Pallo

Pallo on geometrinen runko ; joukko avaruuden pisteitä, jotka sijaitsevat etäisyydellä keskustasta , enintään tietystä pisteestä. Tätä etäisyyttä kutsutaan pallon säteeksi . Pallo muodostetaan kiertämällä puoliympyrää sen kiinteän halkaisijan ympäri . Tätä halkaisijaa kutsutaan pallon akseliksi , ja määritellyn halkaisijan molempia päitä kutsutaan pallon navoiksi . Pallon pintaa kutsutaan palloksi : suljettu pallo sisältää tämän pallon , avoin pallo sulkee sen pois.

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Jos leikkaustaso kulkee pallon keskustan läpi, pallon leikkausta kutsutaan suureksi ympyräksi . Muita pallon tasoosia kutsutaan pieniksi ympyröiksi . Näiden osien pinta-ala lasketaan kaavalla πR².

Geometriset peruskaavat

Säteen (ja halkaisijan ) pallon pinta-ala ja tilavuus määritetään seuraavilla kaavoilla: $S$ $V$ $r$ $d = 2r$

$S=\ 4\pi r^{2}$

$S=\ \pi d^{2}$

$V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$

Todiste

Otetaan neljännesympyrä, jonka säde on R ja jonka keskipiste on pisteessä . Tämän ympyrän kehän yhtälö on: , mistä . $\vasen(0;0\oikea)$ $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ $y^{2}=R^{2}-x^{2}$

Funktio on jatkuva, laskeva, ei-negatiivinen. Kun neljäsosa ympyrästä pyörii Ox-akselin ympäri, muodostuu puolipallo, joten: $y={\sqrt {R^{2}-x^{2}}},x\in (0;R)$

${1 \over 2}V=\pi \int \limits _{0}^{R}(R^{2}-x^{2})dx=\pi \cdot {\Bigl .}\left(R ^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}\oikea){\Bigr |}_{0}^{R}=\pi \cdot (R^{3}-{\ frac {R^{3}}{3}})={\frac {2}{3}}\pi R^{3}$

Missä Ch. t. $V={\frac {4}{3}}\pi R^{3}$

$V={\frac {\pi d^{3}}{6}}$

Todiste

$d=2r, V={4 \over 3} \pi r^3 = {4 \over 3} \pi \left ( {d \over 2} \right )^3 = {4 \over 3} \pi \ frac {d^3} {8} = \frac {\pi d^3} {6}$ H.t.d.

Pallon käsite metrisessä avaruudessa yleistää luonnollisesti pallon käsitteen euklidisessa geometriassa .

Määritelmät

Olkoon metrinen tila annettu . Sitten $(X,\rho)$

Pallo (tai avoin pallo ), jonka keskipiste on pisteessä ja säde , on joukko $x_{0}\in X$ $r>0$

B_{r}(x_{0})=\{x\in X\mid \rho (x,x_{0})<r\}.

Suljettu pallo, jonka keskipiste ja säde on joukko $x_{0}$ $r$

D_{r}(x_{0})=\{x\in X\mid \rho (x,x_{0})\leqslant r\}.

Muistiinpanot

Palloa, jonka säde on keskitetty , kutsutaan myös pisteen ympäristöksi . $r$ $x_{0}$ $r$ $x_{0}$

Ominaisuudet

Pallo on avoin joukko metriikan luomassa topologiassa . $\rho$
Suljettu pallo on suljettu joukko metriikan muodostamassa topologiassa . $\rho$
Tällaisen topologian määritelmän mukaan avoimet pallot, joiden keskipisteet ovat missä tahansa kohdassa, ovat sen perusta . $X$
Ilmeisesti . Yleensä avoimen pallon sulkeminen ei kuitenkaan välttämättä tapahdu suljetun pallon kanssa: $B_{r}(x_{0})\alajoukko D_{r}(x_{0})$ $\overline {B_{r}(x_{0})}\neq D_{r}(x_{0}).$
- Esimerkki: Olkoon
diskreetti metriavaruus , ja se koostuu useammasta kuin kahdesta pisteestä. Sitten kaikille, mitä meillä on: $(X,\rho)$ $X$ $x\in X$

B_{1}(x)=\{x\},\;\overline {B_{1}(x)}=\{x\},\;D_{1}(x)=X.

Volume

Säteisen R n -ulotteisen pallon tilavuus n-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa: [1]

V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)))R^{n},

missä Γ on Eulerin gammafunktio (joka on faktoriaalin laajennus reaali- ja kompleksilukujen kenttään ). Käyttämällä gammafunktion erityisiä esityksiä kokonaisluku- ja puolikokonaislukuarvoille voidaan saada kaavoja n-ulotteisen pallon tilavuudelle, jotka eivät vaadi gammafunktiota:

V_{2k}(R)={\frac {\pi ^{k}}{k!)}}R^{2k}

V_{2k+1}(R)={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}R^{2k+1}={ \frac {2(k!)(4\pi )^{k}}{(2k+1)!}}R^{2k+1}

Tuttua !! tässä on merkitty kaksoisfaktoriaali .

Nämä kaavat voidaan myös lyhentää yhdeksi yleiseksi:

V_{n}(R)={\frac {2^{\left[{\frac {n+1}{2}}\right]}\pi ^{\left[{\frac {n} {2}}\oikea]}}{n!!}}R^{n}

Käänteisfunktio, joka ilmaisee säteen riippuvuuden tilavuudesta:

{\displaystyle R_{n}(V)={\frac {\Gamma (n/2+1)^{1/n)){\sqrt {\pi ))}V^{1/n))

Tämä kaava voidaan myös jakaa kahteen tilaan, jossa on parillinen ja pariton määrä ulottuvuuksia, käyttämällä faktoriaalista ja kaksoisfaktoriaalista gammafunktion sijasta:

{\displaystyle R_{2k}(V)={\frac {(k!V)^{1/2k)){\sqrt {\pi ))))

R_{2k+1}(V)=\left({\frac {(2k+1)!!V}{2^{k+1}\pi ^{k))}\oikea)^{ 1/(2k+1)}

. Rekursio

Tilavuuskaava voidaan ilmaista myös rekursiivisena funktiona . Nämä kaavat voidaan todistaa suoraan tai johtaa yllä olevasta peruskaavasta. Helpoin tapa ilmaista n - ulotteisen pallon tilavuus on mittapallon tilavuus (olettaen, että niillä on sama säde): $n-2$

V_{n}(R)={\frac {2\pi R^{2}}{n}}V_{n-2}(R)

On olemassa myös kaava n - ulotteisen pallon tilavuudelle riippuen samansäteisen ( n − 1)-ulotteisen pallon tilavuudesta:

V_{n}(R)=R{\sqrt {\pi )){\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2)))}{\Gamma ({\frac {n }{2}}+1)}}V_{n-1}(R)

Sama ilman gammatoimintoa:

{\begin{aligned}V_{2k}(R)&=R\pi {\frac {(2k-1)!!}{2^{k}k!}}V_{2k-1}( R)=R\pi {\frac {(2k-1)(2k-3)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}{(2k)(2k-2)\cdots 6\cdot 4\cdot 2)) V_{2k-1}(R),\\V_{2k+1}(R)&=2R{\frac {2^{k}k!}{(2k+1)!!}}V_{2k} (R)=2R{\frac {(2k)(2k-2)\cdots 6\cdot 4\cdot 2}{(2k+1)(2k-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}V_ {2k}(R).\end{tasattu}}

Pienemmät tilat

Tilavuuskaavat joillekin pienempikokoisille tiloille:

Mittausten lukumäärä	Pallon tilavuus, jonka säde on R	Äänenvoimakkuuspallon säde V
yksi	$2R$	$V/2$
2	$\pi R^{2}$	${\frac {V^{1/2}}{\sqrt {\pi }}}$
3	${\frac {4\pi }{3}}R^{3}$	$\left({\frac {3V}{4\pi }}\right)^{1/3}$
neljä	${\frac {\pi ^{2}}{2}}R^{4}$	${\frac {(2V)^{1/4}}{\sqrt {\pi }}}$
5	${\frac {8\pi ^{2}}{15}}R^{5}$	$\left({\frac {15V}{8\pi ^{2}}}\oikea)^{1/5}$
6	${\frac {\pi ^{3}}{6}}R^{6}$	${\frac {(6V)^{1/6}}{\sqrt {\pi }}}$
7	${\frac {16\pi ^{3}}{105}}R^{7}$	$\left({\frac {105V}{16\pi ^{3}}}\oikea)^{1/7}$
kahdeksan	${\frac {\pi ^{4}}{24}}R^{8}$	${\frac {(24V)^{1/8}}{\sqrt {\pi }}}$
9	${\frac {32\pi ^{4}}{945}}R^{9}$	$\left({\frac {945V}{32\pi ^{4}}}\oikea)^{1/9}$
kymmenen	${\frac {\pi ^{5}}{120}}R^{10}$	${\frac {(120V)^{1/10}}{\sqrt {\pi }}}$

Suuremmat tilat

Kun ulottuvuuksien lukumäärä pyrkii äärettömään, yksikkösäteen pallon tilavuus pyrkii nollaan. Tämä voidaan päätellä tilavuuskaavan rekursiivisesta esityksestä.

Esimerkkejä

Olkoon euklidinen avaruus , jolla on tavallinen euklidinen etäisyys. Sitten $\mathbb{R}^d$

jos (välilyönti on suora viiva ), sitten $d = 1$

B_{r}(x_{0})=\{x\in \mathbb {R} \mid |x-x_{0}|<r\}=\left(x_{0}-{r} ,x_{0}+{r}\oikea),

D_{r}(x_{0})=\{x\in \mathbb {R} \mid |x-x_{0}|\leq r\}=\left[x_{0}-{r },x_{0}+{r}\oikea].

ovat avoimet ja suljetut segmentit , vastaavasti.

jos (avaruus - taso ), sitten $d = 2$ $B_{r}((x_{0},y_{0}))=\vasen\{(x,y)\in {\mathbb {R}}^{2}\mid {\sqrt {(x-x_) {0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}<r\oikea\},$ $D_{r}((x_{0},y_{0}))=\vasen\{(x,y)\in {\mathbb {R}}^{2}\mid {\sqrt {(x-x_) {0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\leq r\right\}$

ovat avoimia ja suljettuja levyjä .

jos , niin $d = 3$ $B_{r}((x_{0},y_{0},z_{0}))=\left\{(x,y,z)\in {\mathbb {R}}^{3}\mid { \sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}}}<r\oikea\},$ $D_{r}((x_{0},y_{0},z_{0}))=\left\{(x,y,z)\in {\mathbb {R}}^{3}\mid { \sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}}}\leq r\right\}$

ovat avoin ja suljettu stereometrinen pallo , vastaavasti.

Muissa mittareissa pallolla voi olla erilainen geometrinen muoto. Määritetään esimerkiksi metriikka euklidisessa avaruudessa seuraavasti: $\mathbb{R}^d$ $\rho (x,y)=\sum \limits _{{i=1}}^{d}\|x_{i}-y_{i}\|,\quad x=(x_{1},\ldots ,x_{d})^{{\top }},y=(y_{1},\ldots ,y_{d})^{{\top }}\in {\mathbb {R}}^{d} .$

Sitten

jos , Sitten on avoin neliö , jonka keskus on pisteessä ja pituuden sivuilla, jotka sijaitsevat vinosti koordinaattiakselien kanssa. $d = 2$ $U_{r}(x_{0})$ $x_{0}$ ${\sqrt {2}}$
jos , niin on avoin kolmiulotteinen oktaedri . $d = 3$ $U_{r}(x_{0})$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Yhtälö 5.19.4, NIST:n digitaalinen matemaattisten funktioiden kirjasto. http://dlmf.nist.gov/ , julkaisu 1.0.6, 2013-05-06.

Kirjallisuus

Pallo, geometrinen runko // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : 86 nidettä (82 osaa ja 4 lisäosaa). - Pietari. , 1890-1907.

Linkkejä online-laskimiin

Pallon tilavuuden ja pinta-alan laskenta (pääsemätön linkki) . Haettu 12. maaliskuuta 2012. Arkistoitu alkuperäisestä 8. elokuuta 2011. (määrätön)
Online-laskimet (linkki ei saatavilla) . Haettu 2. heinäkuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 9. tammikuuta 2019. (määrätön)
Matemaattiset etüüdit (pääsemätön linkki) . Haettu 20. lokakuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 18. lokakuuta 2011. (määrätön) Sphere volume sarjakuva