Gauss-Bonnet kaava

Gauss-Bonnet-kaava yhdistää pinnan Euler-ominaisuuden sen Gaussin kaarevuuteen ja sen rajan geodeettiseen kaarevyyteen .

Sanamuoto

Olkoon kompakti kaksiulotteinen suuntautunut Riemanni-jakoputki , jolla on sileä raja . Merkitään Gaussin kaarevalla ja geodeettisella kaarevalla . Sitten $\Omega$ $\osittainen \Omega$ $K$ $\Omega$ $k_{g}$ $\osittainen \Omega$

\int \limits _{\Omega }K\,d\sigma +\int \limits _{\partial \Omega }k_{g}\,ds=2\pi \chi (\Omega ),

missä on Eulerin ominaisuus . $\chi (\Omega)$ $\Omega$

Erityisesti, jos ei ole rajaa, saamme $\Omega$

\int \limits _{\Omega }K\,d\sigma =2\pi \chi (\Omega ).

Jos pinta on epämuodostunut, sen Euler-ominaisuus ei muutu, kun taas Gaussin kaarevuus voi muuttua pisteeltä. Gaussin-Bonnet'n kaavan mukaan Gaussin kaarevuusintegraali kuitenkin pysyy samana.

Historia

Tämän kaavan erikoistapauksen geodeettisille kolmiolle saivat Friedrich Gauss [1] , Pierre Ossian Bonnet [2] ja Jacques Binet yleistivät itsenäisesti kaavan tapaukseen, jossa kiekko on rajattu mielivaltaisella käyrällä; Binet ei julkaissut artikkelia aiheesta, mutta Bonnet mainitsee sen "Mémoire sur la Théorie Générale des Surfaces" sivulla 129. Ei-yksinkertaisesti yhdistetyille alueille kaava esiintyy Walter von Dyckin teoksessa [3] . Modernin muotoilun on antanut Wilhelm Blaschke [4] .

Muunnelmia ja yleistyksiä

Gauss-Bonnet-kaava yleistyy luonnollisesti alueille, joilla on paloittain sileä raja. Jos taitepisteessä tangenttivektori kääntyy kulmassa kohti aluetta (se voi olla positiivinen tai negatiivinen luku ), kaava yleistetään tähän: $P_{i}$ ${\boldsymbol {\tau ))$ $\phi_i$ $\Omega$ $\int \limits _{\Omega }K\,d\sigma +\int \limits _{L}k_{g}\,ds+\sum _{i}\phi _{i}=2\pi \chi (\Omega ).$
Yleistetty Gauss-Bonnet- kaava on kaavan yleistys korkeampiin ulottuvuuksiin .
Cohn-Vossenin epäyhtälö on yleistys ei-tiiviille pinnoille.
Toponogovin vertailulause tarkentaa seuraavaa Gauss-Bonnet-kaavan seurausta: minkä tahansa kolmion ei-negatiivisen Gaussin kaarevuuden kokonaisella pinnalla on kulman summa vähintään $\pi$ .

Katso myös

Gaussin kaava

Linkit

↑ C.F. Gauss, Disquisitiones generales circa superficies curvas, Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores. VI osa, s. 99–146.
↑ Bonnet, 1848 "Mémoire sur la Théorie Générale des Surfaces", J. École Polytechnique 19 (1848) s. 1-146
↑ von Dyck W. Beiträge zur analysis situs. Math Ann, 32: 457–512 (1888)
↑ Wilhelm Blaschke, Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, 1921

S. E. Stepanov, Gauss-Bonnet-lause, SOZH, 2000, nro 9, s. 116-121.
Wu, Hung-hsi. "Gauss-Bonnet-lauseen historiallinen kehitys." Tiede Kiinassa A-sarja: Mathematics 51.4 (2008): 777-784.