Schrödinger-operaattori on muodon differentiaalioperaattori :
.Se on elliptisen singulaariraja - arvoongelman operaattori . Schrödinger-operaattorien matemaattista teoriaa käytetään kvanttimekaniikassa [1] , differentiaaligeometriassa ( Gauss-Bonnet-lauseen todiste [2] ), topologiassa ( Morse-teoriassa Morsen epäyhtälöä todistettaessa [3] ). Mahdollistaa lukuisat yleistykset [4] . Tietyissä olosuhteissa potentiaalien ja on itseadjoint-operaattori , jolla on kaikkialla tiheä määritelmä neliöintegroitavien funktioiden avaruudessa [5] [6] . Tämä ominaisuus vastaa ei-stationaarisen Schrödinger-yhtälön [6] ainutlaatuista ratkaistavuutta . Se on erittäin tärkeä kvanttimekaniikan perusteiden kannalta, koska vain itseadjoint-operaattorit kuvaavat kvanttimekaanisia havaintoja. Kvanttimekaniikassa Schrödinger - operaattori on koordinaattiesityksen varautuneiden hiukkasten järjestelmän energiaoperaattori . Likimääräisessä kuvauksessa hiukkasen käyttäytymisestä ulkoisessa kentässä tai kahden vuorovaikutuksessa olevan hiukkasen järjestelmässä Schrödinger-operaattori on määritelty neliöintegroitavien funktioiden avaruudessa ja sen muoto on: , jossa on kolmiulotteinen avaruusvektori [ 1] .
Yksiulotteisella Schrödinger-operaattorilla on muoto:
,missä on yksiulotteinen avaruusvektori. Kun kyseessä on äärettömästi kasvava potentiaali , sen spektri on erillinen, yksittäinen. Harmonisen oskillaattorin tapauksessa - . Ominaisarvot ja ominaisfunktiot , joissa , ovat Hermite-polynomeja .
Schrödinger-operaattorille tasaisille äärellisille funktioille määritellylle hiukkasjärjestelmälle:
,riittävät edellytykset olennaiselle itseliittymiselle ovat seuraavat ehdot:
, ,ja ehdoilla:
, .Schrödinger-operaattorin sulkemisen määritelmäalue on tässä tapauksessa sama kuin operaattorin sulkemisen määritelmä [5] .