Schrödingerin operaattori

Schrödinger-operaattori on muodon differentiaalioperaattori :

H=-\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{2m_{j))}\Delta _{j}+\sum _{i<j}^{n} v_{ij}(x_{i}-x_{j})+\sum _{j=1}^{n}v_{j}(x_{i})

Se on elliptisen singulaariraja - arvoongelman operaattori . Schrödinger-operaattorien matemaattista teoriaa käytetään kvanttimekaniikassa [1] , differentiaaligeometriassa ( Gauss-Bonnet-lauseen todiste [2] ), topologiassa ( Morse-teoriassa Morsen epäyhtälöä todistettaessa [3] ). Mahdollistaa lukuisat yleistykset [4] . Tietyissä olosuhteissa potentiaalien ja on itseadjoint-operaattori , jolla on kaikkialla tiheä määritelmä neliöintegroitavien funktioiden avaruudessa [5] [6] . Tämä ominaisuus vastaa ei-stationaarisen Schrödinger-yhtälön [6] ainutlaatuista ratkaistavuutta . Se on erittäin tärkeä kvanttimekaniikan perusteiden kannalta, koska vain itseadjoint-operaattorit kuvaavat kvanttimekaanisia havaintoja. Kvanttimekaniikassa Schrödinger - operaattori on koordinaattiesityksen varautuneiden hiukkasten järjestelmän energiaoperaattori . Likimääräisessä kuvauksessa hiukkasen käyttäytymisestä ulkoisessa kentässä tai kahden vuorovaikutuksessa olevan hiukkasen järjestelmässä Schrödinger-operaattori on määritelty neliöintegroitavien funktioiden avaruudessa ja sen muoto on: , jossa on kolmiulotteinen avaruusvektori [ 1] . $v_{ij}(x)$ $v_{j}(x)$ $\psi (x_{1},\dots ,x_{n}))$ $n$ $H=-\Delta +v(x)$ $x$

Yksiulotteinen Schrödinger-operaattori

Yksiulotteisella Schrödinger-operaattorilla on muoto:

H_{1}=-{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}+v(z)

missä on yksiulotteinen avaruusvektori. Kun kyseessä on äärettömästi kasvava potentiaali , sen spektri on erillinen, yksittäinen. Harmonisen oskillaattorin tapauksessa - . Ominaisarvot ja ominaisfunktiot , joissa , ovat Hermite-polynomeja . $z$ $v(z)\rightarrow \infty$ $\left|z\right|\rightarrow \infty$ ${\displaystyle v(z)=z^{2))$ $\lambda _{n}=2n+1$ $\psi _{n}(z)=e^{-{\frac {z^{2}}{2}}}H_{n}(z)$ ${\näyttötyyli n=0,1,2,\pisteet }$ $H_{n}(z)$

Riittävä kriteeri Schrödinger-operaattorin itseliittymiselle

Schrödinger-operaattorille tasaisille äärellisille funktioille määritellylle hiukkasjärjestelmälle: $n$

H=-\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{2m_{j))}\Delta _{j}+\sum _{i<j}^{n} v_{ij}(x_{i}-x_{j})+\sum _{j=1}^{n}v_{j}(x_{i})

riittävät edellytykset olennaiselle itseliittymiselle ovat seuraavat ehdot:

\int _{\left|x\right|\leqslant R}v_{ij}^{2}(x)<\infty

\int _{\left|x\right|\leqslant R}v_{j}^{2}(x)<\infty

ja ehdoilla: $\left|x\right|\geqslant R$

\left|v_{ij}(x)\right|\leqslant M

\left|v_{j}(x)\right|\leqslant M

Schrödinger-operaattorin sulkemisen määritelmäalue on tässä tapauksessa sama kuin operaattorin sulkemisen määritelmä [5] . ${\displaystyle -\sum _{j=1}^{n}\Delta _{j))$

Muistiinpanot

↑ 1 2 Crane, 1972 , s. 430.
↑ Tsikon, 1990 , s. 291.
↑ Tsikon, 1990 , s. 265.
↑ Crane, 1972 , s. 435.
↑ 1 2 Crane, 1972 , s. 441.
↑ 1 2 Tsikon, 1990 , s. 9.

Kirjallisuus

Kerin S. G. Funktionaalinen analyysi. - M .: Nauka, 1972. - 544 s.
Zikon H., Froese R., Kirsch W., Simon B. Schrödinger-operaattorit kvanttimekaniikassa ja globaalissa geometriassa. - M .: Mir, 1990. - 408 s. — ISBN 5-03-001422-5 .