Geodeettinen kaarevuus

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 6. helmikuuta 2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Riemannin geometriassa käyrän geodeettinen kaarevuus mittaa kuinka paljon käyrä poikkeaa geodeettisesta . Esimerkiksi 1D-käyrällä 2D-pinnalla, joka on sisäkkäinen 3D-avaruudessa , on käyrän kaarevuus projisoituna pinnan tangenttitasolle. Yleisemmin tietyssä monistossa geodeettinen kaarevuus on käyrän tavallinen kaarevuus (katso alla). Jos käyrä kuitenkin on jakotukin alisarjassa (esimerkiksi pinnan kaarevuus ), geodeettinen kaarevuus viittaa kaarevyyteen , ja se eroaa yleisesti kaarevuudesta $k_{g}$ $\gamma$ ${\bar {M))$ $\gamma$ $\gamma$ $M$ ${\bar {M))$ $\gamma$ $M$ $\gamma$ peittävässä lajikkeessa . Käyrän (ympäröivä) kaarevuus riippuu kahdesta tekijästä: alisarjan kaarevasta suunnasta ( normaali kaarevuus ), joka riippuu vain käyrän suunnasta, ja jakoputken kaarevasta (geodeettinen kaarevuus ), joka on toisen tilauksen määrä. Niiden välinen yhteys on . Erityisesti geodeettisilla menetelmillä on nolla geodeettinen kaarevuus ("suorat viivat"), joten . ${\bar {M))$ $k$ $\gamma$ $M$ $\gamma$ $k_n$ $\gamma$ $M$ $k_{g}$ ${\displaystyle k={\sqrt {k_{g}^{2}+k_{n}^{2))))$ $M$ ${\näyttötyyli k=k_{n))$

Määritelmä

Tarkastellaan käyrää monistossa , joka on parametroitu käyrän pituudella yksikkötangenttivektorilla . Sen kaarevuus on yhtä suuri kuin vektorin kovarianttiderivaatan normi : . Jos sijaitsee , geodeettinen kaarevuus on yhtä suuri kuin normi projektio kovariantti derivaatta päälle tangentti avaruudessa aliluku. Päinvastoin, normaali kaarevuus on yhtä suuri kuin projektio normaalissa osajakosarjan nipussa tarkasteltavassa kohdassa . $\gamma$ ${\bar {M))$ $T=d\gamma /ds$ $T$ $k=\|DT/ds\|$ $\gamma$ $M$ $DT/ds$ $DT/ds$

Jos ympäristön monisto on euklidinen avaruus , niin kovarianttiderivaata on yhtä suuri kuin tavallinen derivaatta . $\mathbb {R} ^{n}$ $DT/ds$ $dT/ds$

Esimerkki

Antaa olla yksikköpallo kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa . Pallon normaali kaarevuus on 1, riippumatta tarkastelusta suunnasta. Suurilla ympyröillä on kaarevuus , joten niillä on nolla geodeettinen kaarevuus ja siksi ne ovat geodeettisia. Pienemmillä ympyröillä on kaarevuus ja geodeettinen kaarevuus . $M$ $S^{2}$ $S^{2}$ $k = 1$ $r$ $1/r$ $k_{g}={\frac {\sqrt {1-r^{2}}}{r}}$

Jotkut tulokset käyttämällä geodeettista kaarevuutta

Geodeettinen kaarevuus ei ole muuta kuin tavallinen kaarevuus, joka on laskettu osamonitorille . Se ei riipu siitä, kuinka osajako on sijoitettu . $M$ $M$ ${\bar {M))$
Geodeettisella on on nolla geodeettinen kaarevuus, mikä vastaa sanomista, että on ortogonaalinen tangenttiavaruuden kanssa . $M$ $DT/ds$ $M$
Toisaalta normaali kaarevuus riippuu tiukasti siitä, kuinka osajakotukki sijaitsee ympäröivässä tilassa, mutta vähän käyrästä - se riippuu vain jakotukin pisteestä ja suunnasta , mutta ei . $k_n$ $T$ $DT/ds$
Yleisessä riemannilaisessa geometriassa derivaatta lasketaan käyttämällä ympäröivän jakoputken Levi-Civita-liitäntää : . Se jakautuu tangenttiosaan ja osajakosarjan normaaliosaan, . Tangenttiosa on v:n tavallinen derivaatta ( tämä on Peterson-Codazzi-yhtälön Gauss-yhtälön erikoistapaus ), kun taas normaaliosa on , jossa on :n toinen neliömuoto . ${\bar {\nabla ))$ $DT/ds={\bar {\nabla }}_{T}T$ ${\bar {\nabla }}_{T}T=\nabla _{T}T+({\bar {\nabla }}_{T}T)^{\perp }$ ${\näyttötyyli \nabla _{T}T}$ $M$ $\mathrm {I\!I} (T,T)$ $\mathrm{I\!I}$
Gauss-Bonnet kaava .

Katso myös

Kirjallisuus

Manfredo P. do Carmo. Käyrien ja pintojen differentiaaligeometria. - Prentice-Hall, 1976. - ISBN 0-13-212589-7 .
Heinrich Guggenheimer. Pinnat // Differentiaaligeometria. - Dover, 1977. - ISBN 0-486-63433-7 .
Yu.S. Slobodyan. Geodeettinen kaarevuus // Encyclopedia of Mathematics. - EMS Press, 2001.

Linkit

Weisstein, Eric W. Geodesic curvature (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .