa // Ukrainian Geometric Collection . - Harkova. - T. 11 . - S. 78-83 .
↑ A. D. Milka . Borsuk-ongelman analogi // Izvestiya vuzov. Matemaattinen sarja. - 1992. - Nro 5 . - S. 58-63 .
↑ A. B. Kupavsky, E. I. Ponomarenko, A. M. Raigorodsky. Joistakin Borsuk-ongelman analogeista avaruudessa // Moskovan fysiikan ja tekniikan instituutin julkaisut. - 2012. - T. 12 , nro 1 . - S. 81-90 . ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n))$
↑ A. O. Ivanov , A. A. Tuzhilin . Ratkaisu yleiseen Borsuk-ongelmaan Gromov–Hausdorffin etäisyyksillä yksinkertaisiin kohteisiin. - arXiv : 1906.10574v1 .

Kirjallisuus

V. G. Boltyansky , I. Ts. Gokhberg . Kombinatorisen geometrian lauseet ja ongelmat . - M .: Nauka, 1965. - 108 s. — (Matemaattinen kirjasto). (sisältää todisteen arvelusta mitoissa 2 ja 3)
V. G. Boltyansky, I. Ts. Gokhberg. Lukujen jakaminen pienempiin osiin/sarjoihin = Popular Lectures on Mathematics, Issue 50 . - M .: Nauka, 1971. - 88 s.
B. Grünbaum . Etudeja kombinatorisesta geometriasta ja konveksien kappaleiden teoriasta. - M .: Nauka, 1971.
A. M. Raigorodsky . Borsukin ongelma. — M .: MTsNMO , 2006. — 56 s.
A. B. Skopenkov. -ulotteinen kuutio, polynomit ja Borsuk-tehtävän ratkaisu // Matemaattinen opetus. - M .: MTSNMO, 1999. - Numero. 3(3) . $n$